Escola Naval: Matemática 2021/2022 (Prova Amarela)

Olá leitor.

Recebi agora a prova da Escola Naval de 2021/2022 e vou começar a colocar aqui os meus gabaritos. Vou atualizando aos poucos. Você pode sempre voltar nesse link, caso queira.

IMPORTANTE: As questões não estão na ordem em que aparecem na prova, pois estou dando preferência as que vou resolvendo primeiro. Vamos lá!

Seja a sequência abaixo definida por uma lei de recorrência de 3ª ordem. Cada termo dessa sequência (do quarto termo em diante) é uma combinação linear dos três termos imediatamente anteriores. (2,-1,1,6,3,-1,\ldots)

A soma do sétimo com o oitavo termo é igual a

a) 4

b) 5

c) 15

d) 23

e) 24

Como dito no enunciado, cada termo a_n segue a seguinte lei de formação:

a_n = A \cdot a_{n-1} + B \cdot a_{n-2} + C \cdot a_{n-3} \qquad n \in \mathbb{N}, n \geq 4

Para n = 4:

A \cdot a_3 + B \cdot a_2 + C \cdot a_1 = a_4

Para n = 5:

A \cdot a_4 + B \cdot a_3 + C \cdot a_2 = a_5

Para n = 6:

A \cdot a_5 + B \cdot a_4 + C \cdot a_3 = a_6

Tirando os termos dados da sequência, teremos o sistema:

\left\{ \begin{array}{lll} A - B + C = 6 \\ 6A + B - C = 3 \\ 3A + 6B + C = -1 \\ \end{array} \right.

Somando as duas últimas equações, teremos 9A + 7B = 2 e, duplicando a segunda equação e, somando com a primeira, chegamos à 13A + B = 12. Temos então o sistema a seguir:

\left\{ \begin{array}{lll} 9A + 7B = 2 \\ 13A + B = 12 \\ \end{array} \right.

Isolando B na segunda, ficamos com B = 12 - 13A e, então:

9A + 7(12 - 13A) = 2 \Rightarrow 9A - 91 A = 2 - 84A \Rightarrow A = 1

Consequentemente B = -1 e C = 2.

Assim o termo geral fica:

a_n = a_{n-1} - a_{n-2} + 2a_{n-3}

O sétimo termo é a_7 = a_6 - a_5 + 2a_4 = (-1) + (-1) \cdot 3 + 2 \cdot 6 = 8 e o oitavo termo é a_8 = a_7 - a_6 + 2a_5 = 8 + (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 3 = 15. Deste modo a_7 + a_8 = 8 +15 = 23. Opção D.

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No \mathbb{R}^3, a equação ax+by + cz + d = 0, com as constantes a,b,c,d \in \mathbb{R}, podem representar um plano. Assinale a opção que esboça a representação geométrica dos planos no sistema linear abaixo

\left\{ \begin{array}{l} 2x-y + 3z - 5 = 0 \\ -5x + 3y -4z + 6 = 0 \\ -x + y +2z  - 4 = 0 \\ \end{array}\right.

a) Dois planos paralelos e distintos e um secante a eles

b) Planos concorrentes em um ponto (P)

c) Planos secantes dois a dois

d) Planos concorrentes em uma reta (r)

e) Dois planos coincidentes e um secante a eles

Primeiro precisamos reescrever o sistema com segue:

\left\{ \begin{array}{l} 2x - y  + 3z = 5 \\ -5x + 3y - 4z = -6 \\ -x + y + 2z = 4 \\ \end{array} \right.

Agora vamos escrever a matriz completa do sistema e escaloná-la:

\left\vert \begin{array}{rrr | r} 2 & -1 & 3 & 5 \\ -5 & 3 &- 4 & -6 \\ -1 & 1  & 2 & 4 \\ \end{array} \right\vert

Multiplicamos a primeira linha por 3 e somamos com a segunda, e multiplicamos a primeira linha por 1 e somamos com a terceira linha:

\left\vert \begin{array}{rrr | r} 2 & -1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 5 & 9 \\ 1 & 0  & 5 & 9 \\ \end{array} \right\vert

Veja que as duas últimas linhas são iguais representando planos coincidentes. O outro plano concorre com estes dois, haja vista que seus vetores normais não são paralelos. Veja:

\left\{ \begin{array}{l} 2x - y  + 3z = 5 \\ x + 5z = 9 \\ x + 5z = 9 \\ \end{array} \right.

O primeiro plano tem vetor \vec{n}_1 = (2,-1,3) e o segundo (e terceiro) tem \vec{n}_2 = (1,0,5).

Chegamos à opção E.

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Todos os pontos P(a,b) da figura abaixo podem ser representados sob a forma matricial P = \left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right).

Ao aplicarmos uma transformação linear A \cdot P = Q, geramos uma nova figura na qual seus pontos são representados sob a forma Q = \left( \begin{array}{c} c \\ d \end{array} \right). Sendo A = \left( \begin{array}{rr} -2 & 1 \\ 3 & - 1 \\ \end{array} \right) assinale a opção que apresenta a figura formada pela transformação A \cdot P.

