Desenvolvimento do Binômio de Newton

Olá leitores!

Trago uma dúvida enviada hoje que tem a ver com o desenvolvimento do binômio de Newton ou com o desenvolvimento da $n$ -ésima potência natural de $(x+a)$ , ou seja, $(x+a)^n$ . Segue a dúvida:

Calcular o termo em $x^5$ no deslvolvimento de $(x + \frac{2}{x^2})^8$ .
Milena Figueiredo

Sabemos que o termo geral na posição $p+1$ do binômio $(x+a)^n$ é dado por:

$T_{p+1} = {n \choose p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p$

Então, usando no nosso problema teremos:

$T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{8-p} \cdot (\frac{2}{x^2})^p$

Que desenvolvido será:

$T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{(8-p) - 2p} \cdot 2^p \Rightarrow T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{8-3p} \cdot 2^p$

Para que tenhamos $x^5$ , devemos ter $8-3p = 5$ , logo $p = 1$ . Veja:

$T_2 = {8 \choose 1} \cdot x^5 \cdot 2^1 \Rightarrow T_2 = 16x^5$

Para ter mais confiança, sugiro desenvolver os três primeiros termos, já que sabemos que este é o segundo termo do desenvolvimento.

Deixo também uma playlist minha sobre o assunto:

Até.

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Parábolas no Plano

Olá, leitores!

Hoje chegou aqui até mim uma dúvida envolvendo parábolas no plano cartesiano. Pra simplificar, a pergunta é a que segue:

(AFA — Adaptada) A distância entre o vértice e o foco da parábola $y^2 + 4x - 4 = 0$ é igual a $1$ unidade de comprimento.
Alexandre Luis

Antes de sair respondendo, vamos ver como é o formato de uma parábola no plano cartesiano. Se a parábola tem eixo de simetria paralelo ao eixo $Oy$ teremos:

$(y - y_0) = \frac{1}{2p}(x - x_0)^2$

Em que $(x_0, y_0)$ são as coordenadas do vértice $V$ , $p$ é chamado de parâmetro da parábola e corresponde à distância entre o foco $F(x_F,y_F)$ da parábola e a reta diretriz $y = d$ com $d = y_0 - \frac{p}{2}$ . Além disso, as coordenadas do foco são $F(x_0, y_0 + \frac{p}{2})$ .

Por outro lado, se o eixo de simetria é paralelo à $Ox$ teremos:

$(x - x_0) = \frac{1}{2p}(y - y_0)^2$

Claro que, agora a reta diretriz será $x = d$ , com $d = x_0 - \frac{p}{2}$ e $F(x_0 + \frac{p}{2},y_0)$ . Do problema dado, podemos reescrever a expressão da parábola e obter:

$y^2 = -4x + 4 \Rightarrow (y - 0)^2 = -4(x-1) \Rightarrow (x - 1) = \frac{1}{2 \cdot (-2)} (y - 0)^2$

Portanto, $p = -2$ , e claro, $d = 1 - \frac{-2}{2} = 2$ , também $F(0,0)$ e $V(1,0)$ . Finalmente sabemos que, de fato $VF = 1\,\textrm{u.c.}$ , medida horizontalmente. Veja a figura a seguir:

A distância $BF$ é sempre igual à distancia $BC$ .

E aí, gostou da solução? Compartilhe!

Grande abraço.

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EFOMM e Determinantes

Olá pessoal!

Hoje trago uma duvida sobre uma questão da EFOMM de 2010, enviada pela Laura Helena.

Já fazendo um marketing básico, temos duas provas resolvidas (clique AQUI pra ver) da EFOMM que queremos, em breve, ampliar para mais.

Vamos à dúvida:

(EFOMM) Sejam $A$ , $B$ e $C$ matrizes de ordem $3 \times 3$ inversíveis tais que:
$\det (A^{-1}) = 3$ e $\det ((AB)^{-1} + \frac{I}{2}) = 4$
Sabendo-se que $I$ é a matriz identidade de ordem $3$ , tal que $I = -3C^{-1}(2B^{-1} + A)^{T}$ , o determinante de $C$ é igual a:
a) $- \frac{8}{3}$
b) $- \frac{32}{3}$
c) $-9$
d) $-54$
e) $-288$
Enviada por Laura Helena

Então vamos lá.

Como queremos o determinante de $C$ e temos uma expressão que relaciona as matrizes $A$ , $B$ e $C$ , vamos começar por aí:

$I = -3C^{-1}(2B^{-1} + A)^{T}$

Multiplicando ambos os lados pela esquerda por $-\frac{1}{3}C$ teremos:

$(-\frac{1}{3}) \cdot C \cdot I = (-\frac{1}{3}) \cdot C \cdot (-3C^{-1}) \cdot (2B^{-1} + A)^{T}$

Resultando em:

$(-\frac{1}{3}) \cdot C = I \cdot (2B^{-1} + A)^{T}$

Continuando e aplicando a transposta de ambos os lados:

$[(-\frac{1}{3}) \cdot C]^T = 2B^{-1} + A \Rightarrow 2B^{-1} = [(-\frac{1}{3}) \cdot C]^T - A$

Finalmente:

$B^{-1} = \frac{1}{2} \cdot [(-\frac{1}{3}) \cdot C]^T - \frac{1}{2} \cdot A \Rightarrow B^{-1} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot C^T - \frac{1}{2} \cdot A$

Pronto. Sabendo que $(AB)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$ , podemos agora trabalhar sobre a expressão dada:

$\det((AB)^{-1} + \frac{I}{2}) = 4 \Rightarrow \det (B^{-1} \cdot A^{-1} + \frac{I}{2}) = 4$

Da inversa de $B$ que achamos:

$\det((\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot C^T - \frac{1}{2} \cdot A) \cdot A^{-1} + \frac{I}{2}) = 4 \Rightarrow \det(-\frac{1}{6} \cdot C^T \cdot A^{-1} - \frac{1}{2} \cdot A \cdot A^{-1} + \frac{I}{2}) = 4$

Como $A \cdot A^{-1} = I$ , teremos:

$\det(-\frac{1}{6} \cdot C^T \cdot A^{-1}) = 4$

Aolicando o Teorema de Binet, clique AQUI para ver o que já falamos disso, e as propriedades envolvendo o determinante da transposta, o determinante de uma matriz multiplicada por um número real e o determinante da inversa, teremos:

$(-\frac{1}{6})^3 \cdot \det (C^T) \cdot \det (A^{-1}) = 4$

Logo:

$-\frac{1}{216} \cdot \det C \cdot 3 = 4 \Rightarrow \det C = -288$

Chegando, finalmente (Ufa!) à opção E.

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EFOMM: Uma Pequena Lista!

Olá leitores, sem mais demora trago pra vocês uma lista com cerca de $20$ exercícios da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante, também conhecida como EFOMM.

São exercícios gerais, envolvendo conjuntos, P.A., P.G., matrizes, determinantes, sistemas lineares, geometria (principalmente trigonometria no triângulo), e outros assuntos que podem vir de “coadjuvantes” em algumas questões, se é que você me entende…

Clica no link abaixo pra pegar a lista:

Lista_Gerais_3 Baixar

Bons estudos e espero que você seja feliz!

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+ de 90 Exercícios de Geometria

Olá leitores!

Trago pra vocês uma lista com mais de 90 exercícios (com GABARITO) de geometria do Colégio Naval. Aproveite para ver o nível das questões e relembrar conceitos básicos.

Geometria_CN_Gerais_3 Baixar

Espero que te ajude!

Bons estudos!

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Mais uma Lista: Exercícios EsPCEx

Olá leitores!

Fim de terça-feira, passo aqui para deixar uma pequena lista de exercícios de matemática para a EsPCEx. Vai ser assim, pá-pum!

Faz aí, sucesso e boa semana.

Lista_Gerais_2 Baixar

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Quadrado Mágico: Sistemas e Progressões Aritméticas

Olá, leitores!

Provavelmente você já viu o problema a seguir. A ideia é distribuir os números naturais de $1$ a $9$ no quadrado $3 \times 3$ a seguir, substituindo as letras de $a$ a $i$ , de modo que a soma em cada linha, coluna ou diagonal seja sempre a mesma.

$\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}$

Antes de começar a tentar resolver, há algumas coisas a se perceber. Vamos lá!

