Semelhança e Áreas de Triângulos

Olá leitor.

Recebi um problema que envolve retas paralelas, semelhança e áreas em uma só questão. Vamos lá:

Na figura, os ângulos $A\widehat{B}C$ , $A\widehat{C}D$ , $C\widehat{E}D$ são retos. Se $AB = 2\sqrt{3}$ m e $CE = \sqrt{3}$ m, a razão entre as áreas dos triângulos $ABC$ e $CDE$ é

a) $6$
b) $4$
c) $3$
d) $2$
e) $\sqrt{3}$

Vamos então à solução. Vamos chamar o ângulo $B\widehat{A}C = \alpha$ . Assim teremos $B\widehat{C}A = 90^\circ - \alpha$ . Como $A\widehat{C}D = 90^\circ$ , teremos $E\widehat{C}D = \alpha$ e, portanto os triângulos $ABC$ e $CED$ são semelhantes. Assim, podemos escrever a relação:

$\frac{BC}{ED} = \frac{AB}{CE} \Rightarrow \frac{BC}{ED} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$

Fazendo as áreas e calculando a razão entre elas:

$\frac{(ABC)}{(CDE)} = \frac{\frac{AB \cdot BC}{2}}{\frac{ED \cdot CE}{2}} = \frac{AB \cdot BC}{ED \cdot CE} = \frac{2\sqrt{3} \cdot BC}{ED \cdot \sqrt{3}} = \frac{2BC}{ED} = 2 \times 2 = 4$

Chegamos à opção B.

Até a próxima!

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[LSB]

Somas de Newton: uma Grande Ajuda!!!

Olá leitor.

Hoje trazemos um problema que envolve um sistema de equações não lineares e que, a princípio, parece fácil, mas na realidade, envolve métodos mais sofisticados que simplesmente substituir uma equação na outra. Veja o problema a seguir:

Sejam $x$ , $y$ e $z$ números complexos que satisfazem o sistema de equações abaixo:
$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 7 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 25 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{4} \\ \end{array} \right.$
O valor da soma $x^3 + y^3 + z^3$ é:
a) $210$
b) $235$
c) $250$
d) $320$
e) $325$
Enviada por Matheus

Podemos inicialmente pensar em um polinômio $P(n)$ tal que $x$ , $y$ e $z$ sejam exatamente suas raízes e seja escrito como:

$P(n) = a_3n^3 + a_2n^2 + a_1n + a_0$

Das relações de Girard e do sistema dado chegamos a:

$x + y + z = -\frac{a_2}{a_3} \Rightarrow -\frac{a_2}{a_3} = 7 \Rightarrow a_2 = -7a_3$

Alem disso, sabendo que $(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+xz)$ , portanto:

$(7)^2 = 25 + 2 \cdot \frac{a_1}{a_3} \Rightarrow \frac{a_1}{a_3} = 12 \Rightarrow a_1 = 12a_3$

Da última equação do sistema:

$\frac{xy+xz+yz}{xyz} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{\frac{a_1}{a_3}}{-\frac{a_0}{a_3}} = \frac{1}{4} \Rightarrow a_0 = -4a_1$

Ou seja $a_0 = 4 \cdot (12 a_3) \Rightarrow a_0 = -48a_3$ . Finalmente, podemos usar as somas de Newton:

$a_3S_3 + a_2S_2+a_1S_1+a_0S_0 = 0$

Teremos:

$a_3 \cdot S_3 + (-7a_3)\cdot 25 + (12a_3)\cdot 7 + (-48a_3)\cdot 3 = 0$

Como $a_3 \ne 0$ , temos:

$S_3 - 175 + 84 - 144 = 0 \Rightarrow S_3 = 235$

Chegando à opção B.

Como observação, não nos estendemos sobre as somas de Newton, mas o faremos em momento oportuno!!!

Até a próxima!

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Campo Elétrico: uma Questão

Olá leitor.

Trago uma dúvida enviada para mim sobre campos elétricos gerados por cargas puntiformes. Segue a questão:

Duas cargas puntiformes $Q_1 = 50 \cdot 10^{-9}\,\textrm{C}$ e $Q_2 = 32 \cdot 10^{-9}\,\textrm{C}$ , estão colocadas nos vértices de um triângulo retângulo, como mostra a figura.