Vamos, em primeiro lugar, substituir os pontos dados na transformação linear:

\left( \begin{array}{rr} -2 & -1 \\ 3 & -1 \\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} c \\ d \end{array} \right)

Ficamos com \left( \begin{array}{c} c \\ d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2a + b \\ 3a + b \end{array} \right).

Olhando para a figura dada, vamos fazer uma tabela com os pontos da figura original. Estes pontos, por meio de suas coordenadas nos darão os novos pontos de coordenadas (c,d). Veja:

\begin{array}{c || c|c|c|c} \textrm{Pontos} &a&b&c=-2a+b&d = 3a+b \\ \hline A(1,0) & 1 & 0 & -2 & 3 \\ \hline B(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 2 \\ \hline C(2,\frac{1}{2}) & 2 & \frac{1}{2} & -\frac{7}{2} & \frac{13}{2} \\ \hline D(1,1) & 1 & 1 & 1 & 4 \\ \hline E(2,2) & 2 & 2 & -2 & 8 \\ \hline F(3,\frac{1}{2}) & 3 & \frac{1}{2} & -\frac{11}{2} & \frac{19}{2} \\ \hline G(\frac{5}{2},0) & \frac{5}{2} & 0 & -5 & \frac{15}{2} \\\end{array}

Para ficar bacana, vou marcar os pontos (c,d) no Geogebra:

Assim chegamos à opção C.

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Considere um círculo de centro O circunscrito a um triângulo ABC com ângulo obtuso em A. O raio AO forma um ângulo de 30^\circ com a altura AH e intercepta BC em um ponto E. O prolongamento da bissetriz do ângulo A intercepta BC em um ponto F e a circunferência em um ponto G, conforme figura abaixo.

Assinale a opção que apresenta a área do quadrilátero FEOG sabendo que AG = 4\sqrt{2} e AH = \sqrt{2\sqrt{3}} cm.

a) 6(3+\sqrt{2})\,\textrm{cm}^2

b) 3(6-\sqrt{3})\,\textrm{cm}^2

c) 2(3+\sqrt{6})\,\textrm{cm}^2

d) 3(6+\sqrt{3})\,\textrm{cm}^2

e) 6(2-\sqrt{3})\,\textrm{cm}^2

No triângulo AEH podemos calcular a \tan 30^\circ:

\tan = \frac{HE}{AH} \Rightarrow HE = \sqrt[4]{12} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}

No mesmo triângulo podemos calcular \textrm{sen}\,30^\circ:

\textrm{sen}\,30^\circ = \frac{HE}{AE} \Rightarrow AE = 2 \cdot HE \Rightarrow AE = 2 \cdot \frac{\sqrt[4]{12} \cdot \sqrt{3}}{3}

Podemos agora usar o teorema da bissetriz interna no triângulo AEH:

\frac{AH}{HF} = \frac{AE}{FE}

Substituindo os valores:

\frac{\sqrt[4]{12}}{ \frac{\sqrt[4]{12} \cdot \sqrt{3}}{3} - FE} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{12} \cdot \sqrt{3}}{3FE}

Daí:

3FE = 2\sqrt{3}(\frac{\sqrt[4]{12} \cdot \sqrt{3}}{3} - FE)

Desenvolvendo:

3FE + 2\sqrt{3}FE = 2\sqrt[4]{12}

Finalmente temos FE = \frac{2}{3} \sqrt[4]{12}(2\sqrt{3}-3).

No triângulo AOG temos AO = OG = R, em que R é o raio do círculo. Aplicando a lei dos cossenos:

AG^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos A\widehat{O}G

Sabemos que A\widehat{O}G = 150^\circ, pois o triângulo AOG é isósceles de base AG e G\widehat{A}O = A\widehat{G}O = 15^\circ. Assim:

(4\sqrt{2})^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})

Chegamos assim a R^2 = 32(2-\sqrt{3}). Agora partimos para o calculo da área:

(FEOG) = (AOG) - (AFE)

Teremos (AOG) = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OG \cdot \textrm{sen}\,(A\widehat{O}G) e (AFE) = \frac{1}{2} \cdot FE \cdot AH. Ficamos com:

(FEOG) = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \textrm{sen}\,150^\circ - \frac{1}{2} \cdot  \frac{2}{3}\cdot  \sqrt[4]{12}(2\sqrt{3}-3) \cdot \sqrt[4]{12}

Fazendo as contas teremos (FEOG) = 6(2-\sqrt{3}). Ufa! Ê…, contarada!!!! Opção E.

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Apoiadores:

Edson Pereira Barros

Até!

[LSB]

Gabarito Comentado EEAr 2021/2022 (Primeira Prova): Matemática

Seguem os meus gabaritos para a (primeira) prova de matemática da EEAr de 2021/2022.

Uma caixa cúbica, de aresta 10 cm, está totalmente cheia de água. Ao despejar toda a água em um tubo cilíndrico de 5 cm de raio, essa água atingirá uma altura de \rule{2 cm}{0.2 mm}\, /\pi cm no tubo. (Considere as dimensões como sendo internas ao recipiente e que o tubo tem a altura necessária para o evento.)

a) 50

b) 40

c) 35

d) 25

O volume do cubo será de 10^3 = 1000 \,\textrm{cm}^3. Para o cilindro teremos o volume de 1000 = \pi \cdot 5^2 \cdot h, ou seja h = \frac{40}{\pi} cm. Opção B.

