Semelhança e Áreas de Triângulos

Olá leitor.

Recebi um problema que envolve retas paralelas, semelhança e áreas em uma só questão. Vamos lá:

Na figura, os ângulos A\widehat{B}C, A\widehat{C}D, C\widehat{E}D são retos. Se AB = 2\sqrt{3} m e CE = \sqrt{3} m, a razão entre as áreas dos triângulos ABC e CDE é

a) 6

b) 4

c) 3

d) 2

e) \sqrt{3}

Vamos então à solução. Vamos chamar o ângulo B\widehat{A}C = \alpha. Assim teremos B\widehat{C}A = 90^\circ - \alpha. Como A\widehat{C}D = 90^\circ, teremos E\widehat{C}D = \alpha e, portanto os triângulos ABC e CED são semelhantes. Assim, podemos escrever a relação:

\frac{BC}{ED} = \frac{AB}{CE} \Rightarrow \frac{BC}{ED} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2

Fazendo as áreas e calculando a razão entre elas:

\frac{(ABC)}{(CDE)} = \frac{\frac{AB \cdot BC}{2}}{\frac{ED \cdot CE}{2}} = \frac{AB \cdot BC}{ED \cdot CE} = \frac{2\sqrt{3} \cdot BC}{ED \cdot \sqrt{3}} = \frac{2BC}{ED} = 2 \times 2 = 4

Chegamos à opção B.

Até a próxima!

Anúncios

Minha iniciativa é GRATUITA.

Você pode AJUDAR:

— Doando qualquer quantia via PIX: leonardosantos.inf@gmail.com

— Pelo APOIA SE:

https://apoia.se/mentor

— Nos seguindo: 

http://www.instagram.com/curso_mentor_oficial

Mas, claro, fique a vontade, qualquer ajuda é bem vinda! 

E a melhor ajuda que você pode dar é GRÁTIS, DE GRAÇA, 0800: só basta DIVULGAR esta iniciativa!

Entre em nosso canal no Telegram: https://t.me/cursomentor

Apoiadores:

Edson Pereira Barros

Até!

[LSB]

Somas de Newton: uma Grande Ajuda!!!

Olá leitor.

Hoje trazemos um problema que envolve um sistema de equações não lineares e que, a princípio, parece fácil, mas na realidade, envolve métodos mais sofisticados que simplesmente substituir uma equação na outra. Veja o problema a seguir:

Sejam x, y e z números complexos que satisfazem o sistema de equações abaixo:

\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 7 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 25 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{4} \\ \end{array} \right.

O valor da soma x^3 + y^3 + z^3 é:

a) 210

b) 235

c) 250

d) 320

e) 325

Enviada por Matheus

Podemos inicialmente pensar em um polinômio P(n) tal que x, y e z sejam exatamente suas raízes e seja escrito como:

P(n) = a_3n^3 + a_2n^2 + a_1n + a_0

Das relações de Girard e do sistema dado chegamos a:

x + y + z = -\frac{a_2}{a_3} \Rightarrow -\frac{a_2}{a_3} = 7 \Rightarrow a_2 = -7a_3

Alem disso, sabendo que (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+xz), portanto:

(7)^2 = 25 + 2 \cdot \frac{a_1}{a_3} \Rightarrow \frac{a_1}{a_3} = 12 \Rightarrow a_1 = 12a_3

Da última equação do sistema:

\frac{xy+xz+yz}{xyz} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{\frac{a_1}{a_3}}{-\frac{a_0}{a_3}} = \frac{1}{4} \Rightarrow a_0 = -4a_1

Ou seja a_0 = 4 \cdot (12 a_3) \Rightarrow a_0 = -48a_3. Finalmente, podemos usar as somas de Newton:

a_3S_3 + a_2S_2+a_1S_1+a_0S_0 = 0

Teremos:

a_3 \cdot S_3 + (-7a_3)\cdot 25 + (12a_3)\cdot 7 + (-48a_3)\cdot 3 = 0

Como a_3 \ne 0, temos:

S_3 - 175 + 84 - 144 = 0 \Rightarrow S_3 = 235

Chegando à opção B.

Como observação, não nos estendemos sobre as somas de Newton, mas o faremos em momento oportuno!!!

Até a próxima!

