Exercícios Gerais: EEAr

Olá leitores!

Mais uma lista de exercícios gerais, desta vez uma lista que serve para a EEAr.

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EsPCEx: 47 Questões de Matemática na Reta Final!

Olá leitor!

A EsPCEx de 2021/2022 tá chegando e, com ela, se intensificam as listas de revisão de conteúdo. Deixo, então uma lista com 47 questões de matemática da EsPCEx pra você que irá fazer a prova em breve!

Bons estudos e boa semana!

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EEAr: 80 Questões de Física!

Olá leitor!

Hoje trazemos mais uma coletânea de questões de física da EEAr. São 80 questões (espero não ter repetido nenhuma) envolvendo os assuntos Termometria, Dilatação Térmica, Trocas de Calor, Mudanças de Fase e Propagação do Calor.

Segue a lista, abaixo.

Em breve, tem mais.

Bons estudos e até breve!

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EEAr: TODAS as Questões de Exponenciais!

Olá leitor!

Já tínhamos postado aqui, mas por algum motivo deu ruim no WP e por isso, estou repostando.

Segue a lista atualizada (achei mais duas questões) da EEAr.

Bons estudos!

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EFOMM: 33 Questões de Provas Antigas!

Olá leitor!

Vai fazer prova pra EFOMM este ano? Deixamos 33 questões coletadas de provas antigas da EFOMM pra você!

Bons estudos!

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Semelhança e Áreas de Triângulos

Olá leitor.

Recebi um problema que envolve retas paralelas, semelhança e áreas em uma só questão. Vamos lá:

Na figura, os ângulos A\widehat{B}C, A\widehat{C}D, C\widehat{E}D são retos. Se AB = 2\sqrt{3} m e CE = \sqrt{3} m, a razão entre as áreas dos triângulos ABC e CDE é

a) 6

b) 4

c) 3

d) 2

e) \sqrt{3}

Vamos então à solução. Vamos chamar o ângulo B\widehat{A}C = \alpha. Assim teremos B\widehat{C}A = 90^\circ - \alpha. Como A\widehat{C}D = 90^\circ, teremos E\widehat{C}D = \alpha e, portanto os triângulos ABC e CED são semelhantes. Assim, podemos escrever a relação:

\frac{BC}{ED} = \frac{AB}{CE} \Rightarrow \frac{BC}{ED} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2

Fazendo as áreas e calculando a razão entre elas:

\frac{(ABC)}{(CDE)} = \frac{\frac{AB \cdot BC}{2}}{\frac{ED \cdot CE}{2}} = \frac{AB \cdot BC}{ED \cdot CE} = \frac{2\sqrt{3} \cdot BC}{ED \cdot \sqrt{3}} = \frac{2BC}{ED} = 2 \times 2 = 4

Chegamos à opção B.

Até a próxima!

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Somas de Newton: uma Grande Ajuda!!!

Olá leitor.

Hoje trazemos um problema que envolve um sistema de equações não lineares e que, a princípio, parece fácil, mas na realidade, envolve métodos mais sofisticados que simplesmente substituir uma equação na outra. Veja o problema a seguir:

Sejam x, y e z números complexos que satisfazem o sistema de equações abaixo:

\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 7 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 25 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{4} \\ \end{array} \right.

O valor da soma x^3 + y^3 + z^3 é:

a) 210

b) 235

c) 250

d) 320

e) 325

Enviada por Matheus

Podemos inicialmente pensar em um polinômio P(n) tal que x, y e z sejam exatamente suas raízes e seja escrito como:

P(n) = a_3n^3 + a_2n^2 + a_1n + a_0

Das relações de Girard e do sistema dado chegamos a:

x + y + z = -\frac{a_2}{a_3} \Rightarrow -\frac{a_2}{a_3} = 7 \Rightarrow a_2 = -7a_3

Alem disso, sabendo que (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+xz), portanto:

(7)^2 = 25 + 2 \cdot \frac{a_1}{a_3} \Rightarrow \frac{a_1}{a_3} = 12 \Rightarrow a_1 = 12a_3

Da última equação do sistema:

\frac{xy+xz+yz}{xyz} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{\frac{a_1}{a_3}}{-\frac{a_0}{a_3}} = \frac{1}{4} \Rightarrow a_0 = -4a_1

Ou seja a_0 = 4 \cdot (12 a_3) \Rightarrow a_0 = -48a_3. Finalmente, podemos usar as somas de Newton:

a_3S_3 + a_2S_2+a_1S_1+a_0S_0 = 0

Teremos:

a_3 \cdot S_3 + (-7a_3)\cdot 25 + (12a_3)\cdot 7 + (-48a_3)\cdot 3 = 0

Como a_3 \ne 0, temos:

S_3 - 175 + 84 - 144 = 0 \Rightarrow S_3 = 235

Chegando à opção B.

Como observação, não nos estendemos sobre as somas de Newton, mas o faremos em momento oportuno!!!