Determine a intensidade do vetor campo elétrico no ponto $P$ .
Enviada por Paulo Marcio

Vamos lá.

O campo elétrico gerado por uma carga puntiforme $Q$ , em um ponto que fica a uma distância $d$ da carga, tem módulo $E = k\frac{Q}{d^2}$ . Lembrando que $k$ é a constante eletrostática do meio considerado, mas que não foi dada no enunciado. Assim, podemos calcular os módulos dos campos gerados por $Q_1$ e $Q_2$ , que serão $E_1$ e $E_2$ , respectivamente. Teremos:

$E_1 = k \cdot \frac{Q_1}{5^2} = k \cdot \frac{50 \cdot 10^{-9}}{25} = 2k \cdot 10^{-9} \,\textrm{N/C}$

Para a outra carga:

$E_2 = k \cdot \frac{Q_2}{4^2} = k \cdot \frac{32 \cdot 10^{-9}}{16} = 2k \cdot 10^{-9} \,\textrm{N/C}$

Temos agora dois vetores $\vec{E}_1$ e $\vec{E}_2$ , formando um ângulo $\theta$ como indicado na figura a seguir:

O vetor campo elétrico resultante $\vec{E}_R$ terá módulo:

$E_R^2 = E_1^2 + E_2^2 - 2 \cdot E_1 \cdot E_2 \cdot \cos (180^\circ - \theta)$

Lembrando que $\cos (180^\circ - \theta) = - \cos \theta$ e extraindo da figura anterior que $\cos \theta = \frac{4}{5}$ , teremos:

$E_R^2 = (2k \cdot 10^{-9})^2 + (2k \cdot 10^{-9})^2 - 2 \cdot (2k \cdot 10^{-9}) \cdot (2k \cdot 10^{-9}) \cdot (-\frac{4}{5})$

Continuando com a conta:

$E_R^2 = 8k^2 \cdot 10^{-18} + \frac{32 \cdot k^2 \cdot 10^{-18}}{5}$

Finalmente:

$E_R^2 = \frac{72 \cdot k^2 \cdot 10^{-18}}{5}$

Agora, supondo que $k = 9 \cdot 10^{9}\,\frac{\textrm{N} \cdot \textrm{m}^2}{\textrm{C}^2}$ , pois nada é dito no enunciado, teremos:

$E_R^2 = \frac{72 \cdot 81 \cdot 10^{18} \cdot 10^{-18}}{5}$

Ou seja, resultando em:

$E_R^2 = \frac{144 \times 81}{10} \Rightarrow E_R = 12 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} \Rightarrow E_R = \frac{54\sqrt{10}}{5}\,\textrm{N/C}$

Um bom problema!

Até a próxima!

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ITA: uma Questão de Combinatória!

Olá leitor!

Segue uma questão sobre análise combinatória trazida até mim.

(ITA) Uma escola possui $18$ professores, sendo $7$ de Matemática, $3$ de Física e $4$ de Química. De quantas maneiras podemos formar comissões de $12$ professores de modo que cada uma contenha exatamente $5$ professores de Matemática, no mínimo $2$ de Física e no máximo $4$ de Química?
a) $875$
b) $1877$
c) $1995$
d) $2877$
e) N.D.A.
Enviada por Caio Franco

Esse é o tipo de problema que a boa e velha tática de separar em casos ajuda bastante. Vamos montar uma tabela com as possibilidades de números de professores, sendo $M$ para Matemática; $F$ para Física; $Q$ para Química e $O$ para as outras disciplinas.

$\begin{array}{c | c | c | c} M & F & Q & O \\ \hline 5 & 3 & 0 & 4 \\ 5 & 3 & 1 & 3 \\ 5 & 3 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 1 & 4 \\ 5 & 2 & 2 & 3 \\ \end{array}$

Assim, o total de escolhas será:

${7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 0} \cdot {4 \choose 4} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 3} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 2} \cdot {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 4} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 3}$

Podemos colocar ${7 \choose 5}$ em evidência:

${7 \choose 5} \cdot (1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 4 \cdot 4 + 1 \cdot 6 \cdot 6 + 3 \cdot 4 \cdot 1 + 3 \cdot 6 \cdot 4) = \frac{7!}{5! \cdot 2!} \cdot (1 +16 + 36 + 12 + 72) = 21 \cdot 137 = 2877$

Opção D.

