Teorema de Binet

Você conhece o Teorema de Binet? É o que vamos falar hoje.

O Teorema de Binet diz respeito ao produto de matrizes e sua relação com o produto de matrizes. O teorema diz o seguinte:

Se $A$ e $B$ são matrizes quadradas de ordem $n$ , então $\det (A \cdot B) = \det A \cdot \det B$ .

Assim, vamos resolver uma dúvida enviada para mim:

$Q$ é uma matriz $4 \times 4$ tal que $\det(Q) < 0$ e $Q^4 + 2Q^2 = 0$ , então temos:
a) $\det Q = -2$
b) $\det Q = -4$
c) $\det Q = -8$
d) $\det Q = -16$
Enviada por Laura Helena

Considerando que $0$ representa a matriz nula quadrada de ordem $4$ , podemos escrever:

$Q^4 = -2Q^2$

Como duas matrizes iguais têm determinantes iguais (a recíproca não é verdadeira!), faremos:

$\det(Q^4) = \det(-2Q^2)$

Aqui precisamos abrir parênteses; sabemos de outra propriedade importante dos determinantes. Se $k \in \mathbb{R}$ e $A$ é matriz quadrada de ordem $n$ , temos:

$\det(kA) = k^n \cdot \det A$

Daí, podemos voltar e aplicar o Teorema de Binet na dúvida da Laura:

$(\det Q)^4 = (-2)^4 \cdot (\det Q)^2$

Como, do enunciado, $\det Q < 0$ , podemos dividir a expressão toda por $\det Q$ :

$(\det Q)^2 = 16 \Rightarrow \det Q = \pm \sqrt{16} \Rightarrow \det Q = \pm 4$

Usando de novo a restrição do enunciado, encontramos $\det Q = -4$ .

Opção B.

Pra fechar, vou deixar dois vídeos sobre isso. O primeiro que gravei em 2016, falando disso e um mais recente de 2020.

Gravado em 2016, durante uma parceria com um curso preparatório da Ilha do Governador — RJ.

Gravado recentemente, em 2020. Resolvendo um exercício!

Para saber um pouco mais sobre quem foi Binet, clique aqui.

Tomara que isto ajude a sanar a dúvida.

Grande abraço.

Minha iniciativa é GRATUITA.

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Até!

[LSB]

3 comentários em “Teorema de Binet”

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Uma dica nesse problema é que a propriedade det(kA)=k^ndet(A) também pode ser vista como uma aplicação do Teorema de Binet.
Veja que det(kA)=det[(kI)(A)]=det(kI)det(A), mas kI é uma matriz diagonal com os elementos da diagonal iguais a k. esse é um caso clássico de determinantes e vale k^n.
Espero ter ajudado.
Abs.

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Leonardo Santos disse:

13/04/2021 às 13:16

Que maneiro Arnaldo, nunca tinha pensado desta maneira… é verdade!!! Assim surgem novas ideias para problemas envolvendo o Teorema de Binet que, na minha opinião, é pouco explorado.

Lendo um pouco sobre o teorema, descobri que ele tem uma versão mais “genérica”… vou estudar um pouco mais sobre e trago depois!

Abraço.

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