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Uma empresa de produtos químicos tem o seguinte logotipo, composto por dois círculos concêntricos divididos em 6 setores circulares de 60^\circ cada. Se o raio do maior círculo medir 10 cm e o do menor medir 8 cm, toda a área hachurada (em cinza) mede \rule{2 cm}{0.2 mm}\, \pi\textrm{cm}^2.

a) 30

b) 40

c) 50

d) 60

Repare que podemos simplesmente “encaixar” as partes “cinzas” nas partes “brancas”, formando um semicírculo de raio 10 cm. Assim, a área será \frac{\pi \cdot 10^2}{2} = 50\pi\, \textrm{cm}^2, portanto, opção C.

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A revolução de um triângulo equilátero de 6 cm de lado, em torno de um de seus lados, gera um sólido de volume igual \rule{2 cm}{0.2 mm}\,\pi\textrm{cm}^3.

a) 54

b) 48

c) 36

d) 24

A rotação deste triângulo sobre um de seus lados vai gerar um duplo cone (dois cones) cujo raio da base R (do cone) é a altura R = h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} cm do triângulo e cuja altura total H é duas vezes a metade do lado \ell = 6 cm também do triângulo. Veja a figura:

Veja que temos dois cones de mesmo raio R = h e mesma altura \frac{\ell}{2}.

Então teremos:

V = 2 \cdot \frac{1}{3} \pi R^2 (\frac{\ell}{2}) \Rightarrow V = \frac{1}{3} \pi R^2 (2 \cdot \frac{\ell}{2}) \Rightarrow  V = \frac{1}{3} \pi (3\sqrt{3})^2 \cdot 6 = 54\pi\,\textrm{cm}^3

Teremos, então a opção A.

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O ponto P(1,4) é \rule{3 cm}{0.2 mm} à circunferência de equação (x+1)^2 + (y -5)^2 = 9 e é \rule{3 cm}{0.2 mm} à circunferência de equação (x-3)^2 + (y - 5)^2 = 16.

a) exterior; exterior

b) exterior; interior

c) interior; exterior

d) interior; interior

Para resolver este problema basta comparar a distância do centro de cada circunferência ao ponto dado com o raio da respectiva circunferência. Para isto, basta substituir o ponto na equação da circunferência. Para a primeira:

(1+1)^2 + (4-5)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 5 < 9, logo o primeiro ponto é interior.

Para a segunda:

(1-3)^2 + (4-5)^2 = (-2)^2 + (-1)^2 = 5 < 16, logo o segundo ponto também é interior.

Portanto, opção D.

Sempre costumo lembrar que um desenho ajuda. Segue uma figura da situação.

O ponto A é o centro da primeira circunferência; e B, o da segunda.
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Em uma classe da 1ª série do Curso de Formação de Sargentos — EEAr, as idades dos alunos se distribuíam conforme a tabela. Desta forma, a idade média ponderada desses alunos era de \rule{2 cm}{0.2 mm} anos.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \textrm{Idade (anos)} & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 \\ \hline  f_r(\%) & 40 & 30 & 17 & 10 & 3 \\ \hline \end{array}

a) 18,81

b) 18,98

c) 19,06

d) 19,23

Vamos dizer que o total de alunos seja T, como a frequência relativa é calculada sempre sobre o mesmo total, podemos fazer a média ponderada pelas próprias frequências, veja:

\frac{18 \cdot \frac{40}{100}T + 19 \cdot \frac{30}{100}T + 20 \cdot \frac{17}{100}T + 21 \cdot \frac{10}{100}T + 22 \cdot \frac{3}{100}T}{\frac{40}{100}T + \frac{30}{100}T + \frac{17}{100}T + \frac{10}{100}T + \frac{3}{100}T}

Veja que podemos cancelar T, uma vez que não é zero e teremos:

\frac{18 \cdot 0,4 + 19 \cdot 0,3 + 20 \cdot 0,17 + 21 \cdot 0,1+ 22 \cdot 0,03}{\frac{100}{100}} = 7,2 + 5,7 + 3,4 + 2,1 + 0,66 = 19,06

Chegamos à opção C.

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Sejam A e B os restos das divisões de P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 6 por, respectivamente, x+2 e x - 3. Desta forma, pode-se afirmar que

a) A = B

b) A = 2B

c) B = 2A

d) A = -B

Como só queremos o resto, basta aplicar o Teorema do Resto, assim:

A = P(-2) = (-2)^3 - 3 \cdot (-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 6 = -8 -12 + 8 + 6 = -6

E o outro resto:

B = P(3) = (3)^3 - 3 \cdot (3)^2 - 4 \cdot (3) + 6 = 27-27 -12 + 6 = -6

Assim, A = B, opção A.