Anúncios

Minha iniciativa é GRATUITA.

Você pode AJUDAR:

— Doando qualquer quantia via PIX: leonardosantos.inf@gmail.com

— Pelo APOIA SE:

https://apoia.se/mentor

— Nos seguindo: 

http://www.instagram.com/curso_mentor_oficial

Mas, claro, fique a vontade, qualquer ajuda é bem vinda! 

E a melhor ajuda que você pode dar é GRÁTIS, DE GRAÇA, 0800: só basta DIVULGAR esta iniciativa!

Entre em nosso canal no Telegram: https://t.me/cursomentor

Apoiadores:

Edson Pereira Barros

Até!

[LSB]

Campo Elétrico: uma Questão

Olá leitor.

Trago uma dúvida enviada para mim sobre campos elétricos gerados por cargas puntiformes. Segue a questão:

Duas cargas puntiformes Q_1 = 50 \cdot 10^{-9}\,\textrm{C} e Q_2 = 32 \cdot 10^{-9}\,\textrm{C}, estão colocadas nos vértices de um triângulo retângulo, como mostra a figura.

Determine a intensidade do vetor campo elétrico no ponto P.

Enviada por Paulo Marcio

Vamos lá.

O campo elétrico gerado por uma carga puntiforme Q, em um ponto que fica a uma distância d da carga, tem módulo E = k\frac{Q}{d^2}. Lembrando que k é a constante eletrostática do meio considerado, mas que não foi dada no enunciado. Assim, podemos calcular os módulos dos campos gerados por Q_1 e Q_2, que serão E_1 e E_2, respectivamente. Teremos:

E_1 = k \cdot \frac{Q_1}{5^2} = k \cdot \frac{50 \cdot 10^{-9}}{25} = 2k \cdot 10^{-9} \,\textrm{N/C}

Para a outra carga:

E_2 = k \cdot \frac{Q_2}{4^2} = k \cdot \frac{32 \cdot 10^{-9}}{16} = 2k \cdot 10^{-9} \,\textrm{N/C}

Temos agora dois vetores \vec{E}_1 e \vec{E}_2, formando um ângulo \theta como indicado na figura a seguir:

O vetor campo elétrico resultante \vec{E}_R terá módulo:

E_R^2 = E_1^2 + E_2^2 - 2 \cdot E_1 \cdot E_2 \cdot \cos (180^\circ - \theta)

Lembrando que \cos (180^\circ - \theta) = - \cos \theta e extraindo da figura anterior que \cos \theta = \frac{4}{5}, teremos:

E_R^2 = (2k \cdot 10^{-9})^2 + (2k \cdot 10^{-9})^2 - 2 \cdot (2k \cdot 10^{-9}) \cdot (2k \cdot 10^{-9}) \cdot (-\frac{4}{5})

Continuando com a conta:

E_R^2 = 8k^2 \cdot 10^{-18} + \frac{32 \cdot k^2 \cdot 10^{-18}}{5}

Finalmente:

E_R^2 = \frac{72 \cdot k^2 \cdot 10^{-18}}{5}

Agora, supondo que k = 9 \cdot 10^{9}\,\frac{\textrm{N} \cdot \textrm{m}^2}{\textrm{C}^2}, pois nada é dito no enunciado, teremos:

E_R^2 = \frac{72 \cdot 81 \cdot 10^{18} \cdot 10^{-18}}{5}

Ou seja, resultando em:

E_R^2 =  \frac{144 \times 81}{10} \Rightarrow E_R = 12 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} \Rightarrow E_R = \frac{54\sqrt{10}}{5}\,\textrm{N/C}

Um bom problema!

Até a próxima!

Anúncios

Minha iniciativa é GRATUITA.

Você pode AJUDAR:

— Doando qualquer quantia via PIX: leonardosantos.inf@gmail.com

— Pelo APOIA SE:

https://apoia.se/mentor

— Nos seguindo: 

http://www.instagram.com/curso_mentor_oficial

Mas, claro, fique a vontade, qualquer ajuda é bem vinda! 

E a melhor ajuda que você pode dar é GRÁTIS, DE GRAÇA, 0800: só basta DIVULGAR esta iniciativa!

