Desenvolvimento do Binômio de Newton

Tira-Teima

Olá leitores!

Trago uma dúvida enviada hoje que tem a ver com o desenvolvimento do binômio de Newton ou com o desenvolvimento da n-ésima potência natural de (x+a), ou seja, (x+a)^n. Segue a dúvida:

Calcular o termo em x^5 no deslvolvimento de (x + \frac{2}{x^2})^8.

Milena Figueiredo

Sabemos que o termo geral na posição p+1 do binômio (x+a)^n é dado por:

T_{p+1} = {n \choose p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p

Então, usando no nosso problema teremos:

T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{8-p} \cdot (\frac{2}{x^2})^p

Que desenvolvido será:

T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{(8-p) - 2p} \cdot 2^p \Rightarrow T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{8-3p} \cdot 2^p

Para que tenhamos x^5, devemos ter 8-3p = 5, logo p = 1. Veja:

T_2 = {8 \choose 1} \cdot x^5 \cdot 2^1 \Rightarrow T_2 = 16x^5

Para ter mais confiança, sugiro desenvolver os três primeiros termos, já que sabemos que este é o segundo termo do desenvolvimento.

Deixo também uma playlist minha sobre o assunto:


Até.

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Publicado por Leonardo Santos

Engenheiro Eletrônico e de Computação (UFRJ)

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