Jacobi, Laplace, Sarrus e, talvez… Chió?

Olá leitores!

Hoje trazemos uma dúvida de dois leitores. Vamos lá:

Calcule \det(A) sabendo que A = \left(\begin{array}{ccccc} 4 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 4 \\ \end{array}\right).

a) 64

b) 128

c) 16

d) 32

e) 8

Milena Figueiredo e Artur Ardasse

Vamos à solução:

Primeiro vamos usar o Teorema de Jacobi, multiplicando a primeira linha por (-1) e somando a cada uma das demais:

\det A = \left \vert \begin{array}{rrrrr} 4 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\-1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert

A partir daí, podemos usar o Teorema de Laplace na quinta linha. Vamos lá:

\det A = (-1) \cdot (-1)^{5+1} \cdot  \left \vert \begin{array}{rrrr}  3 & 3 & 3 & 3 \\  1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\  \end{array} \right \vert + 1 \cdot (-1)^{5+5} \cdot  \left \vert \begin{array}{rrrr}  4 & 3 & 3 & 3 \\  -1 & 1 & 0 & 0 \\  -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\  \end{array} \right \vert

Fazendo as devidas simplificações envolvendo os números que multiplicam estes determinantes:

\det A = - \left \vert \begin{array}{rrrr}  3 & 3 & 3 & 3 \\  1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\  \end{array} \right \vert +  \left \vert \begin{array}{rrrr}  4 & 3 & 3 & 3 \\  -1 & 1 & 0 & 0 \\  -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\  \end{array} \right \vert

Continuando, podemos reaplicar o Teorema de Laplace na segunda linha no primeiro determinante e na quarta linha do segundo:

\det A = - \left[ 1 \cdot (-1)^{2+1}  \cdot \left \vert \begin{array}{rrr}  3 & 3 & 3 \\   1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  \end{array} \right \vert \right] + (-1) \cdot (-1)^{4+1} \cdot  \left \vert \begin{array}{rrrr}  3 & 3 & 3 \\  1 & 0 & 0 \\   0 & 1 & 0 \\   \end{array} \right \vert + 1 \cdot (-1)^{4+4} \cdot \left \vert \begin{array}{rrrr}  4 & 3 & 3 \\  -1 & 1 & 0 \\   -1 & 0 & 1 \\   \end{array} \right \vert

Simplificando um pouco:

\det A =  \left \vert \begin{array}{rrr}  3 & 3 & 3 \\   1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  \end{array} \right \vert +  \left \vert \begin{array}{rrrr}  3 & 3 & 3 \\  1 & 0 & 0 \\   0 & 1 & 0 \\   \end{array} \right \vert + \left \vert \begin{array}{rrrr}  4 & 3 & 3 \\  -1 & 1 & 0 \\   -1 & 0 & 1 \\   \end{array} \right \vert

Veja que os dois primeiros acima são iguais. Agora podemos usar a Regra de Sarrus em todos eles:

\det A = 3 + 3 + (4 + 3 + 3) = 16

Pelo visto, opção C.

Bom, mas e a regra de Chió…? Talvez valha a pena tentar usá-la, entretanto… acho que vai ser bem mais trabalhoso.

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