Entre em nosso canal no Telegram: https://t.me/cursomentor

Apoiadores:

Edson Pereira Barros

Até!

[LSB]

ITA: uma Questão de Combinatória!

Olá leitor!

Segue uma questão sobre análise combinatória trazida até mim.

(ITA) Uma escola possui 18 professores, sendo 7 de Matemática, 3 de Física e 4 de Química. De quantas maneiras podemos formar comissões de 12 professores de modo que cada uma contenha exatamente 5 professores de Matemática, no mínimo 2 de Física e no máximo 4 de Química?

a) 875

b) 1877

c) 1995

d) 2877

e) N.D.A.

Enviada por Caio Franco

Esse é o tipo de problema que a boa e velha tática de separar em casos ajuda bastante. Vamos montar uma tabela com as possibilidades de números de professores, sendo M para Matemática; F para Física; Q para Química e O para as outras disciplinas.

\begin{array}{c | c | c | c}   M & F & Q & O \\ \hline 5 & 3 & 0 & 4 \\  5 & 3 & 1 & 3 \\ 5 & 3 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 1 & 4 \\ 5 & 2 & 2 & 3 \\ \end{array}

Assim, o total de escolhas será:

{7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 0} \cdot {4 \choose 4} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 3} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 2} \cdot {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 4} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 3}

Podemos colocar {7 \choose 5} em evidência:

{7 \choose 5} \cdot (1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 4 \cdot 4 + 1 \cdot 6 \cdot 6 + 3 \cdot 4 \cdot 1 +  3 \cdot 6 \cdot 4) = \frac{7!}{5! \cdot 2!} \cdot (1 +16 + 36 + 12 + 72) = 21 \cdot 137 = 2877

Opção D.

Uma questão não tão difícil, mas no padrão que se espera do ITA.

Até a próxima!

Anúncios

Minha iniciativa é GRATUITA.

Você pode AJUDAR:

— Doando qualquer quantia via PIX: leonardosantos.inf@gmail.com

— Pelo APOIA SE:

https://apoia.se/mentor

— Nos seguindo: 

http://www.instagram.com/curso_mentor_oficial

Mas, claro, fique a vontade, qualquer ajuda é bem vinda! 

E a melhor ajuda que você pode dar é GRÁTIS, DE GRAÇA, 0800: só basta DIVULGAR esta iniciativa!

Entre em nosso canal no Telegram: https://t.me/cursomentor

Apoiadores:

Edson Pereira Barros

Até!

[LSB]

Conjuntos, Múltiplos e Primos na Escola Naval

Olá leitor,

trazemos uma questão da prova de 2019/2020 da Escola Naval com um enunciado nem tão bem escrito assim, mas que tem uma abordagem interessante sobre a teoria de conjuntos. Vamos lá:

(Escola Naval) Seja W o conjunto dos números múltiplos de 2 ou P, em que P é um primo ímpar. Sabendo que \frac{3}{5} de W, que são múltiplos de P, são ímpares; \frac{2}{5} de W são ímpares; e 77 elementos de W não são múltiplos de 2P, pode-se afirmar que a quantidade de elementos de W que são ímpares é um número múltiplo de:

a) 4

b) 5

c) 7

d) 9

e) 11

Enviado por Marcus Tavares

Bom, em primeiro lugar, o enunciado já traz uma inadequação (pra não dizer equívoco) no início, uma vez que os múltiplos de 2 ou P são infinitos. Assim, deveria vir escrito que W é conjunto finito. Mas deixando isto de lado considere a figura a seguir:

Vamos considerar que M_P é o conjunto dos múltiplos de P e que M_2 é o conjunto dos múltiplos de 2.

Desse modo:

  • a serão os múltiplos de 2 que não são múltiplos de P;
  • b serão os múltiplos de 2 que também são múltiplos de P, ou seja, como P também é primo, serão os múltiplos de 2P; e
  • c serão os múltiplos de P que não são múltiplos de 2; portanto, correspondem aos múltiplos ímpares de P.

Chamando o total de elementos de x, do enunciado, tiramos as seguintes informações:

\left\{ \begin{array}{l} a+b+c = x \\ c = \frac{2}{5} x \\ c + a = 77 \\ \frac{3}{5}(c + b) = c \\ \end{array} \right.

