Quadrado Mágico: Sistemas e Progressões Aritméticas

Olá, leitores!

Provavelmente você já viu o problema a seguir. A ideia é distribuir os números naturais de 1 a 9 no quadrado 3 \times 3 a seguir, substituindo as letras de a a i, de modo que a soma em cada linha, coluna ou diagonal seja sempre a mesma.

\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}

Antes de começar a tentar resolver, há algumas coisas a se perceber. Vamos lá!

Em primeiro lugar, não é qualquer conjunto de números que pode ser substituído nas letras. Se a soma de todos os números é S e a soma das três linhas é a mesma, valendo k, teremos:

a + b + c = d + e + f = g + h + i = k

Portanto:

(a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + i) = S \Rightarrow 3k = S \Rightarrow k = \frac{S}{3}

O que mostra que, se os números são naturais, S deve ser múltiplo do número de linhas e, em particular, no nosso caso, múltiplo de 3, já que são 3 linhas. Como temos os números de 1 a 9, sabemos que:

1 + 2 + \ldots + 8 + 9 = 45

Que nada mais é que a soma dos 9 termos de uma P.A. de razão 1. Podemos concluir que a soma de cada linha é, portanto, em nosso caso, 15.

Essa é a primeira conexão que faremos com as progressões aritméticas. A segunda vem de uma propriedade. Em qualquer P.A. a soma de termos equidistantes dos extremos é constante. Por exemplo, se dispormos os números de 1 a 9 como segue:

(1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Vemos claramente que:

1 + 9 = 2 + 8 = 3 +7 = 4 + 6 = 2 \cdot 5

Preste atenção na última igualdade acima. O termo central, que vale 5, fica duplicado para manter a soma dos termos equidistantes igual a 10. Agora, vamos voltar ao nosso quadrado mágico. O que queremos é dispor os números digamos que “em torno” da letra e, pois veja que, se temos:

a + e + i = d + e + f = g + e + c = b + e + h

Teremos:

a +  i = d + f = g + c = b + h

E, além disso, a + b + c = g + h + i, limitando um pouco mais as possibilidades de escolha.

Dos nove números, há oito listados na sequência de três igualdades anterior. E, agora, nosso trabalho fica reduzido a escrever uma P.A. em que os pares (a,i), (d,f), (g,c) e (b,h) sejam extremos equidistantes da mesma P.A. Como só sobrou a letra e, ela deve ser o termo central da P.A., que já sabemos ser 5. Mas vamos alocar os números para verificar, o que ocorre da seguinte maneira:

(b,i,d,g,e,c,f,a,h) = (1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Confira no “quadrado mágico”:

\begin{array}{ccc} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \end{array}

Mas será que essa é a única maneira de dispor os números? Não! Deixo pra você pensar o por quê, mas deixo uma dica: tente “girar” o quadrado mágico!

Agora, o que o quadrado mágico tem a ver com sistemas lineares? Bom, sabemos que o problema pode ser traduzido em um conjunto de equações envolvendo as letras de a a i e que a soma das linhas vale k = \frac{45}{3}, portanto, podemos montar o seguinte sistema:

\left\{ \begin{array}{r} a + b + c = 15 \\  d + e + f = 15 \\  g + h + i = 15 \\  a + d + g = 15 \\  b + e + h = 15 \\ c + f + i = 15 \\  a + e + i = 15 \\  g + e + c = 15 \\ \end{array} \right.

Como há nove incógnitas e somente oito equações, este sistema terá mais de uma solução (pense se serão infinitas… :)). Perceba que a equação a + b + \ldots + h + i = 45 é uma combinação linear das demais e não uma nova equação.

Agora, “mãos à obra”, como diríamos; queremos calcular e, vamos então isolar as demais em função dela. Da primeira, vamos isolar c, encontrando c = 15 - (a+b) e substituir este resultado nas demais:

\left\{ \begin{array}{r}  d + e + f = 15 \\  g + h + i = 15 \\  a + d + g = 15 \\  b + e + h = 15 \\ 15 - (a+b) + f + i = 15 \\  a + e + i = 15 \\  g + e + 15 - (a+b) = 15 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}  d + e + f = 15 \\  g + h + i = 15 \\  a + d + g = 15 \\  b + e + h = 15 \\  f + i = a + b \\  a + e + i = 15 \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right.

