Jacobi, Laplace, Sarrus e, talvez… Chió?

Olá leitores!

Hoje trazemos uma dúvida de dois leitores. Vamos lá:

Calcule $\det(A)$ sabendo que $A = \left(\begin{array}{ccccc} 4 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 4 \\ \end{array}\right)$ .
a) $64$
b) $128$
c) $16$
d) $32$
e) $8$
Milena Figueiredo e Artur Ardasse

Vamos à solução:

Primeiro vamos usar o Teorema de Jacobi, multiplicando a primeira linha por $(-1)$ e somando a cada uma das demais:

$\det A = \left \vert \begin{array}{rrrrr} 4 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\-1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert$

A partir daí, podemos usar o Teorema de Laplace na quinta linha. Vamos lá:

$\det A = (-1) \cdot (-1)^{5+1} \cdot \left \vert \begin{array}{rrrr} 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert + 1 \cdot (-1)^{5+5} \cdot \left \vert \begin{array}{rrrr} 4 & 3 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert$

Fazendo as devidas simplificações envolvendo os números que multiplicam estes determinantes:

$\det A = - \left \vert \begin{array}{rrrr} 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert + \left \vert \begin{array}{rrrr} 4 & 3 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert$

Continuando, podemos reaplicar o Teorema de Laplace na segunda linha no primeiro determinante e na quarta linha do segundo:

$\det A = - \left[ 1 \cdot (-1)^{2+1} \cdot \left \vert \begin{array}{rrr} 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert \right] + (-1) \cdot (-1)^{4+1} \cdot \left \vert \begin{array}{rrrr} 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert + 1 \cdot (-1)^{4+4} \cdot \left \vert \begin{array}{rrrr} 4 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert$

Simplificando um pouco:

$\det A = \left \vert \begin{array}{rrr} 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert + \left \vert \begin{array}{rrrr} 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert + \left \vert \begin{array}{rrrr} 4 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert$