A Beleza das Constantes Matemáticas Visualmente

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Exercícios Gerais: EEAr

Olá leitores!

Mais uma lista de exercícios gerais, desta vez uma lista que serve para a EEAr.

Como sempre, é de graça. Só pedimos que, se houver erro que nos notifique para que seja corrigido.

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EsPCEx: 47 Questões de Matemática na Reta Final!

Olá leitor!

A EsPCEx de 2021/2022 tá chegando e, com ela, se intensificam as listas de revisão de conteúdo. Deixo, então uma lista com 47 questões de matemática da EsPCEx pra você que irá fazer a prova em breve!

Bons estudos e boa semana!

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EEAr: 80 Questões de Física!

Olá leitor!

Hoje trazemos mais uma coletânea de questões de física da EEAr. São 80 questões (espero não ter repetido nenhuma) envolvendo os assuntos Termometria, Dilatação Térmica, Trocas de Calor, Mudanças de Fase e Propagação do Calor.

Segue a lista, abaixo.

Em breve, tem mais.

Bons estudos e até breve!

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EEAr: TODAS as Questões de Exponenciais!

Olá leitor!

Já tínhamos postado aqui, mas por algum motivo deu ruim no WP e por isso, estou repostando.

Segue a lista atualizada (achei mais duas questões) da EEAr.

Bons estudos!

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EFOMM: 33 Questões de Provas Antigas!

Olá leitor!

Vai fazer prova pra EFOMM este ano? Deixamos 33 questões coletadas de provas antigas da EFOMM pra você!

Bons estudos!

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Semelhança e Áreas de Triângulos

Olá leitor.

Recebi um problema que envolve retas paralelas, semelhança e áreas em uma só questão. Vamos lá:

Na figura, os ângulos A\widehat{B}C, A\widehat{C}D, C\widehat{E}D são retos. Se AB = 2\sqrt{3} m e CE = \sqrt{3} m, a razão entre as áreas dos triângulos ABC e CDE é

a) 6

b) 4

c) 3

d) 2

e) \sqrt{3}

Vamos então à solução. Vamos chamar o ângulo B\widehat{A}C = \alpha. Assim teremos B\widehat{C}A = 90^\circ - \alpha. Como A\widehat{C}D = 90^\circ, teremos E\widehat{C}D = \alpha e, portanto os triângulos ABC e CED são semelhantes. Assim, podemos escrever a relação:

\frac{BC}{ED} = \frac{AB}{CE} \Rightarrow \frac{BC}{ED} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2

Fazendo as áreas e calculando a razão entre elas:

\frac{(ABC)}{(CDE)} = \frac{\frac{AB \cdot BC}{2}}{\frac{ED \cdot CE}{2}} = \frac{AB \cdot BC}{ED \cdot CE} = \frac{2\sqrt{3} \cdot BC}{ED \cdot \sqrt{3}} = \frac{2BC}{ED} = 2 \times 2 = 4

Chegamos à opção B.

Até a próxima!

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Somas de Newton: uma Grande Ajuda!!!

Olá leitor.

Hoje trazemos um problema que envolve um sistema de equações não lineares e que, a princípio, parece fácil, mas na realidade, envolve métodos mais sofisticados que simplesmente substituir uma equação na outra. Veja o problema a seguir:

Sejam x, y e z números complexos que satisfazem o sistema de equações abaixo:

\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 7 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 25 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{4} \\ \end{array} \right.

O valor da soma x^3 + y^3 + z^3 é:

a) 210

b) 235

c) 250

d) 320

e) 325

Enviada por Matheus

Podemos inicialmente pensar em um polinômio P(n) tal que x, y e z sejam exatamente suas raízes e seja escrito como:

P(n) = a_3n^3 + a_2n^2 + a_1n + a_0

Das relações de Girard e do sistema dado chegamos a:

x + y + z = -\frac{a_2}{a_3} \Rightarrow -\frac{a_2}{a_3} = 7 \Rightarrow a_2 = -7a_3

Alem disso, sabendo que (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+xz), portanto:

(7)^2 = 25 + 2 \cdot \frac{a_1}{a_3} \Rightarrow \frac{a_1}{a_3} = 12 \Rightarrow a_1 = 12a_3

Da última equação do sistema:

\frac{xy+xz+yz}{xyz} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{\frac{a_1}{a_3}}{-\frac{a_0}{a_3}} = \frac{1}{4} \Rightarrow a_0 = -4a_1

Ou seja a_0 = 4 \cdot (12 a_3) \Rightarrow a_0 = -48a_3. Finalmente, podemos usar as somas de Newton:

a_3S_3 + a_2S_2+a_1S_1+a_0S_0 = 0

Teremos:

a_3 \cdot S_3 + (-7a_3)\cdot 25 + (12a_3)\cdot 7 + (-48a_3)\cdot 3 = 0

Como a_3 \ne 0, temos:

S_3 - 175 + 84 - 144 = 0 \Rightarrow S_3 = 235

Chegando à opção B.

Como observação, não nos estendemos sobre as somas de Newton, mas o faremos em momento oportuno!!!

Até a próxima!

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