Problemas de Máximo e Mínimo

Olá leitores!

Hoje trazemos mais uma dúvida de uma de nossas leitoras. Esta dúvida envolve o conceito de máximo e mínimo envolvendo o trinômio do segundo grau. Vamos lá:

Um restaurante a quilo vende $200$ quilos de comida por dia, a $40$ reais o quilo. Uma pesquisa de opinião revelou que, cada aumento de um real no preço do quilo, o restaurante perde oito clientes por dia, com um consumo médio de $500$ gramas cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida, em reais, para que o restaurante tenha a maior receita possível por dia?
a) $52$
b) $51$
c) $46$
d) $45$
e) $42$
Enviado por Laura Helena

Bom, vamos lá. Para saber quanto o restaurante ganha por dia com a venda de refeições, sabemos que o total, em reais, será o quantos quilos de comida são vendidas por dia para cada cliente multiplicado pelo preço do quilo e pelo número total de clientes. Por exemplo, se são vendidos $0,5$ quilo a $40$ reais para cada quilo e são $100$ clientes no dia, teremos um total de $0,5 \times 40 \times 100 = 2000$ reais por dia.

Daí, vamos nomear as variáveis. Chamaremos de $q$ o total de quilos vendidos por dia no restaurante; de $p$ o preço do quilo neste restaurante; $x$ vai ser o número de reais aumentados no preço do quilo.

Antes de escrever a função que calcula o total, precisamos saber quanto cada cliente consome em média. No enunciado, é dito que cada cliente consome $500$ g (no caso $0,5$ kg) e são vendidos $q = 200$ quilos por dia. Ou seja, $\frac{200}{0,5} = 400$ clientes por dia.

Do enunciado também sabemos que a cada aumento de um real no preço teremos oito clientes a menos. Assim, ao aumentar $x$ reais, no preço, tornando-o $p + x$ , diminuiremos $8x$ clientes no total. Veja: se aumentamos $3$ reais, perdemos $3 \times 8 = 24$ clientes. Agora sim, vamos lá.

A arrecadação (receita) do restaurante $R(x)$ é dada por:

$R(x) = (p + x) \cdot (\frac{q}{0,5} - 8x)$

Substituindo os valores de $p$ e $q$ :

$R(x) = (40 + x) \cdot (400 - 8x)$

Vamos testar esta expressão. Se $x = 0$ , teremos $R(0) = 40 \cdot 400 = 16000$ reais. Mas ao aumentar, por exemplo, um real $x = 1$ , teremos um preço de $41$ reais, porém $400 - 8 \cdot 1 = 392$ clientes. Na função, teríamos:

$R(1) = (40 + 1) \cdot (400 - 8) = 41 \times 392 = 16072$ reais

Agora vamos desenvolver a função:

$R(x) = -8x^2 + 80x + 16000$

A receita máxima ocorre para $x_V = -\frac{80}{2 \cdot (-8)}= \frac{80}{16} = 5$ . Como o preço inicial era de $40$ reais, sabemos que o preço para o qual a receita é máxima é o de $45$ reais. Opção D.