Um comentário meu: com relação à última linha do sistema anterior, acho que o enunciado foi muito mal escrito, bastava dizer “dos múltiplos de P, \frac{3}{5} são ímpares”. Mas enfim, teremos, da última linha:

3c + 3b = 5c \Rightarrow b = \frac{2}{3} c

Da segunda linha, escrevemos: b = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}  \cdot x = \frac{4}{15} x e da terceira linha:

\frac{2}{5} x + a = 77 \Rightarrow a = 77 - \frac{2}{5} x

Agora, todas as variáveis estão em função de x, voltando à primeira linha do sistema:

a + b + c = x \Rightarrow 77 - \frac{2}{5} x + \frac{4}{15} x + \frac{2}{5} x = x

Então:

\frac{11}{15} x = 77 \Rightarrow x = 105

Como queremos apenas os valores ímpares, poderíamos simplesmente dizer: “infinitos”, mas lembre-se que o enunciado foi mal escrito (ou de má vontade ou ambos) e queremos o valor de c neste caso. Assim c = \frac{2}{5} \cdot 105 = 42 que é múltiplo de 7. Opção C.

Até mais!

Anúncios

Minha iniciativa é GRATUITA.

Você pode AJUDAR:

— Doando qualquer quantia via PIX: leonardosantos.inf@gmail.com

— Pelo APOIA SE:

https://apoia.se/mentor

— Nos seguindo: 

http://www.instagram.com/curso_mentor_oficial

Mas, claro, fique a vontade, qualquer ajuda é bem vinda! 

E a melhor ajuda que você pode dar é GRÁTIS, DE GRAÇA, 0800: só basta DIVULGAR esta iniciativa!

Entre em nosso canal no Telegram: https://t.me/cursomentor

Apoiadores:

Edson Pereira Barros

Até!

[LSB]

Probabilidade e M.D.C na Escola Naval

Olá leitor,

a prova da Escola Naval de 2020/2021 trouxe uma questão que envolve o M.D.C de dois números e uma pergunta sobre probabilidade. Segue a questão:

(EN) Escolhendo aleatoriamente um número do conjunto \{1;2;3;\ldots;2020\}, qual a probabilidade de que o número escolhido e 2020 sejam primos entre si?

a) \frac{40}{101}

b) \frac{153}{1010}

c) \frac{293}{1010}

d) \frac{401}{1010}

e) \frac{76}{505}

Enviada por Stephanie Wenceslau

Bom, primeiro, precisamos saber o que são números primos entre si ou ainda mutuamente primos. Dizemos que dois números naturais a e b são primos entre si, se \textrm{mdc} (a,b) = 1. O m.d.c. entre dois números naturais vale 1 se eles não possuem fatores comuns em sua fatoração em primos. Por exemplo, 9 e 16 são primos entre si, pois veja que 9 = 3^2 e 16 = 2^4.

É possível ver que dois números pares nunca são primos entre si, pois ambos são divisíveis por 2; e, que dois números primos também sempre são primos entre si, por conta da própria definição de números naturais primos.

Assim, fatorando 2020, encontramos 2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101. Ou seja, todos os múltiplos de 2, 5 ou 101 não serão primos com 2020, pois haverá fatores comuns em suas fatorações, tornando o m.d.c entre eles maior que 1.

Vamos contar então, primeiramente, os múltiplos de 2. Eles são em número M(2) = 1010. Para 5, temos M(5) = 404. Finalmente, para 101, ficamos com M(101) = 20.

Agora, ao somarmos estes valores, teremos M(2) + M(5) + M(101) = 1010 + 404 + 20 = 1434. Porém, precisamos atentar para o fato de que, estamos contando números repetidos, uma vez que os múltiplos de 10, por exemplo, são múltiplos de 2 e de 5 também; sendo, portanto, recontados. Vamos excluí-los.

Os múltiplos de 2 e de 5 são os múltiplos de 10, e são M(10) = 202. Para os múltiplos de 2 e de 101, teremos M(202) = 10; e, finalmente, os múltiplos de 5 e de 101 são em número total de M(505) = 4. Estes serão excluídos. O total é M(10) + M(202) + M(505) = 202 + 10 + 4 = 216.

