Escola Naval: 32 Questões Gerais de Revisão

Olá pessoal!

Está de bobeira aí?!

Seguem, então, 32 questões de provas antigas (bem antigas, da década de 90!) da Escola Naval, todas com GABARITO para sua revisão nesta reta final!

Divirtam-se:

Bons estudos e boa semana!

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44 Exercícios Gerais da AFA

Olá leitores!

Pra esquentar sua semana, trago uma lista de 44 exercícios de matemática da AFA de diversos assuntos: trigonometria em geral, incluindo equações e inequações trigonométricas, logaritmos e exponenciais, além de funções e outros assuntos.

Segue a lista:

A lista está toda com gabarito. Se aparecer um exercício com gabarito com “X” na opção, significa que não encontramos gabarito e não conseguimos comparar com outras provas pra ter referência pra corrigir.

Bons estudos!

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Alguns Bons Exercícios para a EEAr!

Olá leitores!

Segue uma pequena lista com sete exercícios de matemática de assuntos diversos, criados por mim, para simular questões da EEAr.

São poucos exercícios, mas são interessantes. Pode confiar.

Bons estudos!

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32 Exercícios de Matemática da AFA

Olá leitores!

Separamos alguns exercícios da AFA de vários assuntos: matrizes, determinantes, P.A. e P.G., binômio geometria (diversos tópicos) e por aí vai…!

Segue a lista:

Bons estudos e até a próxima lista!

PS.: Só pra lembrar, esta lista e muitas outras, ficam também disponíveis aqui neste link!

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EFOMM: Uma Pequena Lista!

Olá leitores, sem mais demora trago pra vocês uma lista com cerca de 20 exercícios da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante, também conhecida como EFOMM.

São exercícios gerais, envolvendo conjuntos, P.A., P.G., matrizes, determinantes, sistemas lineares, geometria (principalmente trigonometria no triângulo), e outros assuntos que podem vir de “coadjuvantes” em algumas questões, se é que você me entende…

Clica no link abaixo pra pegar a lista:

Bons estudos e espero que você seja feliz!

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+ de 90 Exercícios de Geometria

Olá leitores!

Trago pra vocês uma lista com mais de 90 exercícios (com GABARITO) de geometria do Colégio Naval. Aproveite para ver o nível das questões e relembrar conceitos básicos.

Espero que te ajude!

Bons estudos!

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Mais uma Lista: Exercícios EsPCEx

Olá leitores!

Fim de terça-feira, passo aqui para deixar uma pequena lista de exercícios de matemática para a EsPCEx. Vai ser assim, pá-pum!

Faz aí, sucesso e boa semana.

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Quadrado Mágico: Sistemas e Progressões Aritméticas

Olá, leitores!

Provavelmente você já viu o problema a seguir. A ideia é distribuir os números naturais de 1 a 9 no quadrado 3 \times 3 a seguir, substituindo as letras de a a i, de modo que a soma em cada linha, coluna ou diagonal seja sempre a mesma.

\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}

Antes de começar a tentar resolver, há algumas coisas a se perceber. Vamos lá!

Em primeiro lugar, não é qualquer conjunto de números que pode ser substituído nas letras. Se a soma de todos os números é S e a soma das três linhas é a mesma, valendo k, teremos:

a + b + c = d + e + f = g + h + i = k

Portanto:

(a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + i) = S \Rightarrow 3k = S \Rightarrow k = \frac{S}{3}

O que mostra que, se os números são naturais, S deve ser múltiplo do número de linhas e, em particular, no nosso caso, múltiplo de 3, já que são 3 linhas. Como temos os números de 1 a 9, sabemos que:

1 + 2 + \ldots + 8 + 9 = 45

Que nada mais é que a soma dos 9 termos de uma P.A. de razão 1. Podemos concluir que a soma de cada linha é, portanto, em nosso caso, 15.

Essa é a primeira conexão que faremos com as progressões aritméticas. A segunda vem de uma propriedade. Em qualquer P.A. a soma de termos equidistantes dos extremos é constante. Por exemplo, se dispormos os números de 1 a 9 como segue:

(1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Vemos claramente que:

1 + 9 = 2 + 8 = 3 +7 = 4 + 6 = 2 \cdot 5

Preste atenção na última igualdade acima. O termo central, que vale 5, fica duplicado para manter a soma dos termos equidistantes igual a 10. Agora, vamos voltar ao nosso quadrado mágico. O que queremos é dispor os números digamos que “em torno” da letra e, pois veja que, se temos:

a + e + i = d + e + f = g + e + c = b + e + h

Teremos:

a +  i = d + f = g + c = b + h

E, além disso, a + b + c = g + h + i, limitando um pouco mais as possibilidades de escolha.

Dos nove números, há oito listados na sequência de três igualdades anterior. E, agora, nosso trabalho fica reduzido a escrever uma P.A. em que os pares (a,i), (d,f), (g,c) e (b,h) sejam extremos equidistantes da mesma P.A. Como só sobrou a letra e, ela deve ser o termo central da P.A., que já sabemos ser 5. Mas vamos alocar os números para verificar, o que ocorre da seguinte maneira:

(b,i,d,g,e,c,f,a,h) = (1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Confira no “quadrado mágico”:

\begin{array}{ccc} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \end{array}

Mas será que essa é a única maneira de dispor os números? Não! Deixo pra você pensar o por quê, mas deixo uma dica: tente “girar” o quadrado mágico!