Uma questão não tão difícil, mas no padrão que se espera do ITA.

Até a próxima!

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Conjuntos, Múltiplos e Primos na Escola Naval

Olá leitor,

trazemos uma questão da prova de 2019/2020 da Escola Naval com um enunciado nem tão bem escrito assim, mas que tem uma abordagem interessante sobre a teoria de conjuntos. Vamos lá:

(Escola Naval) Seja $W$ o conjunto dos números múltiplos de $2$ ou $P$ , em que $P$ é um primo ímpar. Sabendo que $\frac{3}{5}$ de $W$ , que são múltiplos de $P$ , são ímpares; $\frac{2}{5}$ de $W$ são ímpares; e $77$ elementos de $W$ não são múltiplos de $2P$ , pode-se afirmar que a quantidade de elementos de $W$ que são ímpares é um número múltiplo de:
a) $4$
b) $5$
c) $7$
d) $9$
e) $11$
Enviado por Marcus Tavares

Bom, em primeiro lugar, o enunciado já traz uma inadequação (pra não dizer equívoco) no início, uma vez que os múltiplos de $2$ ou $P$ são infinitos. Assim, deveria vir escrito que $W$ é conjunto finito. Mas deixando isto de lado considere a figura a seguir:

Vamos considerar que $M_P$ é o conjunto dos múltiplos de $P$ e que $M_2$ é o conjunto dos múltiplos de $2$ .

Vamos considerar que $M_P$ é o conjunto dos múltiplos de $P$ e que $M_2$ é o conjunto dos múltiplos de $2$ .

Desse modo:

$a$ serão os múltiplos de $2$ que não são múltiplos de $P$ ;
$b$ serão os múltiplos de $2$ que também são múltiplos de $P$ , ou seja, como $P$ também é primo, serão os múltiplos de $2P$ ; e
$c$ serão os múltiplos de $P$ que não são múltiplos de $2$ ; portanto, correspondem aos múltiplos ímpares de $P$ .

Chamando o total de elementos de $x$ , do enunciado, tiramos as seguintes informações:

$\left\{ \begin{array}{l} a+b+c = x \\ c = \frac{2}{5} x \\ c + a = 77 \\ \frac{3}{5}(c + b) = c \\ \end{array} \right.$

Um comentário meu: com relação à última linha do sistema anterior, acho que o enunciado foi muito mal escrito, bastava dizer “dos múltiplos de $P$ , $\frac{3}{5}$ são ímpares”. Mas enfim, teremos, da última linha:

$3c + 3b = 5c \Rightarrow b = \frac{2}{3} c$

Da segunda linha, escrevemos: $b = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot x = \frac{4}{15} x$ e da terceira linha:

$\frac{2}{5} x + a = 77 \Rightarrow a = 77 - \frac{2}{5} x$

Agora, todas as variáveis estão em função de $x$ , voltando à primeira linha do sistema:

$a + b + c = x \Rightarrow 77 - \frac{2}{5} x + \frac{4}{15} x + \frac{2}{5} x = x$

Então:

$\frac{11}{15} x = 77 \Rightarrow x = 105$

Como queremos apenas os valores ímpares, poderíamos simplesmente dizer: “infinitos”, mas lembre-se que o enunciado foi mal escrito (ou de má vontade ou ambos) e queremos o valor de $c$ neste caso. Assim $c = \frac{2}{5} \cdot 105 = 42$ que é múltiplo de $7$ . Opção C.

Até mais!