Ainda precisamos considerar os múltiplos simultâneos de 2, 5 e 101, que serão os múltiplos de 1010. Estes são excluídos mais de uma vez e precisam ser reincluídos. Então M(1010) = 2.

Finalmente podemos encontrar todos os números naturais que têm fatores comuns com 2020, não sendo primos com 2020. Assim, eles são 1434 - 216 + 2 = 1220 no total. Como são 2020 números no total, temos 2020 - 1220 = 800 números que são primos entre si com 2020. Agora, temos a probabilidade:

P = \frac{800}{2020} = \frac{40}{101}

Opção A.

E aí, gostou.

Siga-me e ajude divulgando.

Anúncios

Minha iniciativa é GRATUITA.

Você pode AJUDAR:

— Doando qualquer quantia via PIX: leonardosantos.inf@gmail.com

— Pelo APOIA SE:

https://apoia.se/mentor

— Nos seguindo: 

http://www.instagram.com/curso_mentor_oficial

Mas, claro, fique a vontade, qualquer ajuda é bem vinda! 

E a melhor ajuda que você pode dar é GRÁTIS, DE GRAÇA, 0800: só basta DIVULGAR esta iniciativa!

Entre em nosso canal no Telegram: https://t.me/cursomentor

Apoiadores:

Edson Pereira Barros

Até!

[LSB]

Um Problema da AFA sobre o Teorema do Resto

Olá leitor.

Recebi uma dúvida hoje sobre o Teorema do Resto em uma questão da AFA. O enunciado segue abaixo:

Se o polinômio

P(x) = x^m - 2b^nx^{m-n} + b^m

é divisível por x+b, sendo m < n, n \in  \mathbb{N} e m \in \mathbb{N}^* e b \ne 0, então ocorrerá necessariamente:

a) m par e n ímpar

b) m ímpar e n par

c) m ímpar e n ímpar

d) m par e n par

Enviada por Milena Figueiredo

Bom, vamos lá.

O teorema do resto diz que “se dividirmos um polinômio P por um polinômio do primeiro grau D(x)  = ax + b, então o resto será R(x) = P(-\frac{b}{a}), em que -\frac{b}{a} é a raiz do divisor”. Assim, do enunciado, sabemos que o divisor é x + b e, portanto, sua raiz é x = -b. Calculando P(-b), teremos P(-b) = R(x) = 0, já que P é divisível por x + b, ou seja, deixa resto igual a zero. Assim:

P(-b) = (-b)^m - 2b^n(-b)^{m-n} + b^m = 0

Como, tanto m quanto n são números naturais, podemos escrever (-b)^m = [(-1) \cdot b]^m = (-1)^m \cdot b^m e substituir na equação:

(-1)^m \cdot b^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^{m-n} + b^m = 0

Finalmente:

(-1)^m \cdot b^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^m \cdot b^{-n} + b^m = 0

Colocando b^m em evidência:

b^m[(-1)^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^{-n} + 1] = 0

Veja que, dentro dos colchetes, teremos b^n \cdot b^{-n} = b^0, que só é possível se b \ne 0, continuando:

b^m[(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^0 + 1] = 0

Agora temos duas opções:

  1. Se b^m = 0, temos b = 0, mas daí teríamos b^0 = 0^0, que não é possível. A segunda opção é…
  2. Termos (-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^0 + 1 = 0, com b^0 =1, uma vez que já vimos na opção anterior que b \ne 0.

Desenvolvendo esta segunda opção, ficamos com:

(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m - n} + 1 = 0 \Rightarrow (-1)^m - 2 \cdot \frac{(-1)^m}{(-1)^n} + 1 = 0

Veja que, m sendo ímpar, teremos:

-1 - 2 \cdot \frac{(-1)}{(-1)^n} + 1 = 0 \Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} = 0

Que nunca será nulo, pois \frac{1}{(-1)^n} \ne 0 para qualquer n \in \mathbb{N}. Para m par, teremos:

1 - 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} + 1 = 0 \Rightarrow 2 - 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} = 0 \Rightarrow 2(1 - \frac{1}{(-1)^n}) = 0

Que nos dá 1 - \frac{1}{(-1)^n} = 0, logo (-1)^n = 1, portanto n é par. Assim, chegamos à opção D.

