Desenvolvimento de um Binômio

Olá leitores!

Trazemos uma dúvida envia por uma leitora. A dúvida segue, e também sua resolução. Vamos lá:

Calcule o termo em x^8 no desenvolvimento (x^2 + \frac{1}{x})^{10}.

Enviada por Stephanie Wenceslau.

Bom, sabemos que o termo geral do desenvolvimento de um binômio de Newton é dado por T_{p+1} = {n \choose p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p. Assim, nosso termo geral será da forma:

T_{p+1} = {10 \choose p} \cdot (x^2)^{10 - p} \cdot (\frac{1}{x})^p

Então:

T_{p+1} = {10 \choose p} \cdot x^{2(10 - p)} \cdot (x)^{(-p)} \Rightarrow T_{p+1} = {10 \choose p} \cdot x^{2(10 - p) - p}

Como queremos x^8, teremos 2(10-p) - p = 8, finalmente 20 - 3p = 8, logo p = 4. Assim, o termo procurado é o quinto termo. Teremos:

T_5 = {10 \choose 4} \cdot x^8

O número binomial é {10 \choose 4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot  8 \cdot  7 \cdot  6!}{4! \cdot 6!} = 210. Assim, o termo procurado é T_5 = 210x^8.

Bons estudos!

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