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Um número complexo z tem argumento \theta = \frac{5\pi}{6} e módulo igual a 6. A forma algébrica de z é

a) -3\sqrt{3} + 3i

b) -3\sqrt{3} + \sqrt{3}i

c) 3\sqrt{3} - \sqrt{3}i

d) 3\sqrt{3} - 3i

Sabemos que a forma trigonométrica de um complexo é z = \vert z \vert (\cos \theta + i \textrm{sen } \theta), podemos então substituir os valores dados:

z = 6 (\cos \frac{5\pi}{6} + i \textrm{sen } \frac{5\pi}{6}) = 6 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \cdot \frac{1}{2}) = -3\sqrt{3} + 3i

Tendo como resposta a opção A.

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O gráfico mostra o consumo médio de gasolina, em km/L, dos veículos de uma revendedora de automóveis. Com base no gráfico, é correto afirmar que a quantidade de veículos da revendedora que percorrem 10 km ou mais com 1 litro de gasolina corresponde a \rule{2 cm}{0.2 mm}\,\% do total de veículos da loja. (Considere que em cada classe o intervalo é fechado no limite inferior e aberto no limite superior).

a) 56

b) 62

c) 68

d) 74

De acordo com o histograma, há 12 veículos com autonomia de 10 a 12 km/L; 14 veículos na faixa de 12 a 14 km/L e 8 veículos de 14 a 16 km/L. O total de veículos na faixa de autonomia pedida é, então, de 12 + 14 + 8 = 34 veículos. O total geral de veículos é de 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 50 veículos. A porcentagem será de \frac{34}{50} = \frac{68}{100} = 0,68. Opção C.

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Sejam os arcos de 480^\circ e -4\pi/3 rad. No ciclo trigonométrico, são tais que ambos estão no:

a) 1º quadrante e são côngruos

b) 2º quadrante e são côngruos

c) 1º quadrante e não são côngruos

d) 2º quadrante e não são côngruos

Sabemos que 480^\circ = 120^\circ + 1 \cdot 360^\circ, pertencendo, portanto, ao segundo quadrante; e que - \frac{4\pi}{3} \,\textrm{rad} = - 240^\circ que é côngruo de 120^\circ e está, por sua vez, também no segundo quadrante, sendo assim, côngruos. Opção B.

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Seja a P.G. (24,36,54,\ldots). Ao somar o 5º e o 6º termos dessa P.G. tem-se

a) 81/2

b) 405/2

c) 1215/4

d) 1435/4

Vamos, primeiro, identificar a razão da P.G. que é q = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}. Assim, o quinto termo será a_5 = 24 \cdot (\frac{3}{2})^4 = 24 \cdot \frac{81}{16} e o sexto será igual ao quinto multiplicado pela razão, ou seja, a_6 =  24 \cdot \frac{81}{16} \cdot \frac{3}{2}. Então a soma será:

a_5 + a_6 = 24 \cdot \frac{81}{16} + 24 \cdot \frac{81}{16} \cdot \frac{3}{2}

Então:

a_5 + a_6 = 24 \cdot \frac{81}{16} \cdot (1+ \frac{3}{2}) = 24 \cdot \frac{81}{16} \cdot \frac{5}{2} = 3 \cdot \frac{81 \cdot 5}{4} = \frac{1215}{4}

Chegamos então à opção C.

Como observação, poderíamos completar a P.G. calculando os termos seguintes, multiplicando os anteriores pela razão:

(24,36,54,81,\frac{243}{2},\frac{729}{4},\ldots)

E claro \frac{243}{2} + \frac{729}{4} = \frac{1215}{4}.

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Seja uma função f: A \to B tal que A = \{0,1,2,3,4\} e B = \mathbb{R}. A alternativa que apresenta todos os pontos de um possível gráfico de f é

a) (0,0); (0,1); (0,2); (0,3) e (0,4)

b) (0,0); (1,0); (2,0); (3,0) e (4,0)

c) (0,0); (1,-1); (2,-2) e (3,-3)

d) (0,1); (2,3); (4,5); e (5,6)

Primeiramente, como há cinco elementos no domínio de f que é A, devemos ter 5 pares ordenados e cada abscissa deve ser correspondente aos elementos de A. A única opção que atende é B.

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A razão entre o perímetro do quadrado circunscrito a uma circunferência de raio 2 cm e o perímetro do quadrado inscrito na mesma circunferência é

a) 4

b) 2

c) 2\sqrt{2}

d) \sqrt{2}

O quadrado que circunscreve uma circunferência de raio R tem lado L = 2R e o quadrado inscrito tem diagonal d tal que d = 2R. Como d = \ell\sqrt{2} temos \ell\sqrt{2} = 2R \Rightarrow \ell = \frac{2R}{\sqrt{2}}, portanto:

\frac{4L}{4\ell} = \frac{L}{\ell} = \frac{2R}{\frac{2R}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}

Opção D.

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Se 8 alunos do CFS da EEAr “entrarão em forma” em uma única fila, de maneira que a única restrição seja de que o aluno mais alto fique no início da fila, então o número de formas diferentes de se fazer esta formação é

a) 5040

b) 2520

c) 840

d) 720

São 8 posições, sendo que a primeira só pode ser ocupada por uma única pessoa. As demais, podem ser ocupadas pelas sete pessoas restantes.

1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 7! = 5040

Opção A.

