Desenvolvimento de um Binômio

Olá leitores!

Trazemos uma dúvida envia por uma leitora. A dúvida segue, e também sua resolução. Vamos lá:

Calcule o termo em $x^8$ no desenvolvimento $(x^2 + \frac{1}{x})^{10}$ .
Enviada por Stephanie Wenceslau.

Bom, sabemos que o termo geral do desenvolvimento de um binômio de Newton é dado por $T_{p+1} = {n \choose p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p$ . Assim, nosso termo geral será da forma:

$T_{p+1} = {10 \choose p} \cdot (x^2)^{10 - p} \cdot (\frac{1}{x})^p$

Então:

$T_{p+1} = {10 \choose p} \cdot x^{2(10 - p)} \cdot (x)^{(-p)} \Rightarrow T_{p+1} = {10 \choose p} \cdot x^{2(10 - p) - p}$

Como queremos $x^8$ , teremos $2(10-p) - p = 8$ , finalmente $20 - 3p = 8$ , logo $p = 4$ . Assim, o termo procurado é o quinto termo. Teremos:

$T_5 = {10 \choose 4} \cdot x^8$

O número binomial é ${10 \choose 4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{4! \cdot 6!} = 210$ . Assim, o termo procurado é $T_5 = 210x^8$ .

Bons estudos!

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Números Binomiais

Olá, leitores!

estamos de volta. Desta vez, vamos resolver dois problemas envolvendo números binomiais. Só pra lembrar, um número binomial é definido como ${n \choose p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ , com $p \leq n$ e $n,p \in \mathbb{N}$ em que o símbolo $n!$ é o fatorial do número $n$ . Vamos lá:

Calcular:
$2 \cdot {n \choose 2} - {n+1 \choose 2} = 9$
Enviado por Stephanie Wenceslau

Desenvolvendo, de acordo com a definição:

$2 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} - \frac{(n+1)!}{2!(n+1-2)!} = 9$

Daí:

$2 \cdot \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot (n-2)!} - \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{2 \cdot (n-1)!} = 9$

Simplificando:

$n \cdot (n-1) - \frac{(n+1) \cdot n }{2} = 9$

Continuando:

$n^2 - n - \frac{n^2+n}{2} = 9 \Rightarrow 2n^2 - 2n - n^2 - n = 18$

Finalmente teremos $n^2 -3n - 18 = 0$ . As raízes são $n_1 = 6$ e $n_2 = -3$ . Como $n \in \mathbb{N}$ teremos $n = 6$ .

Calcular:
${n+3 \choose n} = 56$
Enviado por Stephanie Wenceslau

Vamos lá, desenvolvendo:

$\frac{(n+3)!}{n!(n+3-n)!} = 56$

Teremos:

$\frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1) \cdot n!}{n! \cdot 3!} = 56$

Cancelando os devidos termos:

$\frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)}{6} = 56 \Rightarrow (n+3)(n+2)(n+1) = 6 \cdot 56 = 6 \cdot 7 \cdot 8$

Veja que, por mera observação, ja que $n \in \mathbb{N}$ temos $n = 5$ .

E aí? O que achou?

Até a próxima!

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Problemas de Máximo e Mínimo

Olá leitores!

Hoje trazemos mais uma dúvida de uma de nossas leitoras. Esta dúvida envolve o conceito de máximo e mínimo envolvendo o trinômio do segundo grau. Vamos lá:

Um restaurante a quilo vende $200$ quilos de comida por dia, a $40$ reais o quilo. Uma pesquisa de opinião revelou que, cada aumento de um real no preço do quilo, o restaurante perde oito clientes por dia, com um consumo médio de $500$ gramas cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida, em reais, para que o restaurante tenha a maior receita possível por dia?
a) $52$
b) $51$
c) $46$
d) $45$
e) $42$
Enviado por Laura Helena

Bom, vamos lá. Para saber quanto o restaurante ganha por dia com a venda de refeições, sabemos que o total, em reais, será o quantos quilos de comida são vendidas por dia para cada cliente multiplicado pelo preço do quilo e pelo número total de clientes. Por exemplo, se são vendidos $0,5$ quilo a $40$ reais para cada quilo e são $100$ clientes no dia, teremos um total de $0,5 \times 40 \times 100 = 2000$ reais por dia.