Agora, o que o quadrado mágico tem a ver com sistemas lineares? Bom, sabemos que o problema pode ser traduzido em um conjunto de equações envolvendo as letras de a a i e que a soma das linhas vale k = \frac{45}{3}, portanto, podemos montar o seguinte sistema:

\left\{ \begin{array}{r} a + b + c = 15 \\  d + e + f = 15 \\  g + h + i = 15 \\  a + d + g = 15 \\  b + e + h = 15 \\ c + f + i = 15 \\  a + e + i = 15 \\  g + e + c = 15 \\ \end{array} \right.

Como há nove incógnitas e somente oito equações, este sistema terá mais de uma solução (pense se serão infinitas… :)). Perceba que a equação a + b + \ldots + h + i = 45 é uma combinação linear das demais e não uma nova equação.

Agora, “mãos à obra”, como diríamos; queremos calcular e, vamos então isolar as demais em função dela. Da primeira, vamos isolar c, encontrando c = 15 - (a+b) e substituir este resultado nas demais:

\left\{ \begin{array}{r}  d + e + f = 15 \\  g + h + i = 15 \\  a + d + g = 15 \\  b + e + h = 15 \\ 15 - (a+b) + f + i = 15 \\  a + e + i = 15 \\  g + e + 15 - (a+b) = 15 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}  d + e + f = 15 \\  g + h + i = 15 \\  a + d + g = 15 \\  b + e + h = 15 \\  f + i = a + b \\  a + e + i = 15 \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right.

Observe a quinta e a sétima equação, elas são meras observações do quadrado mágico. Confira lá. Continuando, vamos isolar d na primeira, obtendo d = 15 - (e + f):

\left\{ \begin{array}{r}   g + h + i = 15 \\  a + 15 - (e + f) + g = 15 \\  b + e + h = 15 \\  f + i = a + b \\  a + e + i = 15 \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow  \left\{ \begin{array}{r}   g + h + i = 15 \\  a + g = e + f \\  b + e + h = 15 \\  f + i = a + b \\  a + e + i = 15 \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right.

Agora, faremos o mesmo para i, escrevendo i = 15 - (g+h):

\left\{ \begin{array}{r}    a + g = e + f \\  b + e + h = 15 \\  f + 15 - (g+h) = a + b \\  a + e + 15 - (g+h) = 15 \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}  a + g = e + f \\  b + e + h = 15 \\  a + b + g + h - f = 15 \\  a + e  = g+h \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right.

Vamos agora, isolar a na primeira, obtendo a = e + f - g, (haja paciência…!):

\left\{ \begin{array}{r}  b + e + h = 15 \\  e + f - g + b + g + h - f = 15 \\  e + f - g + e  = g+h \\  g + e = e + f - g +b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}  b + e + h = 15 \\  e  + b  + h = 15 \\  2e  = 2g + h - f \\  2g =  f +b \\ \end{array} \right.

As duas primeiras são iguais, podemos eliminar uma delas:

\left\{ \begin{array}{r}  e  + b  + h = 15 \\  2e  = 2g + h - f \\  2g =  f +b \\ \end{array} \right.

Substituindo a terceira na segunda:

\left\{ \begin{array}{r}  e  + b  + h = 15 \\  2e  = f + b + h - f \\ \end{array} \right. \Rightarrow  \left\{ \begin{array}{r}  e  + b  + h = 15 \\  2e  =  b + h \\ \end{array} \right.

Comparando as duas teremos 3e = 15, portanto, e = 5. Veja que só poderemos, com isso, achar o valor de b+h =10, mas não os valores de b e h individualmente. Isto confirma nossa hipótese inicial de que há mais de uma maneira de “arrumar” os números.

E aí? Curtiu nossa solução? Divulgue!

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Sobre o Produto dos Termos de uma P.G.

Olá leitores.

Estou passando aqui rapidamente, neste fim de domingo, para deixar um material que fala sobre as fórmulas que calculam o produto dos termos de uma progressão geométrica.

Você pode baixá-lo aqui:

Deixo aqui também um vídeo falando sobre o assunto:

E também o rascunho de uma apostila sobre progressões geométricas:

Bons estudos!

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Mais de 500 Exercícios da EEAr!

Olá leitores,

por mais que eu já tenha falado aqui, vou reforçar: nunca paramos de desenvolver materiais. E vamos, a partir de agora, continuar trazendo, porém de forma mais incisiva e intensa, ou seja, muito mais materiais. Este é apenas um deles.

Neste material, você encontra mais de 500 questões de matemática da EEAr, quase todas com gabarito! Prometo que, em breve, colocaremos mais e mais questões, até que todas as questões de 2000 a 2021 estejam neste material, com gabarito. Logo essa é uma versão provisória, mas que você já pode ir usando. Clique abaixo e divirta-se:

Espero, de verdade, que isto te ajude a alcançar seus objetivos!

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