Observe a quinta e a sétima equação, elas são meras observações do quadrado mágico. Confira lá. Continuando, vamos isolar d na primeira, obtendo d = 15 - (e + f):

\left\{ \begin{array}{r}   g + h + i = 15 \\  a + 15 - (e + f) + g = 15 \\  b + e + h = 15 \\  f + i = a + b \\  a + e + i = 15 \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow  \left\{ \begin{array}{r}   g + h + i = 15 \\  a + g = e + f \\  b + e + h = 15 \\  f + i = a + b \\  a + e + i = 15 \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right.

Agora, faremos o mesmo para i, escrevendo i = 15 - (g+h):

\left\{ \begin{array}{r}    a + g = e + f \\  b + e + h = 15 \\  f + 15 - (g+h) = a + b \\  a + e + 15 - (g+h) = 15 \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}  a + g = e + f \\  b + e + h = 15 \\  a + b + g + h - f = 15 \\  a + e  = g+h \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right.

Vamos agora, isolar a na primeira, obtendo a = e + f - g, (haja paciência…!):

\left\{ \begin{array}{r}  b + e + h = 15 \\  e + f - g + b + g + h - f = 15 \\  e + f - g + e  = g+h \\  g + e = e + f - g +b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}  b + e + h = 15 \\  e  + b  + h = 15 \\  2e  = 2g + h - f \\  2g =  f +b \\ \end{array} \right.

As duas primeiras são iguais, podemos eliminar uma delas:

\left\{ \begin{array}{r}  e  + b  + h = 15 \\  2e  = 2g + h - f \\  2g =  f +b \\ \end{array} \right.

Substituindo a terceira na segunda:

\left\{ \begin{array}{r}  e  + b  + h = 15 \\  2e  = f + b + h - f \\ \end{array} \right. \Rightarrow  \left\{ \begin{array}{r}  e  + b  + h = 15 \\  2e  =  b + h \\ \end{array} \right.

Comparando as duas teremos 3e = 15, portanto, e = 5. Veja que só poderemos, com isso, achar o valor de b+h =10, mas não os valores de b e h individualmente. Isto confirma nossa hipótese inicial de que há mais de uma maneira de “arrumar” os números.

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Pré-AFA 2019 | Semana 17

O ano está muito corrido, mas aos poucos a gente vai se ajeitando… seguem as listas da semana 17 da pré-AFA de 2019:

Esses foram os exercícios da décima sétima semana do curso.

Até breve.

Tira-Teima #14

Dúvida enviada por Priscila.

(CETF-RJ/2007/Q11) Ao dividirmos o termo de ordem 14 de uma P.A. pelo termo de ordem 5, obteremos 7 por resposta. Ao se dividir o décimo termo dessa seqüência pelo terceiro termo, obteremos o quociente 5 e o resto 3. A soma dos termos da P.G. cuja razão e o primeiro termo são os mesmos da P.A. é:

Solução: Do enunciado sabemos que \frac{a_{14}}{a_5} = 7 e que a_{10} = 5a_3 + 3.

Mas sabemos que a_{14} = a_1 + 13r e que a_5 = a_1 + 4r, então:

\frac{a_1 + 13r}{a_1 + 4r} = 7 \Rightarrow a_1 + 13r = 7a_1 + 28 r

Com isso chegamos a a_1 = -\frac{5r}{2}.

Além disso, a_{10} = a_1 + 9r e a_3 = a1 + 2r. Voltando ao enunciado podemos escrever:

a_1 + 9r = 5a_1 +10r + 3 \Rightarrow -4a_1 = r+ 3

Substituindo o a_1 encontrado:

-4 \cdot (-5) \cdot \frac{r}{2} = r+3

Então r = \frac{1}{3}. E, deste modo,  a_1 = - \frac{5}{6}. Como a soma S dos termos de uma P.G. com razão q tal que \vert q \vert < 1 é S = \frac{a_1}{1-q}, podemos fazer:

S = \frac{-\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{3}} \Rightarrow S = - \frac{5}{4}

Espero ter ajudado.

@LSBar