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Seja ABC um triângulo tal que \widehat{A} = 60^\circ, conforme a figura.

Assim, tem-se que FD = \,\rule{2 cm}{0.2 mm}\,.

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

Vejamos, em primeiro lugar que AC = AD e, por isso, A\widehat{C}D = A\widehat{D}C = 60^\circ. Então, o triângulo ACD é equilátero e teremos AC = AD = CD = 6. Para o triângulo ABC, os segmentos \overline{BE} e \overline{CD} são medianas e, portanto, o ponto F é baricentro de \Delta ABC. Então, da propriedade do baricentro teremos CF = 2 FD. Se FD = x, teremos x + 2x = 6, logo x = 2. Opção A.

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Um cilindro circular reto de 5 cm de raio da base e de 10 cm de altura terá toda a sua superfície lateral revestida por uma fita de 0,5 cm de largura, como mostra a figura.

Considerando \pi = 3,14 e que não haverá sobreposição de fita, será necessária uma quantidade mínima de \rule{2 cm}{0.2 mm} m de fita para realizar a tarefa.

a) 4,62

b) 6,28

c) 8,44

d) 9,32

O comprimento L de cada volta da fita em torno do cilindro corresponde ao comprimento do círculo da base do cilindro: L = 2 \pi \cdot 5 = 10\pi cm. A altura do cilindro é de 10 cm e cada fita tem 0,5 cm de espessura. Assim, serão necessárias \frac{10}{0,5} = 20 fitas. Então o comprimento total de fita será de 10\pi \times 20 = 200 \pi = 200 \cdot 3,14 = 628 cm. Ou seja, 6,28 m. Opção B.

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Se \textrm{sen } 2x = 1/3 então (\textrm{sec } x) \,\colon (\textrm{sen } x) é igual a

a) 8

b) 6

c) 4

d) 2

Sabemos que \textrm{sen } 2x = 2 \cdot \textrm{sen } x \cdot \cos x e, da expressão dada no enunciado:

\frac{\textrm{sec } x}{\textrm{sen } x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\textrm{sen } x} = \frac{1}{\frac{\textrm{sen } 2x}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6

Temos então, a opção B.

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Pedro é um tenista profissional que vem treinando 120 saques por dia. Porém, a partir de amanhã, a cada dia de treino ele fará 5 saques a mais que no treino anterior. Se o objetivo de Pedro é alcançar o dia em que treinará 180 saques, ele conseguirá isso no \rule{2 cm}{0.2 mm} dia de treino, considerando hoje o primeiro dia.

a) 10 \textsuperscript{\d o}

b) 12 \textsuperscript{\d o}

c) 13 \textsuperscript{\d o}

d) 15 \textsuperscript{\d o}

Como ele sempre faz cinco saques a mais que no dia anterior, teremos uma progressão aritmética:

(120,125,130,135,\ldots)

Assim, a_1 = 120 e r = 5, queremos que o termo geral a_n seja igual a 180, ou seja:

a_n = 120 + (n-1) \cdot 5 = 180

Portanto:

120 + 5n - 5 = 180 \Rightarrow 5n = 65 \Rightarrow n = 13

Mais uma vez eu digo, bastava escrever os termos:

(120,125,130,135,140,145,150,155,160,165,170,175,180,\ldots)

E contar. Opção C.

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Simplificando a expressão y = \frac{C_{n,4}}{C_{n-1,3}}, encontra-se y igual a

a) n

b) n/2

c) n/3

d) n/4

Sabendo que C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} teremos:

y = \frac{\frac{n!}{4!(n-4)!}}{\frac{(n-1)!}{3!(n-1-3)!}} = \frac{n!}{4!(n-4)!} \cdot \frac{3!(n-4)!}{(n-1)!} = \frac{n \cdot (n-1)! \cdot 3!}{4 \cdot 3! \cdot (n-1)!} = \frac{n}{4}

Então, opção D. Mais um comentário: veja que poderíamos fazer facilmente n = 4 e teríamos y = \frac{C_{4,4}}{C_{3,3}} =1. A única opção que daria este resultado é a opção D. Bingo!

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Se \log 2 = 0,3 e \log 3 = 0,5, então o valor de \frac{\log 0,0072}{\log 5} é

a) -3

b) -2

c) 2

d) 3

Vamos primeiro “ajeitar” a expressão dada:

\frac{\log 0,0072}{\log 5} = \frac{\log \frac{72}{10000}}{\log 5} = \frac{\log 72 - \log 10000}{\log \frac{10}{2}} = \frac{\log (9 \cdot 8) - \log 10^4}{\log10 - \log 2} =

Continuando:

= \frac{\log 9 + \log 8 - 4}{1 - 0,3} = \frac{\log 3^2 + \log 2^3 - 4}{0,7} = \frac{2\cdot 0,5 + 3 \cdot 0,3 - 4}{0,7} = \frac{-2,1}{0,7}=-3

Opção A.