Daí, vamos nomear as variáveis. Chamaremos de $q$ o total de quilos vendidos por dia no restaurante; de $p$ o preço do quilo neste restaurante; $x$ vai ser o número de reais aumentados no preço do quilo.

Antes de escrever a função que calcula o total, precisamos saber quanto cada cliente consome em média. No enunciado, é dito que cada cliente consome $500$ g (no caso $0,5$ kg) e são vendidos $q = 200$ quilos por dia. Ou seja, $\frac{200}{0,5} = 400$ clientes por dia.

Do enunciado também sabemos que a cada aumento de um real no preço teremos oito clientes a menos. Assim, ao aumentar $x$ reais, no preço, tornando-o $p + x$ , diminuiremos $8x$ clientes no total. Veja: se aumentamos $3$ reais, perdemos $3 \times 8 = 24$ clientes. Agora sim, vamos lá.

A arrecadação (receita) do restaurante $R(x)$ é dada por:

$R(x) = (p + x) \cdot (\frac{q}{0,5} - 8x)$

Substituindo os valores de $p$ e $q$ :

$R(x) = (40 + x) \cdot (400 - 8x)$

Vamos testar esta expressão. Se $x = 0$ , teremos $R(0) = 40 \cdot 400 = 16000$ reais. Mas ao aumentar, por exemplo, um real $x = 1$ , teremos um preço de $41$ reais, porém $400 - 8 \cdot 1 = 392$ clientes. Na função, teríamos:

$R(1) = (40 + 1) \cdot (400 - 8) = 41 \times 392 = 16072$ reais

Agora vamos desenvolver a função:

$R(x) = -8x^2 + 80x + 16000$

A receita máxima ocorre para $x_V = -\frac{80}{2 \cdot (-8)}= \frac{80}{16} = 5$ . Como o preço inicial era de $40$ reais, sabemos que o preço para o qual a receita é máxima é o de $45$ reais. Opção D.

Veja que a variação é pequena e dava pra “chutar” olhando as opções.

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EFOMM: Análise Combinatória

Olá leitores!

Hoje trago mais uma duvida enviada por um de nossos leitores. É uma questão da EFOMM, envolvendo análise combinatória ou, um problema de contagem, como gosto atualmente de dizer. O enunciado segue:

(EFOMM) Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas?
a) $24$
b) $120$
c) $480$
d) $1920$
e) $3840$
Enviada por Artur Ardasse

Bom, em primeiro lugar é preciso saber que anagrama é qualquer combinação das letras de uma palavra. Se ela tem $n$ letras, então teremos um total de $n!$ anagramas. Quando há $\alpha$ letras iguais, o total de anagramas é $\frac{n!}{\alpha !}$ . Mas, no nosso problema, as vogais e as consoantes devem se alternar, já que não podem estar juntas.

Assim, se $C$ representa uma das consoantes e $V$ uma das vogais, as palavras serão da forma $C_1V_1C_2V_2C_3V_3C_4V_4C_5$ . Como há mais vogais que consoantes, não há como começar com uma vogal (caso queira, pense no caso da palavra CARAVELA. Neste exemplo, poderíamos começar com vogal ou com consoante.).

Assim, como há $5$ consoantes e $4$ vogais, teremos $5 \times 4 \times 4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 5! \cdot 4!$ . Este é o total de anagramas sem considerar que há três letras “A” repetidas. Precisamos então, descontar estas repetições.

Portanto, nosso total será $\frac{5! \cdot 4!}{3!} = \frac{120 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 480$ anagramas. Temos assim a opção C.

Como observação final, pense em como faríamos se o enunciado pedisse anagramas em que temos vogais consecutivas ou consoantes consecutivas. Veja que agora que queremos “OU” e não “E”. Alguma coisa muda? Ou não? Pense nisso!

Até a próxima!

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Jacobi, Laplace, Sarrus e, talvez… Chió?

Olá leitores!

