Matrizes, Fatoração e Polinômios

Olá pessoal, estou de volta com uma questão da UNIRIO, trazida como dúvida pra mim, que envolve matrizes inversíveis e fatoração de polinômios. O problema segue abaixo:

(UNIRIO) Para que valor(es) real(is) de $x$ a matriz $\left[\begin{array}{ccc} 1 & x - 3 & 4 \\ 3 & 0 & -x \\ -2x & 4 & -8 \\ \end{array} \right]$ é inversível?
Enviada por Beatriz Marcondes

Sabemos que uma matriz tem inversa se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Daí podemos calcular o determinante pela regra de Sarrus:

$0 + 48 + 2x^2(x-3) - 0 + 4x + 24(x-3) \ne 0$

Desenvolvendo e agrupando os termos semelhantes:

$2x^3 - 6x^2 + 28x - 24 \ne 0$

Como todos os coeficientes são pares podemos dividir toda a equação por $2$ :

$x^3 - 3x^2 + 14x - 12 \ne 0$

Agora vem o problema. Quem são as raízes deste polinômio. Neste caso, é fácil! Perceba que a soma dos coeficientes do polinômio é zero: $1 + (-3) + 14 + (-12) = 0$ , isto nos garante que $1$ é uma das raízes deste polinômio. Para confirmar este fato, basta subistituir a incógnita por $1$ :

$1^3 - 3 \cdot 1^2 + 14 \cdot 1 - 12 = 0$

A recíproca do Teorema de D’Alembert garante que, se $x = a$ é raiz de um polinômio $P(x)$ , então $P(x)$ é divisível por $x-a$ , isto é, $P(x)$ é da forma $P(x) = (x-a) \cdot P_1(x)$ . Dito isso, vamos fatorar $P(x)$ (sim, eu sei, poderíamos usar Briot-Ruffini). Vamos lá:

$x^3 - 3x^2 + 14x - 12 \ne 0 \Rightarrow x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x + 12x - 12 \ne 0$

Assim:

$x^2(x - 1) -2x (x-1) + 12(x - 1) \ne 0 \Rightarrow (x-1)(x^2 - 2x + 12) \ne 0$

Só precisamos agora ver quais são as raízes do outro fator do produto acima: $x^2 - 2x + 12 \ne 0$ . Calculando o discriminante teremos $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = -44 < 0$ , logo não há raízes reais, significando que este fator nunca é zero. Portanto, o único valor que torna o determinante nulo é $x = 1$ . Logo, para a matriz ser inversível devemos ter $x \ne 1$ .