Olá leitores!
Trago pra vocês uma lista com mais de 90 exercícios (com GABARITO) de geometria do Colégio Naval. Aproveite para ver o nível das questões e relembrar conceitos básicos.
Espero que te ajude!
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Edson Pereira Barros
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[LSB]
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a 
no quadrado 
a seguir, substituindo as letras de 
a 
, de modo que a soma em cada linha, coluna ou diagonal seja sempre a mesma.
e a soma das três linhas é a mesma, valendo 
, teremos:
, já que são 
.
, fica duplicado para manter a soma dos termos equidistantes igual a 
. Agora, vamos voltar ao nosso quadrado mágico. O que queremos é dispor os números digamos que “em torno” da letra 
, pois veja que, se temos:
, limitando um pouco mais as possibilidades de escolha.
, 
, 
e 
sejam extremos equidistantes da mesma P.A. Como só sobrou a letra 
, portanto, podemos montar o seguinte sistema:
é uma combinação linear das demais e não uma nova equação.
, encontrando 
e substituir este resultado nas demais:
na primeira, obtendo 
:
:
, (haja paciência…!):
, portanto, 
. Veja que só poderemos, com isso, achar o valor de 
, mas não os valores de 
e 
individualmente. Isto confirma nossa hipótese inicial de que há mais de uma maneira de “arrumar” os números.
, 
e 
são duas matrizes quadradas de ordem 
e a matriz identidade de ordem 
. Assim:
, quem é a matriz 
que satisfaz esta equação?
. Como 
, da definição de inversa, podemos escrever:
, a matriz das incógnitas de 
, tendo assim a equação a seguir:
![X = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \cdot \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=X+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D+x+%5C%5C+y+%5C%5C+z+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%5D+%3D+%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Brrr%7D+1+%26+1+%26+0+%5C%5C+0+%26+-1+%26+2+%5C%5C+-1+%26+0+%26+1+%5C%5C+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%5D+%5Ccdot++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D+1+%5C%5C+1+%5C%5C+2+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
![X = \left[\begin{array}{c} 1+1+0 \\ 0-1+4 \\ -1+0+2 \end{array} \right] \Rightarrow \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=X+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D+1%2B1%2B0+%5C%5C+0-1%2B4+%5C%5C+-1%2B0%2B2+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%5D+%5CRightarrow++%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D+x+%5C%5C+y+%5C%5C+z+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%5D+%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D+2+%5C%5C+3+%5C%5C+1+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
, 
e 
, opção E.
, 
, 
e 
são cevianas. Se tivermos 
, 
e 
então as três cevianas serão bissetrizes internas. 
de incentro do triângulo 
) e 
, em que 
é o raio do círculo inscrito, também chamado de incírculo. Fiz essa figura pra que seja percebido que os “pés” das bissetrizes não são, necessariamente, pontos do círculo inscrito.
, 
e 
.
. Como não é nosso foco, fica pra depois. Bom qual nosso foco, no momento então? A relação entre o angulo interno do vértice 
na figura a seguir:
para o triângulo 
ou 
com incentro. Se 
, qual o valor de 
?
é uma matriz quadrada de ordem 
da linha 
(
) da matriz 
da linha 
(
e 
) da matriz multiplicados por uma constante real 
, teremos:
:![M = \left[ \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=M+%3D+%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D+103+%26+120+%5C%5C+201+%26+150+%5C%5C+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0&c=20201002)
. 
.
como 
e a nova terceira linha 
como 
, assim teremos:
, veja:
