Quadrado Mágico: Sistemas e Progressões Aritméticas

Olá, leitores!

Provavelmente você já viu o problema a seguir. A ideia é distribuir os números naturais de $1$ a $9$ no quadrado $3 \times 3$ a seguir, substituindo as letras de $a$ a $i$ , de modo que a soma em cada linha, coluna ou diagonal seja sempre a mesma.

$\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}$

Antes de começar a tentar resolver, há algumas coisas a se perceber. Vamos lá!

Em primeiro lugar, não é qualquer conjunto de números que pode ser substituído nas letras. Se a soma de todos os números é $S$ e a soma das três linhas é a mesma, valendo $k$ , teremos:

$a + b + c = d + e + f = g + h + i = k$

Portanto:

$(a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + i) = S \Rightarrow 3k = S \Rightarrow k = \frac{S}{3}$

O que mostra que, se os números são naturais, $S$ deve ser múltiplo do número de linhas e, em particular, no nosso caso, múltiplo de $3$ , já que são $3$ linhas. Como temos os números de $1$ a $9$ , sabemos que:

$1 + 2 + \ldots + 8 + 9 = 45$

Que nada mais é que a soma dos $9$ termos de uma P.A. de razão $1$ . Podemos concluir que a soma de cada linha é, portanto, em nosso caso, $15$ .

Essa é a primeira conexão que faremos com as progressões aritméticas. A segunda vem de uma propriedade. Em qualquer P.A. a soma de termos equidistantes dos extremos é constante. Por exemplo, se dispormos os números de $1$ a $9$ como segue:

$(1,2,3,4,5,6,7,8,9)$

Vemos claramente que:

$1 + 9 = 2 + 8 = 3 +7 = 4 + 6 = 2 \cdot 5$

Preste atenção na última igualdade acima. O termo central, que vale $5$ , fica duplicado para manter a soma dos termos equidistantes igual a $10$ . Agora, vamos voltar ao nosso quadrado mágico. O que queremos é dispor os números digamos que “em torno” da letra $e$ , pois veja que, se temos:

$a + e + i = d + e + f = g + e + c = b + e + h$

Teremos:

$a + i = d + f = g + c = b + h$

E, além disso, $a + b + c = g + h + i$ , limitando um pouco mais as possibilidades de escolha.

Dos nove números, há oito listados na sequência de três igualdades anterior. E, agora, nosso trabalho fica reduzido a escrever uma P.A. em que os pares $(a,i)$ , $(d,f)$ , $(g,c)$ e $(b,h)$ sejam extremos equidistantes da mesma P.A. Como só sobrou a letra $e$ , ela deve ser o termo central da P.A., que já sabemos ser $5$ . Mas vamos alocar os números para verificar, o que ocorre da seguinte maneira:

$(b,i,d,g,e,c,f,a,h) = (1,2,3,4,5,6,7,8,9)$

Confira no “quadrado mágico”:

$\begin{array}{ccc} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \end{array}$

Mas será que essa é a única maneira de dispor os números? Não! Deixo pra você pensar o por quê, mas deixo uma dica: tente “girar” o quadrado mágico!

Agora, o que o quadrado mágico tem a ver com sistemas lineares? Bom, sabemos que o problema pode ser traduzido em um conjunto de equações envolvendo as letras de $a$ a $i$ e que a soma das linhas vale $k = \frac{45}{3}$ , portanto, podemos montar o seguinte sistema:

$\left\{ \begin{array}{r} a + b + c = 15 \\ d + e + f = 15 \\ g + h + i = 15 \\ a + d + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ c + f + i = 15 \\ a + e + i = 15 \\ g + e + c = 15 \\ \end{array} \right.$

Como há nove incógnitas e somente oito equações, este sistema terá mais de uma solução (pense se serão infinitas… :)). Perceba que a equação $a + b + \ldots + h + i = 45$ é uma combinação linear das demais e não uma nova equação.

Agora, “mãos à obra”, como diríamos; queremos calcular $e$ , vamos então isolar as demais em função dela. Da primeira, vamos isolar $c$ , encontrando $c = 15 - (a+b)$ e substituir este resultado nas demais:

$\left\{ \begin{array}{r} d + e + f = 15 \\ g + h + i = 15 \\ a + d + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ 15 - (a+b) + f + i = 15 \\ a + e + i = 15 \\ g + e + 15 - (a+b) = 15 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} d + e + f = 15 \\ g + h + i = 15 \\ a + d + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ f + i = a + b \\ a + e + i = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right.$

Observe a quinta e a sétima equação, elas são meras observações do quadrado mágico. Confira lá. Continuando, vamos isolar $d$ na primeira, obtendo $d = 15 - (e + f)$ :

$\left\{ \begin{array}{r} g + h + i = 15 \\ a + 15 - (e + f) + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ f + i = a + b \\ a + e + i = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} g + h + i = 15 \\ a + g = e + f \\ b + e + h = 15 \\ f + i = a + b \\ a + e + i = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right.$

Agora, faremos o mesmo para $i$ , escrevendo $i = 15 - (g+h)$ :

$\left\{ \begin{array}{r} a + g = e + f \\ b + e + h = 15 \\ f + 15 - (g+h) = a + b \\ a + e + 15 - (g+h) = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} a + g = e + f \\ b + e + h = 15 \\ a + b + g + h - f = 15 \\ a + e = g+h \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right.$

Vamos agora, isolar $a$ na primeira, obtendo $a = e + f - g$ , (haja paciência…!):

$\left\{ \begin{array}{r} b + e + h = 15 \\ e + f - g + b + g + h - f = 15 \\ e + f - g + e = g+h \\ g + e = e + f - g +b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} b + e + h = 15 \\ e + b + h = 15 \\ 2e = 2g + h - f \\ 2g = f +b \\ \end{array} \right.$

As duas primeiras são iguais, podemos eliminar uma delas:

$\left\{ \begin{array}{r} e + b + h = 15 \\ 2e = 2g + h - f \\ 2g = f +b \\ \end{array} \right.$

Substituindo a terceira na segunda:

$\left\{ \begin{array}{r} e + b + h = 15 \\ 2e = f + b + h - f \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} e + b + h = 15 \\ 2e = b + h \\ \end{array} \right.$

Comparando as duas teremos $3e = 15$ , portanto, $e = 5$ . Veja que só poderemos, com isso, achar o valor de $b+h =10$ , mas não os valores de $b$ e $h$ individualmente. Isto confirma nossa hipótese inicial de que há mais de uma maneira de “arrumar” os números.