Anúncios

Minha iniciativa é GRATUITA.

Você pode AJUDAR:

— Doando qualquer quantia via PIX: leonardosantos.inf@gmail.com

— Pelo APOIA SE:

https://apoia.se/mentor

— Nos seguindo: 

http://www.instagram.com/curso_mentor_oficial

Mas, claro, fique a vontade, qualquer ajuda é bem vinda! 

E a melhor ajuda que você pode dar é GRÁTIS, DE GRAÇA, 0800: só basta DIVULGAR esta iniciativa!

Entre em nosso canal no Telegram: https://t.me/cursomentor

Apoiadores:

Edson Pereira Barros

Até!

[LSB]

Escola Naval: Sobre Fatorial e Divisores

Olá leitores.

Recebi estes dias uma dúvida que envolve o fatorial de um número e sua divisibilidade por 21. Vamos ver o enunciado e resolver:

(EN) O fatorial de 2020 é divisível por 21^n. O maior valor inteiro de n é:

a) 96

b) 288

c) 334

d) 440

e) 673

Marcus Tavares

Bom, vamos ao que interessa. Para que um número seja divisível por 21 é necessário que ele seja divisível por 3 e por 7. Então vejamos o seguinte: 7! só é divisível por 21^0 e 21^1, pois:

7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

Assim, fica claro que calculando \frac{7!}{21} teremos um inteiro, pois temos um fator de 7 e, pelo menos, um fator de 3 em 7!. Se continuarmos investigando os fatoriais consecutivos e maiores que 7!, isto não ocorrerá novamente até o 14!, veja:

14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

Fica explícito que 14! é divisível por 21^2, mas não por 21^3, pois há apenas dois fatores de 7, sendo um no próprio 7 e o outro no 14, embora haja muito mais fatores de 3.

Esse processo continua da mesma maneira até chegarmos ao 49!, pois 49 = 7^2, acrescentando, por sua vez, dois fatores de 7. Chegamos, a partir daí a seguinte conclusão:

  • cada múltiplo de 7 acrescenta um fator de 7;
  • cada múltiplo de 49 = 7^2 acrescentará dois fatores de 7, dos quais um já foi contado nos fatores de 7;
  • cada fator de 343 = 7^3 acrescentará três fatores de 7, dos quais dois já foram contados: um deles nos múltiplos de 7 e o outro nos múltiplo de 49;

Então vamos lá! Vamos calcular quantos múltiplos de 7,49,343,\ldots há de 1 a 2020:

  • Sabemos que 2020 = 7 \cdot 288 + 4, logo há 288 múltiplos de 7 de 1 a 2020;
  • Continuando, temos 2020 = 49 \cdot 41 + 11, portanto, há 41 múltiplos de 49 no mesmo intervalo; e
  • Finalmente, 2020 = 343 \cdot 5 + 305, havendo, então, 5 múltiplos.
  • Não há múltiplos de 7^4, pois 7^4 = 2401 > 2020.

Contando agora teremos:

n = 288 + 41 + 5 = 334 fatores de 7 em 2020!

Veja que, se a pergunta fosse, “quantos são os possíveis valores inteiros de n“, ainda incluiríamos o zero, ficando com 335 valores possíveis, sendo o 334 o maior deles!

Espero ter esclarecido!

Anúncios

Minha iniciativa é GRATUITA.

Você pode AJUDAR:

— Doando qualquer quantia via PIX: leonardosantos.inf@gmail.com

— Pelo APOIA SE:

https://apoia.se/mentor

— Nos seguindo: 

http://www.instagram.com/curso_mentor_oficial

Mas, claro, fique a vontade, qualquer ajuda é bem vinda! 

E a melhor ajuda que você pode dar é GRÁTIS, DE GRAÇA, 0800: só basta DIVULGAR esta iniciativa!

Entre em nosso canal no Telegram: https://t.me/cursomentor

Apoiadores:

Edson Pereira Barros

Até!

[LSB]

Aplicação da Identidade de Polinômios

Olá leitor!

