EFOMM e Determinantes

Olá pessoal!

Hoje trago uma duvida sobre uma questão da EFOMM de 2010, enviada pela Laura Helena.

Já fazendo um marketing básico, temos duas provas resolvidas (clique AQUI pra ver) da EFOMM que queremos, em breve, ampliar para mais.

Vamos à dúvida:

(EFOMM) Sejam $A$ , $B$ e $C$ matrizes de ordem $3 \times 3$ inversíveis tais que:
$\det (A^{-1}) = 3$ e $\det ((AB)^{-1} + \frac{I}{2}) = 4$
Sabendo-se que $I$ é a matriz identidade de ordem $3$ , tal que $I = -3C^{-1}(2B^{-1} + A)^{T}$ , o determinante de $C$ é igual a:
a) $- \frac{8}{3}$
b) $- \frac{32}{3}$
c) $-9$
d) $-54$
e) $-288$
Enviada por Laura Helena

Então vamos lá.

Como queremos o determinante de $C$ e temos uma expressão que relaciona as matrizes $A$ , $B$ e $C$ , vamos começar por aí:

$I = -3C^{-1}(2B^{-1} + A)^{T}$

Multiplicando ambos os lados pela esquerda por $-\frac{1}{3}C$ teremos:

$(-\frac{1}{3}) \cdot C \cdot I = (-\frac{1}{3}) \cdot C \cdot (-3C^{-1}) \cdot (2B^{-1} + A)^{T}$

Resultando em:

$(-\frac{1}{3}) \cdot C = I \cdot (2B^{-1} + A)^{T}$

Continuando e aplicando a transposta de ambos os lados:

$[(-\frac{1}{3}) \cdot C]^T = 2B^{-1} + A \Rightarrow 2B^{-1} = [(-\frac{1}{3}) \cdot C]^T - A$

Finalmente:

$B^{-1} = \frac{1}{2} \cdot [(-\frac{1}{3}) \cdot C]^T - \frac{1}{2} \cdot A \Rightarrow B^{-1} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot C^T - \frac{1}{2} \cdot A$

Pronto. Sabendo que $(AB)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$ , podemos agora trabalhar sobre a expressão dada:

$\det((AB)^{-1} + \frac{I}{2}) = 4 \Rightarrow \det (B^{-1} \cdot A^{-1} + \frac{I}{2}) = 4$

Da inversa de $B$ que achamos:

$\det((\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot C^T - \frac{1}{2} \cdot A) \cdot A^{-1} + \frac{I}{2}) = 4 \Rightarrow \det(-\frac{1}{6} \cdot C^T \cdot A^{-1} - \frac{1}{2} \cdot A \cdot A^{-1} + \frac{I}{2}) = 4$

Como $A \cdot A^{-1} = I$ , teremos:

$\det(-\frac{1}{6} \cdot C^T \cdot A^{-1}) = 4$

Aolicando o Teorema de Binet, clique AQUI para ver o que já falamos disso, e as propriedades envolvendo o determinante da transposta, o determinante de uma matriz multiplicada por um número real e o determinante da inversa, teremos:

$(-\frac{1}{6})^3 \cdot \det (C^T) \cdot \det (A^{-1}) = 4$