Desenvolvimento de um Binômio

Olá leitores!

Trazemos uma dúvida envia por uma leitora. A dúvida segue, e também sua resolução. Vamos lá:

Calcule o termo em $x^8$ no desenvolvimento $(x^2 + \frac{1}{x})^{10}$ .
Enviada por Stephanie Wenceslau.

Bom, sabemos que o termo geral do desenvolvimento de um binômio de Newton é dado por $T_{p+1} = {n \choose p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p$ . Assim, nosso termo geral será da forma:

$T_{p+1} = {10 \choose p} \cdot (x^2)^{10 - p} \cdot (\frac{1}{x})^p$

Então:

$T_{p+1} = {10 \choose p} \cdot x^{2(10 - p)} \cdot (x)^{(-p)} \Rightarrow T_{p+1} = {10 \choose p} \cdot x^{2(10 - p) - p}$

Como queremos $x^8$ , teremos $2(10-p) - p = 8$ , finalmente $20 - 3p = 8$ , logo $p = 4$ . Assim, o termo procurado é o quinto termo. Teremos:

$T_5 = {10 \choose 4} \cdot x^8$

O número binomial é ${10 \choose 4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{4! \cdot 6!} = 210$ . Assim, o termo procurado é $T_5 = 210x^8$ .