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Uma bola é lançada verticalmente para cima. Se sua altura h, em metros, em relação ao solo, t segundos após o lançamento, considerando t \in [0,4], pode ser calculada por h = -t^2 + 2t + 8, a altura máxima atingida pela bola é \rule{2 cm}{0.2 mm} m.

a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

A altura máxima corresponde à ordenada do vértice da parábola representada por h:

y_V = -\frac{\Delta}{4a} = - \frac{2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 8}{4 \cdot (-1)} = -\frac{4+32}{-4} = 9

Temos, então, Opção C.

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Seja ABC um triângulo retângulo em A, tal que \widehat{B} = 60^\circ. Se o perímetro do triângulo é 9(\sqrt{3} + 1) cm, a hipotenusa mede \rule{2 cm}{0.2 mm} cm.

a) 2\sqrt{3}

b) 3\sqrt{3}

c) 4\sqrt{3}

d) 6\sqrt{3}

Como \widehat{B} = 60^\circ, teremos \widehat{C} = 30^\circ e finalmente:

\textrm{sen } \widehat{C} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow AB = \frac{BC}{2}

Analogamente:

\textrm{sen } \widehat{B} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow AC = \frac{BC\sqrt{3}}{2}

Fazendo BC = x teremos:

AB + AC + BC = \frac{x}{2} + \frac{x\sqrt{3}}{2} + x = (\frac{3 + \sqrt{3}}{2}) x

Mas este é o perímetro, logo:

9(\sqrt{3} + 1) = x \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \Rightarrow 18\sqrt{3} + 18 = x(3 + \sqrt{3})

Assim, x = \frac{18\sqrt{3} + 18}{3 + \sqrt{3}} e racionalizando:

x = \frac{(18\sqrt{3} + 18)(3 - \sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{54\sqrt{3} - 54 + 54 -18\sqrt{3}}{9 - 3} = \frac{36\sqrt{3}}{6} = 6\sqrt{3}

Chegamos então, à opção D.

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Seja r a reta determinada A(3,5) e B(6,-1). O ponto de abscissa 8 pertencente à r possui ordenada igual a

a) 9

b) 7

c) -6

d) 5

Vamos achar o coeficiente de r:

m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{5 - (-1)}{3 - 6} = \frac{6}{-3} = -2

Assim a equação de r fica:

y - 5  = (-2)(x-3)

Para x = 8, teremos y - 5 = (-2)(8-3) \Rightarrow y = -10 + 5 = -5. Opção D.

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A base de uma pirâmide é uma das faces de um cubo de aresta a. Se o volume do cubo somado com o volume da pirâmide é 2a^3, a altura da pirâmide é \rule{2 cm}{0.2 mm} da aresta a.

a) o dobro

b) o triplo

c) a metade

d) a terça parte

Seja V_c o volume do cubo e V_p o volume da pirâmide. Teremos:

V_c + V_p = a^3 + \frac{1}{3}a^2 h

Do enunciado:

2a^3 = a^3 + \frac{a^2 h}{3} \Rightarrow h = \frac{3a^3}{a^2} \Rightarrow h = 3a

Opção B.

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Dadas as retas r: 2x-3y+9 = 0, s: 8x -12y + 7 = 0 e t: 3x+2y - 1 = 0, pode-se afirmar, corretamente, que

a) r e t são paralelas

b) r e s são coincidentes

c) s e t são perpendiculares

d) r e s são perpendiculares

Vamos colocar todas na forma reduzida:

r: y = \frac{2}{3} x + 3

s: y = \frac{8}{12} x + \frac{7}{12} \Rightarrow y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{12}

t: y = - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}

Vamos comparar os coeficientes de r e s. Como m_r = m_s e n_r \ne n_s, daí r e s são paralelas e distintas.

Passemos então às retas r e t: como m_r \cdot m_t = -1, portanto, r e t são concorrentes e perpendiculares.

Como r e s são paralelas, então s e t também são perpendiculares. Opção C.

Mais uma vez fica a dica. Um desenho simples poderia ajudar na solução; vamos desenhar as três retas.

Veja que r \parallel s e que r \perp t.

É isso galera! Comentem e compartilhem, se quiserem.

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Conjuntos, Múltiplos e Primos na Escola Naval

Olá leitor,

trazemos uma questão da prova de 2019/2020 da Escola Naval com um enunciado nem tão bem escrito assim, mas que tem uma abordagem interessante sobre a teoria de conjuntos. Vamos lá:

(Escola Naval) Seja W o conjunto dos números múltiplos de 2 ou P, em que P é um primo ímpar. Sabendo que \frac{3}{5} de W, que são múltiplos de P, são ímpares; \frac{2}{5} de W são ímpares; e 77 elementos de W não são múltiplos de 2P, pode-se afirmar que a quantidade de elementos de W que são ímpares é um número múltiplo de:

a) 4

b) 5

c) 7

d) 9

e) 11

Enviado por Marcus Tavares

Bom, em primeiro lugar, o enunciado já traz uma inadequação (pra não dizer equívoco) no início, uma vez que os múltiplos de 2 ou P são infinitos. Assim, deveria vir escrito que W é conjunto finito. Mas deixando isto de lado considere a figura a seguir:

Vamos considerar que M_P é o conjunto dos múltiplos de P e que M_2 é o conjunto dos múltiplos de 2.