Em primeiro lugar, não é qualquer conjunto de números que pode ser substituído nas letras. Se a soma de todos os números é $S$ e a soma das três linhas é a mesma, valendo $k$ , teremos:

$a + b + c = d + e + f = g + h + i = k$

Portanto:

$(a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + i) = S \Rightarrow 3k = S \Rightarrow k = \frac{S}{3}$

O que mostra que, se os números são naturais, $S$ deve ser múltiplo do número de linhas e, em particular, no nosso caso, múltiplo de $3$ , já que são $3$ linhas. Como temos os números de $1$ a $9$ , sabemos que:

$1 + 2 + \ldots + 8 + 9 = 45$

Que nada mais é que a soma dos $9$ termos de uma P.A. de razão $1$ . Podemos concluir que a soma de cada linha é, portanto, em nosso caso, $15$ .

Essa é a primeira conexão que faremos com as progressões aritméticas. A segunda vem de uma propriedade. Em qualquer P.A. a soma de termos equidistantes dos extremos é constante. Por exemplo, se dispormos os números de $1$ a $9$ como segue:

$(1,2,3,4,5,6,7,8,9)$

Vemos claramente que:

$1 + 9 = 2 + 8 = 3 +7 = 4 + 6 = 2 \cdot 5$

Preste atenção na última igualdade acima. O termo central, que vale $5$ , fica duplicado para manter a soma dos termos equidistantes igual a $10$ . Agora, vamos voltar ao nosso quadrado mágico. O que queremos é dispor os números digamos que “em torno” da letra $e$ , pois veja que, se temos:

$a + e + i = d + e + f = g + e + c = b + e + h$

Teremos:

$a + i = d + f = g + c = b + h$

E, além disso, $a + b + c = g + h + i$ , limitando um pouco mais as possibilidades de escolha.

Dos nove números, há oito listados na sequência de três igualdades anterior. E, agora, nosso trabalho fica reduzido a escrever uma P.A. em que os pares $(a,i)$ , $(d,f)$ , $(g,c)$ e $(b,h)$ sejam extremos equidistantes da mesma P.A. Como só sobrou a letra $e$ , ela deve ser o termo central da P.A., que já sabemos ser $5$ . Mas vamos alocar os números para verificar, o que ocorre da seguinte maneira:

$(b,i,d,g,e,c,f,a,h) = (1,2,3,4,5,6,7,8,9)$

Confira no “quadrado mágico”:

$\begin{array}{ccc} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \end{array}$

Mas será que essa é a única maneira de dispor os números? Não! Deixo pra você pensar o por quê, mas deixo uma dica: tente “girar” o quadrado mágico!

Agora, o que o quadrado mágico tem a ver com sistemas lineares? Bom, sabemos que o problema pode ser traduzido em um conjunto de equações envolvendo as letras de $a$ a $i$ e que a soma das linhas vale $k = \frac{45}{3}$ , portanto, podemos montar o seguinte sistema:

$\left\{ \begin{array}{r} a + b + c = 15 \\ d + e + f = 15 \\ g + h + i = 15 \\ a + d + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ c + f + i = 15 \\ a + e + i = 15 \\ g + e + c = 15 \\ \end{array} \right.$

Como há nove incógnitas e somente oito equações, este sistema terá mais de uma solução (pense se serão infinitas… :)). Perceba que a equação $a + b + \ldots + h + i = 45$ é uma combinação linear das demais e não uma nova equação.

Agora, “mãos à obra”, como diríamos; queremos calcular $e$ , vamos então isolar as demais em função dela. Da primeira, vamos isolar $c$ , encontrando $c = 15 - (a+b)$ e substituir este resultado nas demais:

$\left\{ \begin{array}{r} d + e + f = 15 \\ g + h + i = 15 \\ a + d + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ 15 - (a+b) + f + i = 15 \\ a + e + i = 15 \\ g + e + 15 - (a+b) = 15 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} d + e + f = 15 \\ g + h + i = 15 \\ a + d + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ f + i = a + b \\ a + e + i = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right.$

Observe a quinta e a sétima equação, elas são meras observações do quadrado mágico. Confira lá. Continuando, vamos isolar $d$ na primeira, obtendo $d = 15 - (e + f)$ :

$\left\{ \begin{array}{r} g + h + i = 15 \\ a + 15 - (e + f) + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ f + i = a + b \\ a + e + i = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} g + h + i = 15 \\ a + g = e + f \\ b + e + h = 15 \\ f + i = a + b \\ a + e + i = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right.$