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Probabilidade e M.D.C na Escola Naval

Olá leitor,

a prova da Escola Naval de 2020/2021 trouxe uma questão que envolve o M.D.C de dois números e uma pergunta sobre probabilidade. Segue a questão:

(EN) Escolhendo aleatoriamente um número do conjunto $\{1;2;3;\ldots;2020\}$ , qual a probabilidade de que o número escolhido e $2020$ sejam primos entre si?
a) $\frac{40}{101}$
b) $\frac{153}{1010}$
c) $\frac{293}{1010}$
d) $\frac{401}{1010}$
e) $\frac{76}{505}$
Enviada por Stephanie Wenceslau

Bom, primeiro, precisamos saber o que são números primos entre si ou ainda mutuamente primos. Dizemos que dois números naturais $a$ e $b$ são primos entre si, se $\textrm{mdc} (a,b) = 1$ . O m.d.c. entre dois números naturais vale $1$ se eles não possuem fatores comuns em sua fatoração em primos. Por exemplo, $9$ e $16$ são primos entre si, pois veja que $9 = 3^2$ e $16 = 2^4$ .

É possível ver que dois números pares nunca são primos entre si, pois ambos são divisíveis por $2$ ; e, que dois números primos também sempre são primos entre si, por conta da própria definição de números naturais primos.

Assim, fatorando $2020$ , encontramos $2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101$ . Ou seja, todos os múltiplos de $2$ , $5$ ou $101$ não serão primos com $2020$ , pois haverá fatores comuns em suas fatorações, tornando o m.d.c entre eles maior que $1$ .

Vamos contar então, primeiramente, os múltiplos de $2$ . Eles são em número $M(2) = 1010$ . Para $5$ , temos $M(5) = 404$ . Finalmente, para $101$ , ficamos com $M(101) = 20$ .

Agora, ao somarmos estes valores, teremos $M(2) + M(5) + M(101) = 1010 + 404 + 20 = 1434$ . Porém, precisamos atentar para o fato de que, estamos contando números repetidos, uma vez que os múltiplos de $10$ , por exemplo, são múltiplos de $2$ e de $5$ também; sendo, portanto, recontados. Vamos excluí-los.

Os múltiplos de $2$ e de $5$ são os múltiplos de $10$ , e são $M(10) = 202$ . Para os múltiplos de $2$ e de $101$ , teremos $M(202) = 10$ ; e, finalmente, os múltiplos de $5$ e de $101$ são em número total de $M(505) = 4$ . Estes serão excluídos. O total é $M(10) + M(202) + M(505) = 202 + 10 + 4 = 216$ .

Ainda precisamos considerar os múltiplos simultâneos de $2$ , $5$ e $101$ , que serão os múltiplos de $1010$ . Estes são excluídos mais de uma vez e precisam ser reincluídos. Então $M(1010) = 2$ .

Finalmente podemos encontrar todos os números naturais que têm fatores comuns com $2020$ , não sendo primos com $2020$ . Assim, eles são $1434 - 216 + 2 = 1220$ no total. Como são $2020$ números no total, temos $2020 - 1220 = 800$ números que são primos entre si com $2020$ . Agora, temos a probabilidade:

$P = \frac{800}{2020} = \frac{40}{101}$

Opção A.

E aí, gostou.

Siga-me e ajude divulgando.

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Um Problema da AFA sobre o Teorema do Resto

Olá leitor.

Recebi uma dúvida hoje sobre o Teorema do Resto em uma questão da AFA. O enunciado segue abaixo:

Se o polinômio
$P(x) = x^m - 2b^nx^{m-n} + b^m$
é divisível por $x+b$ , sendo $m < n$ , $n \in \mathbb{N}$ e $m \in \mathbb{N}^*$ e $b \ne 0$ , então ocorrerá necessariamente:
a) $m$ par e $n$ ímpar
b) $m$ ímpar e $n$ par
c) $m$ ímpar e $n$ ímpar
d) $m$ par e $n$ par
Enviada por Milena Figueiredo

Bom, vamos lá.