Desse modo:

  • a serão os múltiplos de 2 que não são múltiplos de P;
  • b serão os múltiplos de 2 que também são múltiplos de P, ou seja, como P também é primo, serão os múltiplos de 2P; e
  • c serão os múltiplos de P que não são múltiplos de 2; portanto, correspondem aos múltiplos ímpares de P.

Chamando o total de elementos de x, do enunciado, tiramos as seguintes informações:

\left\{ \begin{array}{l} a+b+c = x \\ c = \frac{2}{5} x \\ c + a = 77 \\ \frac{3}{5}(c + b) = c \\ \end{array} \right.

Um comentário meu: com relação à última linha do sistema anterior, acho que o enunciado foi muito mal escrito, bastava dizer “dos múltiplos de P, \frac{3}{5} são ímpares”. Mas enfim, teremos, da última linha:

3c + 3b = 5c \Rightarrow b = \frac{2}{3} c

Da segunda linha, escrevemos: b = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}  \cdot x = \frac{4}{15} x e da terceira linha:

\frac{2}{5} x + a = 77 \Rightarrow a = 77 - \frac{2}{5} x

Agora, todas as variáveis estão em função de x, voltando à primeira linha do sistema:

a + b + c = x \Rightarrow 77 - \frac{2}{5} x + \frac{4}{15} x + \frac{2}{5} x = x

Então:

\frac{11}{15} x = 77 \Rightarrow x = 105

Como queremos apenas os valores ímpares, poderíamos simplesmente dizer: “infinitos”, mas lembre-se que o enunciado foi mal escrito (ou de má vontade ou ambos) e queremos o valor de c neste caso. Assim c = \frac{2}{5} \cdot 105 = 42 que é múltiplo de 7. Opção C.

Até mais!

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Probabilidade e M.D.C na Escola Naval

Olá leitor,

a prova da Escola Naval de 2020/2021 trouxe uma questão que envolve o M.D.C de dois números e uma pergunta sobre probabilidade. Segue a questão:

(EN) Escolhendo aleatoriamente um número do conjunto \{1;2;3;\ldots;2020\}, qual a probabilidade de que o número escolhido e 2020 sejam primos entre si?

a) \frac{40}{101}

b) \frac{153}{1010}

c) \frac{293}{1010}

d) \frac{401}{1010}

e) \frac{76}{505}

Enviada por Stephanie Wenceslau

Bom, primeiro, precisamos saber o que são números primos entre si ou ainda mutuamente primos. Dizemos que dois números naturais a e b são primos entre si, se \textrm{mdc} (a,b) = 1. O m.d.c. entre dois números naturais vale 1 se eles não possuem fatores comuns em sua fatoração em primos. Por exemplo, 9 e 16 são primos entre si, pois veja que 9 = 3^2 e 16 = 2^4.

É possível ver que dois números pares nunca são primos entre si, pois ambos são divisíveis por 2; e, que dois números primos também sempre são primos entre si, por conta da própria definição de números naturais primos.

Assim, fatorando 2020, encontramos 2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101. Ou seja, todos os múltiplos de 2, 5 ou 101 não serão primos com 2020, pois haverá fatores comuns em suas fatorações, tornando o m.d.c entre eles maior que 1.

Vamos contar então, primeiramente, os múltiplos de 2. Eles são em número M(2) = 1010. Para 5, temos M(5) = 404. Finalmente, para 101, ficamos com M(101) = 20.

Agora, ao somarmos estes valores, teremos M(2) + M(5) + M(101) = 1010 + 404 + 20 = 1434. Porém, precisamos atentar para o fato de que, estamos contando números repetidos, uma vez que os múltiplos de 10, por exemplo, são múltiplos de 2 e de 5 também; sendo, portanto, recontados. Vamos excluí-los.

Os múltiplos de 2 e de 5 são os múltiplos de 10, e são M(10) = 202. Para os múltiplos de 2 e de 101, teremos M(202) = 10; e, finalmente, os múltiplos de 5 e de 101 são em número total de M(505) = 4. Estes serão excluídos. O total é M(10) + M(202) + M(505) = 202 + 10 + 4 = 216.

Ainda precisamos considerar os múltiplos simultâneos de 2, 5 e 101, que serão os múltiplos de 1010. Estes são excluídos mais de uma vez e precisam ser reincluídos. Então M(1010) = 2.

Finalmente podemos encontrar todos os números naturais que têm fatores comuns com 2020, não sendo primos com 2020. Assim, eles são 1434 - 216 + 2 = 1220 no total. Como são 2020 números no total, temos 2020 - 1220 = 800 números que são primos entre si com 2020. Agora, temos a probabilidade:

P = \frac{800}{2020} = \frac{40}{101}

Opção A.

E aí, gostou.

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Um Problema da AFA sobre o Teorema do Resto

Olá leitor.

Recebi uma dúvida hoje sobre o Teorema do Resto em uma questão da AFA. O enunciado segue abaixo:

Se o polinômio

P(x) = x^m - 2b^nx^{m-n} + b^m

é divisível por x+b, sendo m < n, n \in  \mathbb{N} e m \in \mathbb{N}^* e b \ne 0, então ocorrerá necessariamente:

a) m par e n ímpar

b) m ímpar e n par

c) m ímpar e n ímpar

d) m par e n par

Enviada por Milena Figueiredo

Bom, vamos lá.

