Escola Naval: Matemática 2021/2022 (Prova Amarela)

Olá leitor.

Recebi agora a prova da Escola Naval de 2021/2022 e vou começar a colocar aqui os meus gabaritos. Vou atualizando aos poucos. Você pode sempre voltar nesse link, caso queira.

IMPORTANTE: As questões não estão na ordem em que aparecem na prova, pois estou dando preferência as que vou resolvendo primeiro. Vamos lá!

Seja a sequência abaixo definida por uma lei de recorrência de 3ª ordem. Cada termo dessa sequência (do quarto termo em diante) é uma combinação linear dos três termos imediatamente anteriores. (2,-1,1,6,3,-1,\ldots)

A soma do sétimo com o oitavo termo é igual a

a) 4

b) 5

c) 15

d) 23

e) 24

Como dito no enunciado, cada termo a_n segue a seguinte lei de formação:

a_n = A \cdot a_{n-1} + B \cdot a_{n-2} + C \cdot a_{n-3} \qquad n \in \mathbb{N}, n \geq 4

Para n = 4:

A \cdot a_3 + B \cdot a_2 + C \cdot a_1 = a_4

Para n = 5:

A \cdot a_4 + B \cdot a_3 + C \cdot a_2 = a_5

Para n = 6:

A \cdot a_5 + B \cdot a_4 + C \cdot a_3 = a_6

Tirando os termos dados da sequência, teremos o sistema:

\left\{ \begin{array}{lll} A - B + C = 6 \\ 6A + B - C = 3 \\ 3A + 6B + C = -1 \\ \end{array} \right.

Somando as duas últimas equações, teremos 9A + 7B = 2 e, duplicando a segunda equação e, somando com a primeira, chegamos à 13A + B = 12. Temos então o sistema a seguir:

\left\{ \begin{array}{lll} 9A + 7B = 2 \\ 13A + B = 12 \\ \end{array} \right.

Isolando B na segunda, ficamos com B = 12 - 13A e, então:

9A + 7(12 - 13A) = 2 \Rightarrow 9A - 91 A = 2 - 84A \Rightarrow A = 1

Consequentemente B = -1 e C = 2.

Assim o termo geral fica:

a_n = a_{n-1} - a_{n-2} + 2a_{n-3}

O sétimo termo é a_7 = a_6 - a_5 + 2a_4 = (-1) + (-1) \cdot 3 + 2 \cdot 6 = 8 e o oitavo termo é a_8 = a_7 - a_6 + 2a_5 = 8 + (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 3 = 15. Deste modo a_7 + a_8 = 8 +15 = 23. Opção D.

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No \mathbb{R}^3, a equação ax+by + cz + d = 0, com as constantes a,b,c,d \in \mathbb{R}, podem representar um plano. Assinale a opção que esboça a representação geométrica dos planos no sistema linear abaixo

\left\{ \begin{array}{l} 2x-y + 3z - 5 = 0 \\ -5x + 3y -4z + 6 = 0 \\ -x + y +2z  - 4 = 0 \\ \end{array}\right.

a) Dois planos paralelos e distintos e um secante a eles

b) Planos concorrentes em um ponto (P)

c) Planos secantes dois a dois

d) Planos concorrentes em uma reta (r)

e) Dois planos coincidentes e um secante a eles

Primeiro precisamos reescrever o sistema com segue:

\left\{ \begin{array}{l} 2x - y  + 3z = 5 \\ -5x + 3y - 4z = -6 \\ -x + y + 2z = 4 \\ \end{array} \right.