Hoje trazemos uma dúvida de dois leitores. Vamos lá:

Calcule $\det(A)$ sabendo que $A = \left(\begin{array}{ccccc} 4 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 4 \\ \end{array}\right)$ .
a) $64$
b) $128$
c) $16$
d) $32$
e) $8$
Milena Figueiredo e Artur Ardasse

Vamos à solução:

Primeiro vamos usar o Teorema de Jacobi, multiplicando a primeira linha por $(-1)$ e somando a cada uma das demais:

$\det A = \left \vert \begin{array}{rrrrr} 4 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\-1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert$

A partir daí, podemos usar o Teorema de Laplace na quinta linha. Vamos lá:

$\det A = (-1) \cdot (-1)^{5+1} \cdot \left \vert \begin{array}{rrrr} 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert + 1 \cdot (-1)^{5+5} \cdot \left \vert \begin{array}{rrrr} 4 & 3 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert$

Fazendo as devidas simplificações envolvendo os números que multiplicam estes determinantes:

$\det A = - \left \vert \begin{array}{rrrr} 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert + \left \vert \begin{array}{rrrr} 4 & 3 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert$

Continuando, podemos reaplicar o Teorema de Laplace na segunda linha no primeiro determinante e na quarta linha do segundo:

$\det A = - \left[ 1 \cdot (-1)^{2+1} \cdot \left \vert \begin{array}{rrr} 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert \right] + (-1) \cdot (-1)^{4+1} \cdot \left \vert \begin{array}{rrrr} 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert + 1 \cdot (-1)^{4+4} \cdot \left \vert \begin{array}{rrrr} 4 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert$

Simplificando um pouco:

$\det A = \left \vert \begin{array}{rrr} 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert + \left \vert \begin{array}{rrrr} 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert + \left \vert \begin{array}{rrrr} 4 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert$

Veja que os dois primeiros acima são iguais. Agora podemos usar a Regra de Sarrus em todos eles:

$\det A = 3 + 3 + (4 + 3 + 3) = 16$

Pelo visto, opção C.

Bom, mas e a regra de Chió…? Talvez valha a pena tentar usá-la, entretanto… acho que vai ser bem mais trabalhoso.

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Desenvolvimento do Binômio de Newton

Olá leitores!

Trago uma dúvida enviada hoje que tem a ver com o desenvolvimento do binômio de Newton ou com o desenvolvimento da $n$ -ésima potência natural de $(x+a)$ , ou seja, $(x+a)^n$ . Segue a dúvida:

Calcular o termo em $x^5$ no deslvolvimento de $(x + \frac{2}{x^2})^8$ .
Milena Figueiredo

Sabemos que o termo geral na posição $p+1$ do binômio $(x+a)^n$ é dado por:

$T_{p+1} = {n \choose p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p$

Então, usando no nosso problema teremos:

$T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{8-p} \cdot (\frac{2}{x^2})^p$

Que desenvolvido será:

$T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{(8-p) - 2p} \cdot 2^p \Rightarrow T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{8-3p} \cdot 2^p$

Para que tenhamos $x^5$ , devemos ter $8-3p = 5$ , logo $p = 1$ . Veja:

$T_2 = {8 \choose 1} \cdot x^5 \cdot 2^1 \Rightarrow T_2 = 16x^5$

Para ter mais confiança, sugiro desenvolver os três primeiros termos, já que sabemos que este é o segundo termo do desenvolvimento.

Deixo também uma playlist minha sobre o assunto:

Até.

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Parábolas no Plano

Olá, leitores!

Hoje chegou aqui até mim uma dúvida envolvendo parábolas no plano cartesiano. Pra simplificar, a pergunta é a que segue:

(AFA — Adaptada) A distância entre o vértice e o foco da parábola $y^2 + 4x - 4 = 0$ é igual a $1$ unidade de comprimento.
Alexandre Luis

Antes de sair respondendo, vamos ver como é o formato de uma parábola no plano cartesiano. Se a parábola tem eixo de simetria paralelo ao eixo $Oy$ teremos:

$(y - y_0) = \frac{1}{2p}(x - x_0)^2$

Em que $(x_0, y_0)$ são as coordenadas do vértice $V$ , $p$ é chamado de parâmetro da parábola e corresponde à distância entre o foco $F(x_F,y_F)$ da parábola e a reta diretriz $y = d$ com $d = y_0 - \frac{p}{2}$ . Além disso, as coordenadas do foco são $F(x_0, y_0 + \frac{p}{2})$ .