Até a próxima!

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Campo Elétrico: uma Questão

Olá leitor.

Trago uma dúvida enviada para mim sobre campos elétricos gerados por cargas puntiformes. Segue a questão:

Duas cargas puntiformes Q_1 = 50 \cdot 10^{-9}\,\textrm{C} e Q_2 = 32 \cdot 10^{-9}\,\textrm{C}, estão colocadas nos vértices de um triângulo retângulo, como mostra a figura.

Determine a intensidade do vetor campo elétrico no ponto P.

Enviada por Paulo Marcio

Vamos lá.

O campo elétrico gerado por uma carga puntiforme Q, em um ponto que fica a uma distância d da carga, tem módulo E = k\frac{Q}{d^2}. Lembrando que k é a constante eletrostática do meio considerado, mas que não foi dada no enunciado. Assim, podemos calcular os módulos dos campos gerados por Q_1 e Q_2, que serão E_1 e E_2, respectivamente. Teremos:

E_1 = k \cdot \frac{Q_1}{5^2} = k \cdot \frac{50 \cdot 10^{-9}}{25} = 2k \cdot 10^{-9} \,\textrm{N/C}

Para a outra carga:

E_2 = k \cdot \frac{Q_2}{4^2} = k \cdot \frac{32 \cdot 10^{-9}}{16} = 2k \cdot 10^{-9} \,\textrm{N/C}

Temos agora dois vetores \vec{E}_1 e \vec{E}_2, formando um ângulo \theta como indicado na figura a seguir:

O vetor campo elétrico resultante \vec{E}_R terá módulo:

E_R^2 = E_1^2 + E_2^2 - 2 \cdot E_1 \cdot E_2 \cdot \cos (180^\circ - \theta)

Lembrando que \cos (180^\circ - \theta) = - \cos \theta e extraindo da figura anterior que \cos \theta = \frac{4}{5}, teremos:

E_R^2 = (2k \cdot 10^{-9})^2 + (2k \cdot 10^{-9})^2 - 2 \cdot (2k \cdot 10^{-9}) \cdot (2k \cdot 10^{-9}) \cdot (-\frac{4}{5})

Continuando com a conta:

E_R^2 = 8k^2 \cdot 10^{-18} + \frac{32 \cdot k^2 \cdot 10^{-18}}{5}

Finalmente:

E_R^2 = \frac{72 \cdot k^2 \cdot 10^{-18}}{5}

Agora, supondo que k = 9 \cdot 10^{9}\,\frac{\textrm{N} \cdot \textrm{m}^2}{\textrm{C}^2}, pois nada é dito no enunciado, teremos:

E_R^2 = \frac{72 \cdot 81 \cdot 10^{18} \cdot 10^{-18}}{5}

Ou seja, resultando em:

E_R^2 =  \frac{144 \times 81}{10} \Rightarrow E_R = 12 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} \Rightarrow E_R = \frac{54\sqrt{10}}{5}\,\textrm{N/C}

Um bom problema!

Até a próxima!

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ITA: uma Questão de Combinatória!

Olá leitor!

Segue uma questão sobre análise combinatória trazida até mim.

(ITA) Uma escola possui 18 professores, sendo 7 de Matemática, 3 de Física e 4 de Química. De quantas maneiras podemos formar comissões de 12 professores de modo que cada uma contenha exatamente 5 professores de Matemática, no mínimo 2 de Física e no máximo 4 de Química?

a) 875

b) 1877

c) 1995

d) 2877

e) N.D.A.

Enviada por Caio Franco

Esse é o tipo de problema que a boa e velha tática de separar em casos ajuda bastante. Vamos montar uma tabela com as possibilidades de números de professores, sendo M para Matemática; F para Física; Q para Química e O para as outras disciplinas.

\begin{array}{c | c | c | c}   M & F & Q & O \\ \hline 5 & 3 & 0 & 4 \\  5 & 3 & 1 & 3 \\ 5 & 3 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 1 & 4 \\ 5 & 2 & 2 & 3 \\ \end{array}

Assim, o total de escolhas será:

{7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 0} \cdot {4 \choose 4} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 3} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 2} \cdot {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 4} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 3}

Podemos colocar {7 \choose 5} em evidência:

{7 \choose 5} \cdot (1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 4 \cdot 4 + 1 \cdot 6 \cdot 6 + 3 \cdot 4 \cdot 1 +  3 \cdot 6 \cdot 4) = \frac{7!}{5! \cdot 2!} \cdot (1 +16 + 36 + 12 + 72) = 21 \cdot 137 = 2877

Opção D.

Uma questão não tão difícil, mas no padrão que se espera do ITA.

Até a próxima!

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CN, EPCAr: um Pequeno Simulado!

Olá leitor,

deixo hoje pra você um pequeno simulado com 20 questões de matemática que servem de preparação pra você que está estudando para o Colégio Naval/ou para a EPCAr.

Boa sorte e bons estudos!!!

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