Agora vamos escrever a matriz completa do sistema e escaloná-la:

\left\vert \begin{array}{rrr | r} 2 & -1 & 3 & 5 \\ -5 & 3 &- 4 & -6 \\ -1 & 1  & 2 & 4 \\ \end{array} \right\vert

Multiplicamos a primeira linha por 3 e somamos com a segunda, e multiplicamos a primeira linha por 1 e somamos com a terceira linha:

\left\vert \begin{array}{rrr | r} 2 & -1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 5 & 9 \\ 1 & 0  & 5 & 9 \\ \end{array} \right\vert

Veja que as duas últimas linhas são iguais representando planos coincidentes. O outro plano concorre com estes dois, haja vista que seus vetores normais não são paralelos. Veja:

\left\{ \begin{array}{l} 2x - y  + 3z = 5 \\ x + 5z = 9 \\ x + 5z = 9 \\ \end{array} \right.

O primeiro plano tem vetor \vec{n}_1 = (2,-1,3) e o segundo (e terceiro) tem \vec{n}_2 = (1,0,5).

Chegamos à opção E.

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Todos os pontos P(a,b) da figura abaixo podem ser representados sob a forma matricial P = \left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right).

Ao aplicarmos uma transformação linear A \cdot P = Q, geramos uma nova figura na qual seus pontos são representados sob a forma Q = \left( \begin{array}{c} c \\ d \end{array} \right). Sendo A = \left( \begin{array}{rr} -2 & 1 \\ 3 & - 1 \\ \end{array} \right) assinale a opção que apresenta a figura formada pela transformação A \cdot P.

Vamos, em primeiro lugar, substituir os pontos dados na transformação linear:

\left( \begin{array}{rr} -2 & -1 \\ 3 & -1 \\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} c \\ d \end{array} \right)

Ficamos com \left( \begin{array}{c} c \\ d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2a + b \\ 3a + b \end{array} \right).

Olhando para a figura dada, vamos fazer uma tabela com os pontos da figura original. Estes pontos, por meio de suas coordenadas nos darão os novos pontos de coordenadas (c,d). Veja:

\begin{array}{c || c|c|c|c} \textrm{Pontos} &a&b&c=-2a+b&d = 3a+b \\ \hline A(1,0) & 1 & 0 & -2 & 3 \\ \hline B(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 2 \\ \hline C(2,\frac{1}{2}) & 2 & \frac{1}{2} & -\frac{7}{2} & \frac{13}{2} \\ \hline D(1,1) & 1 & 1 & 1 & 4 \\ \hline E(2,2) & 2 & 2 & -2 & 8 \\ \hline F(3,\frac{1}{2}) & 3 & \frac{1}{2} & -\frac{11}{2} & \frac{19}{2} \\ \hline G(\frac{5}{2},0) & \frac{5}{2} & 0 & -5 & \frac{15}{2} \\\end{array}

Para ficar bacana, vou marcar os pontos (c,d) no Geogebra:

Assim chegamos à opção C.

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Considere um círculo de centro O circunscrito a um triângulo ABC com ângulo obtuso em A. O raio AO forma um ângulo de 30^\circ com a altura AH e intercepta BC em um ponto E. O prolongamento da bissetriz do ângulo A intercepta BC em um ponto F e a circunferência em um ponto G, conforme figura abaixo.

Assinale a opção que apresenta a área do quadrilátero FEOG sabendo que AG = 4\sqrt{2} e AH = \sqrt{2\sqrt{3}} cm.

a) 6(3+\sqrt{2})\,\textrm{cm}^2

b) 3(6-\sqrt{3})\,\textrm{cm}^2

c) 2(3+\sqrt{6})\,\textrm{cm}^2

d) 3(6+\sqrt{3})\,\textrm{cm}^2

e) 6(2-\sqrt{3})\,\textrm{cm}^2

No triângulo AEH podemos calcular a \tan 30^\circ:

\tan = \frac{HE}{AH} \Rightarrow HE = \sqrt[4]{12} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}

No mesmo triângulo podemos calcular \textrm{sen}\,30^\circ:

\textrm{sen}\,30^\circ = \frac{HE}{AE} \Rightarrow AE = 2 \cdot HE \Rightarrow AE = 2 \cdot \frac{\sqrt[4]{12} \cdot \sqrt{3}}{3}

