Números Binomiais

Leonardo Santos Tira-Teima 05/05/2021

Olá, leitores!

estamos de volta. Desta vez, vamos resolver dois problemas envolvendo números binomiais. Só pra lembrar, um número binomial é definido como ${n \choose p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ , com $p \leq n$ e $n,p \in \mathbb{N}$ em que o símbolo $n!$ é o fatorial do número $n$ . Vamos lá:

Calcular:
$2 \cdot {n \choose 2} - {n+1 \choose 2} = 9$
Enviado por Stephanie Wenceslau

Desenvolvendo, de acordo com a definição:

$2 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} - \frac{(n+1)!}{2!(n+1-2)!} = 9$

Daí:

$2 \cdot \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot (n-2)!} - \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{2 \cdot (n-1)!} = 9$

Simplificando:

$n \cdot (n-1) - \frac{(n+1) \cdot n }{2} = 9$

Continuando:

$n^2 - n - \frac{n^2+n}{2} = 9 \Rightarrow 2n^2 - 2n - n^2 - n = 18$

Finalmente teremos $n^2 -3n - 18 = 0$ . As raízes são $n_1 = 6$ e $n_2 = -3$ . Como $n \in \mathbb{N}$ teremos $n = 6$ .

Calcular:
${n+3 \choose n} = 56$
Enviado por Stephanie Wenceslau

Vamos lá, desenvolvendo:

$\frac{(n+3)!}{n!(n+3-n)!} = 56$

Teremos:

$\frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1) \cdot n!}{n! \cdot 3!} = 56$

Cancelando os devidos termos:

$\frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)}{6} = 56 \Rightarrow (n+3)(n+2)(n+1) = 6 \cdot 56 = 6 \cdot 7 \cdot 8$

Veja que, por mera observação, ja que $n \in \mathbb{N}$ temos $n = 5$ .

E aí? O que achou?

Até a próxima!

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[LSB]

Publicado por Leonardo Santos

Engenheiro Eletrônico e de Computação (UFRJ) Ver todos os posts por Leonardo Santos

Publicado 05/05/2021

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