Por outro lado, se o eixo de simetria é paralelo à $Ox$ teremos:

$(x - x_0) = \frac{1}{2p}(y - y_0)^2$

Claro que, agora a reta diretriz será $x = d$ , com $d = x_0 - \frac{p}{2}$ e $F(x_0 + \frac{p}{2},y_0)$ . Do problema dado, podemos reescrever a expressão da parábola e obter:

$y^2 = -4x + 4 \Rightarrow (y - 0)^2 = -4(x-1) \Rightarrow (x - 1) = \frac{1}{2 \cdot (-2)} (y - 0)^2$

Portanto, $p = -2$ , e claro, $d = 1 - \frac{-2}{2} = 2$ , também $F(0,0)$ e $V(1,0)$ . Finalmente sabemos que, de fato $VF = 1\,\textrm{u.c.}$ , medida horizontalmente. Veja a figura a seguir:

A distância $BF$ é sempre igual à distancia $BC$ .

E aí, gostou da solução? Compartilhe!

Grande abraço.

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EFOMM e Determinantes

Olá pessoal!

Hoje trago uma duvida sobre uma questão da EFOMM de 2010, enviada pela Laura Helena.

Já fazendo um marketing básico, temos duas provas resolvidas (clique AQUI pra ver) da EFOMM que queremos, em breve, ampliar para mais.

Vamos à dúvida:

(EFOMM) Sejam $A$ , $B$ e $C$ matrizes de ordem $3 \times 3$ inversíveis tais que:
$\det (A^{-1}) = 3$ e $\det ((AB)^{-1} + \frac{I}{2}) = 4$
Sabendo-se que $I$ é a matriz identidade de ordem $3$ , tal que $I = -3C^{-1}(2B^{-1} + A)^{T}$ , o determinante de $C$ é igual a:
a) $- \frac{8}{3}$
b) $- \frac{32}{3}$
c) $-9$
d) $-54$
e) $-288$
Enviada por Laura Helena

Então vamos lá.

Como queremos o determinante de $C$ e temos uma expressão que relaciona as matrizes $A$ , $B$ e $C$ , vamos começar por aí:

$I = -3C^{-1}(2B^{-1} + A)^{T}$

Multiplicando ambos os lados pela esquerda por $-\frac{1}{3}C$ teremos:

$(-\frac{1}{3}) \cdot C \cdot I = (-\frac{1}{3}) \cdot C \cdot (-3C^{-1}) \cdot (2B^{-1} + A)^{T}$

Resultando em:

$(-\frac{1}{3}) \cdot C = I \cdot (2B^{-1} + A)^{T}$

Continuando e aplicando a transposta de ambos os lados:

$[(-\frac{1}{3}) \cdot C]^T = 2B^{-1} + A \Rightarrow 2B^{-1} = [(-\frac{1}{3}) \cdot C]^T - A$

Finalmente:

$B^{-1} = \frac{1}{2} \cdot [(-\frac{1}{3}) \cdot C]^T - \frac{1}{2} \cdot A \Rightarrow B^{-1} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot C^T - \frac{1}{2} \cdot A$

Pronto. Sabendo que $(AB)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$ , podemos agora trabalhar sobre a expressão dada:

$\det((AB)^{-1} + \frac{I}{2}) = 4 \Rightarrow \det (B^{-1} \cdot A^{-1} + \frac{I}{2}) = 4$

Da inversa de $B$ que achamos:

$\det((\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot C^T - \frac{1}{2} \cdot A) \cdot A^{-1} + \frac{I}{2}) = 4 \Rightarrow \det(-\frac{1}{6} \cdot C^T \cdot A^{-1} - \frac{1}{2} \cdot A \cdot A^{-1} + \frac{I}{2}) = 4$

Como $A \cdot A^{-1} = I$ , teremos:

$\det(-\frac{1}{6} \cdot C^T \cdot A^{-1}) = 4$

Aolicando o Teorema de Binet, clique AQUI para ver o que já falamos disso, e as propriedades envolvendo o determinante da transposta, o determinante de uma matriz multiplicada por um número real e o determinante da inversa, teremos:

$(-\frac{1}{6})^3 \cdot \det (C^T) \cdot \det (A^{-1}) = 4$

Logo:

$-\frac{1}{216} \cdot \det C \cdot 3 = 4 \Rightarrow \det C = -288$

Chegando, finalmente (Ufa!) à opção E.