Podemos agora usar o teorema da bissetriz interna no triângulo AEH:

\frac{AH}{HF} = \frac{AE}{FE}

Substituindo os valores:

\frac{\sqrt[4]{12}}{ \frac{\sqrt[4]{12} \cdot \sqrt{3}}{3} - FE} = \frac{2 \cdot \sqrt[4]{12} \cdot \sqrt{3}}{3FE}

Daí:

3FE = 2\sqrt{3}(\frac{\sqrt[4]{12} \cdot \sqrt{3}}{3} - FE)

Desenvolvendo:

3FE + 2\sqrt{3}FE = 2\sqrt[4]{12}

Finalmente temos FE = \frac{2}{3} \sqrt[4]{12}(2\sqrt{3}-3).

No triângulo AOG temos AO = OG = R, em que R é o raio do círculo. Aplicando a lei dos cossenos:

AG^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos A\widehat{O}G

Sabemos que A\widehat{O}G = 150^\circ, pois o triângulo AOG é isósceles de base AG e G\widehat{A}O = A\widehat{G}O = 15^\circ. Assim:

(4\sqrt{2})^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})

Chegamos assim a R^2 = 32(2-\sqrt{3}). Agora partimos para o calculo da área:

(FEOG) = (AOG) - (AFE)

Teremos (AOG) = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot OG \cdot \textrm{sen}\,(A\widehat{O}G) e (AFE) = \frac{1}{2} \cdot FE \cdot AH. Ficamos com:

(FEOG) = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \textrm{sen}\,150^\circ - \frac{1}{2} \cdot  \frac{2}{3}\cdot  \sqrt[4]{12}(2\sqrt{3}-3) \cdot \sqrt[4]{12}

Fazendo as contas teremos (FEOG) = 6(2-\sqrt{3}). Ufa! Ê…, contarada!!!! Opção E.

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Conjuntos, Múltiplos e Primos na Escola Naval

Olá leitor,

trazemos uma questão da prova de 2019/2020 da Escola Naval com um enunciado nem tão bem escrito assim, mas que tem uma abordagem interessante sobre a teoria de conjuntos. Vamos lá:

(Escola Naval) Seja W o conjunto dos números múltiplos de 2 ou P, em que P é um primo ímpar. Sabendo que \frac{3}{5} de W, que são múltiplos de P, são ímpares; \frac{2}{5} de W são ímpares; e 77 elementos de W não são múltiplos de 2P, pode-se afirmar que a quantidade de elementos de W que são ímpares é um número múltiplo de:

a) 4

b) 5

c) 7

d) 9

e) 11

Enviado por Marcus Tavares

Bom, em primeiro lugar, o enunciado já traz uma inadequação (pra não dizer equívoco) no início, uma vez que os múltiplos de 2 ou P são infinitos. Assim, deveria vir escrito que W é conjunto finito. Mas deixando isto de lado considere a figura a seguir:

Vamos considerar que M_P é o conjunto dos múltiplos de P e que M_2 é o conjunto dos múltiplos de 2.

Desse modo:

  • a serão os múltiplos de 2 que não são múltiplos de P;
  • b serão os múltiplos de 2 que também são múltiplos de P, ou seja, como P também é primo, serão os múltiplos de 2P; e
  • c serão os múltiplos de P que não são múltiplos de 2; portanto, correspondem aos múltiplos ímpares de P.

Chamando o total de elementos de x, do enunciado, tiramos as seguintes informações:

\left\{ \begin{array}{l} a+b+c = x \\ c = \frac{2}{5} x \\ c + a = 77 \\ \frac{3}{5}(c + b) = c \\ \end{array} \right.