O teorema do resto diz que “se dividirmos um polinômio $P$ por um polinômio do primeiro grau $D(x) = ax + b$ , então o resto será $R(x) = P(-\frac{b}{a})$ , em que $-\frac{b}{a}$ é a raiz do divisor”. Assim, do enunciado, sabemos que o divisor é $x + b$ e, portanto, sua raiz é $x = -b$ . Calculando $P(-b)$ , teremos $P(-b) = R(x) = 0$ , já que $P$ é divisível por $x + b$ , ou seja, deixa resto igual a zero. Assim:

$P(-b) = (-b)^m - 2b^n(-b)^{m-n} + b^m = 0$

Como, tanto $m$ quanto $n$ são números naturais, podemos escrever $(-b)^m = [(-1) \cdot b]^m = (-1)^m \cdot b^m$ e substituir na equação:

$(-1)^m \cdot b^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^{m-n} + b^m = 0$

Finalmente:

$(-1)^m \cdot b^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^m \cdot b^{-n} + b^m = 0$

Colocando $b^m$ em evidência:

$b^m[(-1)^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^{-n} + 1] = 0$

Veja que, dentro dos colchetes, teremos $b^n \cdot b^{-n} = b^0$ , que só é possível se $b \ne 0$ , continuando:

$b^m[(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^0 + 1] = 0$

Agora temos duas opções:

Se $b^m = 0$ , temos $b = 0$ , mas daí teríamos $b^0 = 0^0$ , que não é possível. A segunda opção é…
Termos $(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^0 + 1 = 0$ , com $b^0 =1$ , uma vez que já vimos na opção anterior que $b \ne 0$ .

Desenvolvendo esta segunda opção, ficamos com:

$(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m - n} + 1 = 0 \Rightarrow (-1)^m - 2 \cdot \frac{(-1)^m}{(-1)^n} + 1 = 0$

Veja que, $m$ sendo ímpar, teremos:

$-1 - 2 \cdot \frac{(-1)}{(-1)^n} + 1 = 0 \Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} = 0$

Que nunca será nulo, pois $\frac{1}{(-1)^n} \ne 0$ para qualquer $n \in \mathbb{N}$ . Para $m$ par, teremos:

$1 - 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} + 1 = 0 \Rightarrow 2 - 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} = 0 \Rightarrow 2(1 - \frac{1}{(-1)^n}) = 0$

Que nos dá $1 - \frac{1}{(-1)^n} = 0$ , logo $(-1)^n = 1$ , portanto $n$ é par. Assim, chegamos à opção D.

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Escola Naval: Sobre Fatorial e Divisores

Olá leitores.

Recebi estes dias uma dúvida que envolve o fatorial de um número e sua divisibilidade por $21$ . Vamos ver o enunciado e resolver:

(EN) O fatorial de $2020$ é divisível por $21^n$ . O maior valor inteiro de $n$ é:
a) $96$
b) $288$
c) $334$
d) $440$
e) $673$
Marcus Tavares

Bom, vamos ao que interessa. Para que um número seja divisível por $21$ é necessário que ele seja divisível por $3$ e por $7$ . Então vejamos o seguinte: $7!$ só é divisível por $21^0$ e $21^1$ , pois:

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Assim, fica claro que calculando $\frac{7!}{21}$ teremos um inteiro, pois temos um fator de $7$ e, pelo menos, um fator de $3$ em $7!$ . Se continuarmos investigando os fatoriais consecutivos e maiores que $7!$ , isto não ocorrerá novamente até o $14!$ , veja:

$14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Fica explícito que $14!$ é divisível por $21^2$ , mas não por $21^3$ , pois há apenas dois fatores de $7$ , sendo um no próprio $7$ e o outro no $14$ , embora haja muito mais fatores de $3$ .

Esse processo continua da mesma maneira até chegarmos ao $49!$ , pois $49 = 7^2$ , acrescentando, por sua vez, dois fatores de $7$ . Chegamos, a partir daí a seguinte conclusão:

cada múltiplo de $7$ acrescenta um fator de $7$ ;
cada múltiplo de $49 = 7^2$ acrescentará dois fatores de $7$ , dos quais um já foi contado nos fatores de $7$ ;
cada fator de $343 = 7^3$ acrescentará três fatores de $7$ , dos quais dois já foram contados: um deles nos múltiplos de $7$ e o outro nos múltiplo de $49$ ;

Então vamos lá! Vamos calcular quantos múltiplos de $7,49,343,\ldots$ há de $1$ a $2020$ :

Sabemos que $2020 = 7 \cdot 288 + 4$ , logo há $288$ múltiplos de $7$ de $1$ a $2020$ ;
Continuando, temos $2020 = 49 \cdot 41 + 11$ , portanto, há $41$ múltiplos de $49$ no mesmo intervalo; e
Finalmente, $2020 = 343 \cdot 5 + 305$ , havendo, então, $5$ múltiplos.
Não há múltiplos de $7^4$ , pois $7^4 = 2401 > 2020$ .

