Teorema de Binet

Você conhece o Teorema de Binet? É o que vamos falar hoje.

O Teorema de Binet diz respeito ao produto de matrizes e sua relação com o produto de matrizes. O teorema diz o seguinte:

Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então \det (A \cdot B) = \det A \cdot \det B.

Assim, vamos resolver uma dúvida enviada para mim:

Q é uma matriz 4 \times 4 tal que \det(Q) < 0 e Q^4 + 2Q^2 = 0, então temos:

a) \det Q = -2

b) \det Q = -4

c) \det Q = -8

d) \det Q = -16

Enviada por Laura Helena

Considerando que 0 representa a matriz nula quadrada de ordem 4, podemos escrever:

Q^4 = -2Q^2

Como duas matrizes iguais têm determinantes iguais (a recíproca não é verdadeira!), faremos:

\det(Q^4) = \det(-2Q^2)

Aqui precisamos abrir parênteses; sabemos de outra propriedade importante dos determinantes. Se k \in \mathbb{R} e A é matriz quadrada de ordem n, temos:

\det(kA) = k^n \cdot \det A

Daí, podemos voltar e aplicar o Teorema de Binet na dúvida da Laura:

(\det Q)^4 = (-2)^4 \cdot (\det Q)^2

Como, do enunciado, \det Q < 0, podemos dividir a expressão toda por \det Q:

(\det Q)^2 = 16 \Rightarrow \det Q = \pm \sqrt{16} \Rightarrow \det Q = \pm 4

Usando de novo a restrição do enunciado, encontramos \det Q = -4.

Opção B.

Pra fechar, vou deixar dois vídeos sobre isso. O primeiro que gravei em 2016, falando disso e um mais recente de 2020.

Gravado em 2016, durante uma parceria com um curso preparatório da Ilha do Governador — RJ.
Gravado recentemente, em 2020. Resolvendo um exercício!

Para saber um pouco mais sobre quem foi Binet, clique aqui.

Tomara que isto ajude a sanar a dúvida.

Grande abraço.

Minha iniciativa é GRATUITA.

Você pode ajudar doando qualquer quantia via PIX: leonardosantos.inf@gmail.com

Fique a vontade, qualquer AJUDA é bem vinda!

E a melhor ajuda que você pode é DE GRAÇA, GRÁTIS, 0800: só basta DIVULGAR esta iniciativa PRA QUEM PRECISA!

Até!

[LSB]

2 comentários em “Teorema de Binet

  1. Uma dica nesse problema é que a propriedade det(kA)=k^ndet(A) também pode ser vista como uma aplicação do Teorema de Binet.
    Veja que det(kA)=det[(kI)(A)]=det(kI)det(A), mas kI é uma matriz diagonal com os elementos da diagonal iguais a k. esse é um caso clássico de determinantes e vale k^n.
    Espero ter ajudado.
    Abs.

    1. Que maneiro Arnaldo, nunca tinha pensado desta maneira… é verdade!!! Assim surgem novas ideias para problemas envolvendo o Teorema de Binet que, na minha opinião, é pouco explorado.

      Lendo um pouco sobre o teorema, descobri que ele tem uma versão mais “genérica”… vou estudar um pouco mais sobre e trago depois!

      Abraço.

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