Um comentário meu: com relação à última linha do sistema anterior, acho que o enunciado foi muito mal escrito, bastava dizer “dos múltiplos de P, \frac{3}{5} são ímpares”. Mas enfim, teremos, da última linha:

3c + 3b = 5c \Rightarrow b = \frac{2}{3} c

Da segunda linha, escrevemos: b = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}  \cdot x = \frac{4}{15} x e da terceira linha:

\frac{2}{5} x + a = 77 \Rightarrow a = 77 - \frac{2}{5} x

Agora, todas as variáveis estão em função de x, voltando à primeira linha do sistema:

a + b + c = x \Rightarrow 77 - \frac{2}{5} x + \frac{4}{15} x + \frac{2}{5} x = x

Então:

\frac{11}{15} x = 77 \Rightarrow x = 105

Como queremos apenas os valores ímpares, poderíamos simplesmente dizer: “infinitos”, mas lembre-se que o enunciado foi mal escrito (ou de má vontade ou ambos) e queremos o valor de c neste caso. Assim c = \frac{2}{5} \cdot 105 = 42 que é múltiplo de 7. Opção C.

Até mais!

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Probabilidade e M.D.C na Escola Naval

Olá leitor,

a prova da Escola Naval de 2020/2021 trouxe uma questão que envolve o M.D.C de dois números e uma pergunta sobre probabilidade. Segue a questão:

(EN) Escolhendo aleatoriamente um número do conjunto \{1;2;3;\ldots;2020\}, qual a probabilidade de que o número escolhido e 2020 sejam primos entre si?

a) \frac{40}{101}

b) \frac{153}{1010}

c) \frac{293}{1010}

d) \frac{401}{1010}

e) \frac{76}{505}

Enviada por Stephanie Wenceslau

Bom, primeiro, precisamos saber o que são números primos entre si ou ainda mutuamente primos. Dizemos que dois números naturais a e b são primos entre si, se \textrm{mdc} (a,b) = 1. O m.d.c. entre dois números naturais vale 1 se eles não possuem fatores comuns em sua fatoração em primos. Por exemplo, 9 e 16 são primos entre si, pois veja que 9 = 3^2 e 16 = 2^4.

É possível ver que dois números pares nunca são primos entre si, pois ambos são divisíveis por 2; e, que dois números primos também sempre são primos entre si, por conta da própria definição de números naturais primos.

Assim, fatorando 2020, encontramos 2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101. Ou seja, todos os múltiplos de 2, 5 ou 101 não serão primos com 2020, pois haverá fatores comuns em suas fatorações, tornando o m.d.c entre eles maior que 1.

Vamos contar então, primeiramente, os múltiplos de 2. Eles são em número M(2) = 1010. Para 5, temos M(5) = 404. Finalmente, para 101, ficamos com M(101) = 20.

Agora, ao somarmos estes valores, teremos M(2) + M(5) + M(101) = 1010 + 404 + 20 = 1434. Porém, precisamos atentar para o fato de que, estamos contando números repetidos, uma vez que os múltiplos de 10, por exemplo, são múltiplos de 2 e de 5 também; sendo, portanto, recontados. Vamos excluí-los.

Os múltiplos de 2 e de 5 são os múltiplos de 10, e são M(10) = 202. Para os múltiplos de 2 e de 101, teremos M(202) = 10; e, finalmente, os múltiplos de 5 e de 101 são em número total de M(505) = 4. Estes serão excluídos. O total é M(10) + M(202) + M(505) = 202 + 10 + 4 = 216.

Ainda precisamos considerar os múltiplos simultâneos de 2, 5 e 101, que serão os múltiplos de 1010. Estes são excluídos mais de uma vez e precisam ser reincluídos. Então M(1010) = 2.

Finalmente podemos encontrar todos os números naturais que têm fatores comuns com 2020, não sendo primos com 2020. Assim, eles são 1434 - 216 + 2 = 1220 no total. Como são 2020 números no total, temos 2020 - 1220 = 800 números que são primos entre si com 2020. Agora, temos a probabilidade:

P = \frac{800}{2020} = \frac{40}{101}

Opção A.