Hoje trazemos uma questão que serve pra exemplificar a identidade de polinômios. Vamos lembrar que dois polinômios se tem exatamente os mesmos coeficientes para os mesmos termos. Isto é:

P_1(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0

É idêntico a

P_2(x) = b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \ldots + b_1x + b_0

Somente se a_n = b_n, a_{n-1} = b_{n-1}, \ldots, a_0 = b_0. Assim, queremos resolver o seguinte problema:

Determinar a condição necessária e suficiente para que a expressão \frac{a_1x^2 + b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}, em que a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2 são reais e não nulos, assuma um valor que não dependa de x.

Enviado por Paolla Souza

Se a expressão não depende de x, ela sempre assume um valor k \in \mathbb{R} para qualquer x \in \mathbb{R}. Assim, teremos:

\frac{a_1x^2 + b_1x + c_1}{a_2x^2 + b_2x + c_2} = k

E, portanto:

a_1x^2 + b_1x + c_1 = ka_2x^2 + kb_2x + k_2c_2

Ou seja, da identidade de polinômios:

a_1 = ka_2, b_1 = kb_2 e c_1 = kc_2

Fica claro que:

\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k

Por exemplo, veja só:

Seja k = 2 e, vamos escolher os coeficientes: \frac{2x^2 + 4x + 2}{x^2+ 2x +1} = 2 para todo x \in \mathbb{R} - \{-1\}, porque -1 é raiz do denominador, obviamente.

Espero ter ajudado.

Anúncios

Minha iniciativa é GRATUITA.

Você pode AJUDAR:

— Doando qualquer quantia via PIX: leonardosantos.inf@gmail.com

— Pelo APOIA SE:

https://apoia.se/mentor

— Nos seguindo: 

http://www.instagram.com/curso_mentor_oficial

Mas, claro, fique a vontade, qualquer ajuda é bem vinda! 

E a melhor ajuda que você pode dar é GRÁTIS, DE GRAÇA, 0800: só basta DIVULGAR esta iniciativa!

Entre em nosso canal no Telegram: https://t.me/cursomentor

Apoiadores:

Edson Pereira Barros

Até!

[LSB]

Sobre Trinômios Quadrados Perfeitos

Olá leitor.

Hoje, trago uma dúvida essencialmente simples que depende, de forma elementar, da identidade entre dois polinômios. Vamos lá:

Qual a condição para que ax^2 + bx + c seja um quadrado perfeito?

Enviado por Paolla Souza

Como queremos que o trinômio seja um quadrado perfeito, basta pensar da seguinte maneira:

ax^2 + bx + c \equiv (mx+n)^2

Veja que essa é a condição mais geral que podemos ter, partindo do desenvolvimento de um binômio. Deste modo:

ax^2 + bx + c \equiv m^2x^2 + 2mnx + n^2

Teremos o seguinte sistema:

\left\{ \begin{array}{l} a = m^2 \\ b = 2 mn \\ c = n^2 \\ \end{array} \right.

Da segunda equação, veja que b^2 = 4m^2n^2, portanto, b = 4ac. Daí vemos que uma condição simples é b = 0 com, por exemplo, c = 0, mas implicando não termos um trinômio propriamente dito, mas um monômio…

Continuando a análise, é possível verificar que, tanto a quanto c, se não nulos, devem ser positivos, pois sendo reais, são os quadrados de m e n respectivamente.

Podemos tirar a prova real, veja que a  x^2 \pm 2\sqrt{ac} x + c  \equiv (\sqrt{a}x \pm \sqrt{c} )^2, com as condições vistas anteriormente. Assim, como vimos, a condição é que se tenha a \cdot c \ne 0, a,c > 0 e b^2 = 4ac, com a,b,c \in \mathbb{R}.

Espero ter ajudado e até!

Anúncios

Minha iniciativa é GRATUITA.

Você pode AJUDAR:

— Doando qualquer quantia via PIX: leonardosantos.inf@gmail.com

— Pelo APOIA SE:

https://apoia.se/mentor

— Nos seguindo: 

http://www.instagram.com/curso_mentor_oficial

Mas, claro, fique a vontade, qualquer ajuda é bem vinda! 

E a melhor ajuda que você pode dar é GRÁTIS, DE GRAÇA, 0800: só basta DIVULGAR esta iniciativa!

Entre em nosso canal no Telegram: https://t.me/cursomentor

Apoiadores:

Edson Pereira Barros

Até!

[LSB]