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Um Sistema Simples

Olá leitores, recebi uma dúvida há pouco, que envolve sistemas lineares. Vamos dar uma olhada.

Calcule a soma $x + y + z$ no sistema abaixo:
$\left\{\begin{array}{lll} 66x + 33y + 2z = 1 \\ 2x + 66y + 33z = 2 \\ 33x + 2y + 66 z = 98 \\ \end{array}\right.$
Paolla Souza

Bom, em primeiro lugar é necessário saber que, se um sistema é composto de equações lineares, então a equação obtida pela soma das equações do sistema pode substituir qualquer equação do sistema, mantendo o conjunto solução intacto — que é uma aplicação direta do Teorema de Jacobi em uma matriz.

Daí, como só queremos $x + y + z$ e não os valores individuais, só precisamos somar as três equações e teremos:

$66x + 2x + 33x + 33y + 66y + 2y + 2z + 33z + 66z = 1 + 2 + 98$

Portanto:

$101 x + 101 y + 101 z = 101 \Rightarrow x + y + z = 1$

Viu, basta uma boa ideia para resolver rápido. Mas claro, embora não tenhamos feito isso, você pode resolver o sistema, encontrando os valores das incógnitas e depois calcular a soma resultante de seus valores. Vá em frente!

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Matrizes, Fatoração e Polinômios

Olá pessoal, estou de volta com uma questão da UNIRIO, trazida como dúvida pra mim, que envolve matrizes inversíveis e fatoração de polinômios. O problema segue abaixo:

(UNIRIO) Para que valor(es) real(is) de $x$ a matriz $\left[\begin{array}{ccc} 1 & x - 3 & 4 \\ 3 & 0 & -x \\ -2x & 4 & -8 \\ \end{array} \right]$ é inversível?
Enviada por Beatriz Marcondes

Sabemos que uma matriz tem inversa se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Daí podemos calcular o determinante pela regra de Sarrus:

$0 + 48 + 2x^2(x-3) - 0 + 4x + 24(x-3) \ne 0$

Desenvolvendo e agrupando os termos semelhantes:

$2x^3 - 6x^2 + 28x - 24 \ne 0$

Como todos os coeficientes são pares podemos dividir toda a equação por $2$ :

$x^3 - 3x^2 + 14x - 12 \ne 0$

Agora vem o problema. Quem são as raízes deste polinômio. Neste caso, é fácil! Perceba que a soma dos coeficientes do polinômio é zero: $1 + (-3) + 14 + (-12) = 0$ , isto nos garante que $1$ é uma das raízes deste polinômio. Para confirmar este fato, basta subistituir a incógnita por $1$ :

$1^3 - 3 \cdot 1^2 + 14 \cdot 1 - 12 = 0$

A recíproca do Teorema de D’Alembert garante que, se $x = a$ é raiz de um polinômio $P(x)$ , então $P(x)$ é divisível por $x-a$ , isto é, $P(x)$ é da forma $P(x) = (x-a) \cdot P_1(x)$ . Dito isso, vamos fatorar $P(x)$ (sim, eu sei, poderíamos usar Briot-Ruffini). Vamos lá:

$x^3 - 3x^2 + 14x - 12 \ne 0 \Rightarrow x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x + 12x - 12 \ne 0$

Assim:

$x^2(x - 1) -2x (x-1) + 12(x - 1) \ne 0 \Rightarrow (x-1)(x^2 - 2x + 12) \ne 0$

Só precisamos agora ver quais são as raízes do outro fator do produto acima: $x^2 - 2x + 12 \ne 0$ . Calculando o discriminante teremos $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = -44 < 0$ , logo não há raízes reais, significando que este fator nunca é zero. Portanto, o único valor que torna o determinante nulo é $x = 1$ . Logo, para a matriz ser inversível devemos ter $x \ne 1$ .