Contando agora teremos:

$n = 288 + 41 + 5 = 334$ fatores de $7$ em $2020!$

Veja que, se a pergunta fosse, “quantos são os possíveis valores inteiros de $n$ “, ainda incluiríamos o zero, ficando com $335$ valores possíveis, sendo o $334$ o maior deles!

Espero ter esclarecido!

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Aplicação da Identidade de Polinômios

Olá leitor!

Hoje trazemos uma questão que serve pra exemplificar a identidade de polinômios. Vamos lembrar que dois polinômios se tem exatamente os mesmos coeficientes para os mesmos termos. Isto é:

$P_1(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$

É idêntico a

$P_2(x) = b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \ldots + b_1x + b_0$

Somente se $a_n = b_n$ , $a_{n-1} = b_{n-1}$ , $\ldots$ , $a_0 = b_0$ . Assim, queremos resolver o seguinte problema:

Determinar a condição necessária e suficiente para que a expressão $\frac{a_1x^2 + b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}$ , em que $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ são reais e não nulos, assuma um valor que não dependa de $x$ .
Enviado por Paolla Souza

Se a expressão não depende de $x$ , ela sempre assume um valor $k \in \mathbb{R}$ para qualquer $x \in \mathbb{R}$ . Assim, teremos:

$\frac{a_1x^2 + b_1x + c_1}{a_2x^2 + b_2x + c_2} = k$

E, portanto:

$a_1x^2 + b_1x + c_1 = ka_2x^2 + kb_2x + k_2c_2$

Ou seja, da identidade de polinômios:

$a_1 = ka_2$ , $b_1 = kb_2$ e $c_1 = kc_2$

Fica claro que:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$

Por exemplo, veja só:

Seja $k = 2$ e, vamos escolher os coeficientes: $\frac{2x^2 + 4x + 2}{x^2+ 2x +1} = 2$ para todo $x \in \mathbb{R} - \{-1\}$ , porque $-1$ é raiz do denominador, obviamente.

Espero ter ajudado.

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[LSB]

Sobre Trinômios Quadrados Perfeitos

Olá leitor.

Hoje, trago uma dúvida essencialmente simples que depende, de forma elementar, da identidade entre dois polinômios. Vamos lá:

Qual a condição para que $ax^2 + bx + c$ seja um quadrado perfeito?
Enviado por Paolla Souza

Como queremos que o trinômio seja um quadrado perfeito, basta pensar da seguinte maneira:

$ax^2 + bx + c \equiv (mx+n)^2$

Veja que essa é a condição mais geral que podemos ter, partindo do desenvolvimento de um binômio. Deste modo:

$ax^2 + bx + c \equiv m^2x^2 + 2mnx + n^2$

Teremos o seguinte sistema:

$\left\{ \begin{array}{l} a = m^2 \\ b = 2 mn \\ c = n^2 \\ \end{array} \right.$

Da segunda equação, veja que $b^2 = 4m^2n^2$ , portanto, $b = 4ac$ . Daí vemos que uma condição simples é $b = 0$ com, por exemplo, $c = 0$ , mas implicando não termos um trinômio propriamente dito, mas um monômio…

Continuando a análise, é possível verificar que, tanto $a$ quanto $c$ , se não nulos, devem ser positivos, pois sendo reais, são os quadrados de $m$ e $n$ respectivamente.

Podemos tirar a prova real, veja que $a x^2 \pm 2\sqrt{ac} x + c \equiv (\sqrt{a}x \pm \sqrt{c} )^2$ , com as condições vistas anteriormente. Assim, como vimos, a condição é que se tenha $a \cdot c \ne 0$ , $a,c > 0$ e $b^2 = 4ac$ , com $a,b,c \in \mathbb{R}$ .