Agora, faremos o mesmo para $i$ , escrevendo $i = 15 - (g+h)$ :

$\left\{ \begin{array}{r} a + g = e + f \\ b + e + h = 15 \\ f + 15 - (g+h) = a + b \\ a + e + 15 - (g+h) = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} a + g = e + f \\ b + e + h = 15 \\ a + b + g + h - f = 15 \\ a + e = g+h \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right.$

Vamos agora, isolar $a$ na primeira, obtendo $a = e + f - g$ , (haja paciência…!):

$\left\{ \begin{array}{r} b + e + h = 15 \\ e + f - g + b + g + h - f = 15 \\ e + f - g + e = g+h \\ g + e = e + f - g +b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} b + e + h = 15 \\ e + b + h = 15 \\ 2e = 2g + h - f \\ 2g = f +b \\ \end{array} \right.$

As duas primeiras são iguais, podemos eliminar uma delas:

$\left\{ \begin{array}{r} e + b + h = 15 \\ 2e = 2g + h - f \\ 2g = f +b \\ \end{array} \right.$

Substituindo a terceira na segunda:

$\left\{ \begin{array}{r} e + b + h = 15 \\ 2e = f + b + h - f \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} e + b + h = 15 \\ 2e = b + h \\ \end{array} \right.$

Comparando as duas teremos $3e = 15$ , portanto, $e = 5$ . Veja que só poderemos, com isso, achar o valor de $b+h =10$ , mas não os valores de $b$ e $h$ individualmente. Isto confirma nossa hipótese inicial de que há mais de uma maneira de “arrumar” os números.

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Sobre o Produto dos Termos de uma P.G.

Olá leitores.

Estou passando aqui rapidamente, neste fim de domingo, para deixar um material que fala sobre as fórmulas que calculam o produto dos termos de uma progressão geométrica.

Você pode baixá-lo aqui:

Consideracoes_Produto_Termos_PG Baixar

Deixo aqui também um vídeo falando sobre o assunto:

E também o rascunho de uma apostila sobre progressões geométricas:

Progressoes_Geometricas_Apostila Baixar

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Um Sistema Simples

Olá leitores, recebi uma dúvida há pouco, que envolve sistemas lineares. Vamos dar uma olhada.

Calcule a soma $x + y + z$ no sistema abaixo:
$\left\{\begin{array}{lll} 66x + 33y + 2z = 1 \\ 2x + 66y + 33z = 2 \\ 33x + 2y + 66 z = 98 \\ \end{array}\right.$
Paolla Souza

Bom, em primeiro lugar é necessário saber que, se um sistema é composto de equações lineares, então a equação obtida pela soma das equações do sistema pode substituir qualquer equação do sistema, mantendo o conjunto solução intacto — que é uma aplicação direta do Teorema de Jacobi em uma matriz.

Daí, como só queremos $x + y + z$ e não os valores individuais, só precisamos somar as três equações e teremos:

$66x + 2x + 33x + 33y + 66y + 2y + 2z + 33z + 66z = 1 + 2 + 98$

Portanto:

$101 x + 101 y + 101 z = 101 \Rightarrow x + y + z = 1$

Viu, basta uma boa ideia para resolver rápido. Mas claro, embora não tenhamos feito isso, você pode resolver o sistema, encontrando os valores das incógnitas e depois calcular a soma resultante de seus valores. Vá em frente!

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Mais de 500 Exercícios da EEAr!

Olá leitores,

por mais que eu já tenha falado aqui, vou reforçar: nunca paramos de desenvolver materiais. E vamos, a partir de agora, continuar trazendo, porém de forma mais incisiva e intensa, ou seja, muito mais materiais. Este é apenas um deles.

Neste material, você encontra mais de 500 questões de matemática da EEAr, quase todas com gabarito! Prometo que, em breve, colocaremos mais e mais questões, até que todas as questões de 2000 a 2021 estejam neste material, com gabarito. Logo essa é uma versão provisória, mas que você já pode ir usando. Clique abaixo e divirta-se:

apostila_eear_assuntos-1 Baixar

Espero, de verdade, que isto te ajude a alcançar seus objetivos!

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