O teorema do resto diz que “se dividirmos um polinômio P por um polinômio do primeiro grau D(x)  = ax + b, então o resto será R(x) = P(-\frac{b}{a}), em que -\frac{b}{a} é a raiz do divisor”. Assim, do enunciado, sabemos que o divisor é x + b e, portanto, sua raiz é x = -b. Calculando P(-b), teremos P(-b) = R(x) = 0, já que P é divisível por x + b, ou seja, deixa resto igual a zero. Assim:

P(-b) = (-b)^m - 2b^n(-b)^{m-n} + b^m = 0

Como, tanto m quanto n são números naturais, podemos escrever (-b)^m = [(-1) \cdot b]^m = (-1)^m \cdot b^m e substituir na equação:

(-1)^m \cdot b^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^{m-n} + b^m = 0

Finalmente:

(-1)^m \cdot b^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^m \cdot b^{-n} + b^m = 0

Colocando b^m em evidência:

b^m[(-1)^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^{-n} + 1] = 0

Veja que, dentro dos colchetes, teremos b^n \cdot b^{-n} = b^0, que só é possível se b \ne 0, continuando:

b^m[(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^0 + 1] = 0

Agora temos duas opções:

  1. Se b^m = 0, temos b = 0, mas daí teríamos b^0 = 0^0, que não é possível. A segunda opção é…
  2. Termos (-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^0 + 1 = 0, com b^0 =1, uma vez que já vimos na opção anterior que b \ne 0.

Desenvolvendo esta segunda opção, ficamos com:

(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m - n} + 1 = 0 \Rightarrow (-1)^m - 2 \cdot \frac{(-1)^m}{(-1)^n} + 1 = 0

Veja que, m sendo ímpar, teremos:

-1 - 2 \cdot \frac{(-1)}{(-1)^n} + 1 = 0 \Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} = 0

Que nunca será nulo, pois \frac{1}{(-1)^n} \ne 0 para qualquer n \in \mathbb{N}. Para m par, teremos:

1 - 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} + 1 = 0 \Rightarrow 2 - 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} = 0 \Rightarrow 2(1 - \frac{1}{(-1)^n}) = 0

Que nos dá 1 - \frac{1}{(-1)^n} = 0, logo (-1)^n = 1, portanto n é par. Assim, chegamos à opção D.

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Um Problema Interessante Sobre Logaritmos

Olá leitores!

Recebi uma lembrança no meu quase esquecido Facebook de um problema interessante sobre logaritmos. Veja-o a seguir:

\left\{ \begin{array}{l} \log_x (2y) = 3 \\ \log_x (4y) = 2 \\ \end{array} \right.

Se x e y satisfazem às duas equações, calcule y^{-x}.

A resposta não é complicada (juro!) e sugiro que você tente resolver antes que você veja a nossa resposta. Então, pra evitar spoiler, vou colocar uma imagem abaixo que tem uma espiral (tudo a ver com logaritmos…) e depois a nossa solução.

Agora sim, a nossa solução:

Usando as propriedades de logaritmos, podemos escrever:

\left\{ \begin{array}{l} \log_x 2 + \log_x y = 3 \\ \log_x 4 + \log_x y = 2 \\ \end{array} \right.

Podemos, agora, subtrair a primeira equação da segunda:

\log_x 2 - \log_x 4 = 3 - 2 \Rightarrow \log_x 2 - 2\log_x 2 = 1 \Rightarrow -\log_x 2 = -1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}

Voltando a equação e, substituindo o valor de x, teremos para o valor de y:

\log_{\frac{1}{2}} (2y) = 3 \Rightarrow 2y = \frac{1}{8} \Rightarrow y = \frac{1}{16}

Então y^{-x} = (\frac{1}{16})^{-\frac{1}{2}} = 16^{\frac{1}{2}} = 4.

E aí, curtiu?

Até a próxima!

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EEAr: Mais um Simulado!

Olá leitor.

Hoje trazemos mais um simulado para a EEAr, com 24 questões de matemática mais focadas em geometria, com geometria plana e espacial.

Seguem as questões no link abaixo:

Bons estudos e boa semana!

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EsPCEx: um Pequeno Simulado!

Olá leitor.

Hoje trazemos um pequeno simulado de matemática para a EsPCEx. Com 20 questões, envolvendo vários assuntos diferentes.

Espero que te ajude.

Bons estudos.

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EEAr: um Simulado de Revisão

Olá leitor!

Está estudando para a EEAr? Segue então um simulado com 24 questões de matemática para a EEAr. Serve como revisão geral para você que fará a prova no próximo dia 30/5.

Bons estudos e boa semana!

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EEAr: Uma Lista Geral de Revisão

Olá leitores.

A primeira prova da EEAr de 2021 está chegando, e com ela se intensificam as aulas de revisão e aprofundamento. Deixamos então aqui uma lista de revisão com cerca de 25 exercícios de temas gerais de provas anteriores da EEAr.

Espero que esta lista te ajude a ficar ainda mais preparado para o concurso.

Bons estudos!

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