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Probabilidade e M.D.C na Escola Naval
Olá leitor,
a prova da Escola Naval de 2020/2021 trouxe uma questão que envolve o M.D.C de dois números e uma pergunta sobre probabilidade. Segue a questão:
(EN) Escolhendo aleatoriamente um número do conjunto
, qual a probabilidade de que o número escolhido e
sejam primos entre si?
a)
b)
c)
d)
e)
Enviada por Stephanie Wenceslau
Bom, primeiro, precisamos saber o que são números primos entre si ou ainda mutuamente primos. Dizemos que dois números naturais e
são primos entre si, se
. O m.d.c. entre dois números naturais vale
se eles não possuem fatores comuns em sua fatoração em primos. Por exemplo,
e
são primos entre si, pois veja que
e
.
É possível ver que dois números pares nunca são primos entre si, pois ambos são divisíveis por ; e, que dois números primos também sempre são primos entre si, por conta da própria definição de números naturais primos.
Assim, fatorando , encontramos
. Ou seja, todos os múltiplos de
,
ou
não serão primos com
, pois haverá fatores comuns em suas fatorações, tornando o m.d.c entre eles maior que
.
Vamos contar então, primeiramente, os múltiplos de . Eles são em número
. Para
, temos
. Finalmente, para
, ficamos com
.
Agora, ao somarmos estes valores, teremos . Porém, precisamos atentar para o fato de que, estamos contando números repetidos, uma vez que os múltiplos de
, por exemplo, são múltiplos de
e de
também; sendo, portanto, recontados. Vamos excluí-los.
Os múltiplos de e de
são os múltiplos de
, e são
. Para os múltiplos de
e de
, teremos
; e, finalmente, os múltiplos de
e de
são em número total de
. Estes serão excluídos. O total é
.
Ainda precisamos considerar os múltiplos simultâneos de ,
e
, que serão os múltiplos de
. Estes são excluídos mais de uma vez e precisam ser reincluídos. Então
.
Finalmente podemos encontrar todos os números naturais que têm fatores comuns com , não sendo primos com
. Assim, eles são
no total. Como são
números no total, temos
números que são primos entre si com
. Agora, temos a probabilidade:
Opção A.
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[LSB]
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