Problemas de Máximo e Mínimo

Olá leitores!

Hoje trazemos mais uma dúvida de uma de nossas leitoras. Esta dúvida envolve o conceito de máximo e mínimo envolvendo o trinômio do segundo grau. Vamos lá:

Um restaurante a quilo vende 200 quilos de comida por dia, a 40 reais o quilo. Uma pesquisa de opinião revelou que, cada aumento de um real no preço do quilo, o restaurante perde oito clientes por dia, com um consumo médio de 500 gramas cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida, em reais, para que o restaurante tenha a maior receita possível por dia?

a) 52

b) 51

c) 46

d) 45

e) 42

Enviado por Laura Helena

Bom, vamos lá. Para saber quanto o restaurante ganha por dia com a venda de refeições, sabemos que o total, em reais, será o quantos quilos de comida são vendidas por dia para cada cliente multiplicado pelo preço do quilo e pelo número total de clientes. Por exemplo, se são vendidos 0,5 quilo a 40 reais para cada quilo e são 100 clientes no dia, teremos um total de 0,5 \times 40 \times 100 = 2000 reais por dia.

Daí, vamos nomear as variáveis. Chamaremos de q o total de quilos vendidos por dia no restaurante; de p o preço do quilo neste restaurante; x vai ser o número de reais aumentados no preço do quilo.

Antes de escrever a função que calcula o total, precisamos saber quanto cada cliente consome em média. No enunciado, é dito que cada cliente consome 500 g (no caso 0,5 kg) e são vendidos q = 200 quilos por dia. Ou seja, \frac{200}{0,5} = 400 clientes por dia.

Do enunciado também sabemos que a cada aumento de um real no preço teremos oito clientes a menos. Assim, ao aumentar x reais, no preço, tornando-o p + x, diminuiremos 8x clientes no total. Veja: se aumentamos 3 reais, perdemos 3 \times 8 = 24 clientes. Agora sim, vamos lá.

A arrecadação (receita) do restaurante R(x) é dada por:

R(x) = (p + x) \cdot (\frac{q}{0,5} - 8x)

Substituindo os valores de p e q:

R(x) = (40 + x) \cdot (400 - 8x)

Vamos testar esta expressão. Se x = 0, teremos R(0) = 40 \cdot 400 = 16000 reais. Mas ao aumentar, por exemplo, um real x = 1, teremos um preço de 41 reais, porém 400 - 8 \cdot 1 = 392 clientes. Na função, teríamos:

R(1) = (40 + 1) \cdot (400 - 8) = 41 \times 392 = 16072 reais

Agora vamos desenvolver a função:

R(x) = -8x^2 + 80x + 16000

A receita máxima ocorre para x_V = -\frac{80}{2 \cdot (-8)}= \frac{80}{16} = 5. Como o preço inicial era de 40 reais, sabemos que o preço para o qual a receita é máxima é o de 45 reais. Opção D.

Veja que a variação é pequena e dava pra “chutar” olhando as opções.

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