Números Binomiais

Olá, leitores!

estamos de volta. Desta vez, vamos resolver dois problemas envolvendo números binomiais. Só pra lembrar, um número binomial é definido como {n \choose p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}, com p \leq n e n,p \in \mathbb{N} em que o símbolo n! é o fatorial do número n. Vamos lá:

Calcular:

2 \cdot {n \choose 2} - {n+1 \choose 2} = 9

Enviado por Stephanie Wenceslau

Desenvolvendo, de acordo com a definição:

2 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} - \frac{(n+1)!}{2!(n+1-2)!} = 9

Daí:

2 \cdot \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot (n-2)!} - \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{2 \cdot (n-1)!} = 9

Simplificando:

n \cdot (n-1) - \frac{(n+1) \cdot n }{2} = 9

Continuando:

n^2 - n - \frac{n^2+n}{2} = 9 \Rightarrow 2n^2 - 2n - n^2 - n = 18

Finalmente teremos n^2 -3n - 18 = 0. As raízes são n_1 = 6 e n_2 = -3. Como n \in \mathbb{N} teremos n = 6.

Calcular:

{n+3 \choose n} = 56

Enviado por Stephanie Wenceslau

Vamos lá, desenvolvendo:

\frac{(n+3)!}{n!(n+3-n)!} = 56

Teremos:

\frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1) \cdot n!}{n! \cdot 3!} = 56

Cancelando os devidos termos:

\frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)}{6} = 56 \Rightarrow (n+3)(n+2)(n+1) = 6 \cdot 56 = 6 \cdot 7 \cdot 8

Veja que, por mera observação, ja que n \in \mathbb{N} temos n = 5.

E aí? O que achou?

Até a próxima!

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