E aí, gostou.

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Escola Naval: 32 Questões Gerais de Revisão

Olá pessoal!

Está de bobeira aí?!

Seguem, então, 32 questões de provas antigas (bem antigas, da década de 90!) da Escola Naval, todas com GABARITO para sua revisão nesta reta final!

Divirtam-se:

Bons estudos e boa semana!

[LSB]

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Escola Naval: Sobre Fatorial e Divisores

Olá leitores.

Recebi estes dias uma dúvida que envolve o fatorial de um número e sua divisibilidade por 21. Vamos ver o enunciado e resolver:

(EN) O fatorial de 2020 é divisível por 21^n. O maior valor inteiro de n é:

a) 96

b) 288

c) 334

d) 440

e) 673

Marcus Tavares

Bom, vamos ao que interessa. Para que um número seja divisível por 21 é necessário que ele seja divisível por 3 e por 7. Então vejamos o seguinte: 7! só é divisível por 21^0 e 21^1, pois:

7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

Assim, fica claro que calculando \frac{7!}{21} teremos um inteiro, pois temos um fator de 7 e, pelo menos, um fator de 3 em 7!. Se continuarmos investigando os fatoriais consecutivos e maiores que 7!, isto não ocorrerá novamente até o 14!, veja:

14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

Fica explícito que 14! é divisível por 21^2, mas não por 21^3, pois há apenas dois fatores de 7, sendo um no próprio 7 e o outro no 14, embora haja muito mais fatores de 3.

Esse processo continua da mesma maneira até chegarmos ao 49!, pois 49 = 7^2, acrescentando, por sua vez, dois fatores de 7. Chegamos, a partir daí a seguinte conclusão:

  • cada múltiplo de 7 acrescenta um fator de 7;
  • cada múltiplo de 49 = 7^2 acrescentará dois fatores de 7, dos quais um já foi contado nos fatores de 7;
  • cada fator de 343 = 7^3 acrescentará três fatores de 7, dos quais dois já foram contados: um deles nos múltiplos de 7 e o outro nos múltiplo de 49;

Então vamos lá! Vamos calcular quantos múltiplos de 7,49,343,\ldots há de 1 a 2020:

  • Sabemos que 2020 = 7 \cdot 288 + 4, logo há 288 múltiplos de 7 de 1 a 2020;
  • Continuando, temos 2020 = 49 \cdot 41 + 11, portanto, há 41 múltiplos de 49 no mesmo intervalo; e
  • Finalmente, 2020 = 343 \cdot 5 + 305, havendo, então, 5 múltiplos.
  • Não há múltiplos de 7^4, pois 7^4 = 2401 > 2020.

Contando agora teremos:

n = 288 + 41 + 5 = 334 fatores de 7 em 2020!

Veja que, se a pergunta fosse, “quantos são os possíveis valores inteiros de n“, ainda incluiríamos o zero, ficando com 335 valores possíveis, sendo o 334 o maior deles!

Espero ter esclarecido!

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[LSB]

Um Pequeno Simulado Nível AFA

Olá pessoal, hoje trago para vocês um pequeno simulado de matemática próximo ao nível da AFA. São 10 questões em um formulário do Google:

https://forms.gle/GYzevR2qisAqFuHz6

Quando você terminar, clique em enviar e você receberá sua nota no e-mail que usou para responder ao formulário.

Caso tenha dúvida em algum dos problemas (depois de resolver todo o simulado, claro!) convido-o (ou convido-a) a verificar a solução comentada das questões

Espero que seja útil.

Grande abraço e bons estudos!

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Exercícios: Limites I

Olá alunos,

saindo um pouco da seara do ensino médio, publicamos uma lista de limites (lista 1) relacionada à introdução do conceito de limite. É uma lista básica que atende ao público que está começando a estudar isto para a Escola Naval e EFOMM, além de estudantes de cálculo I.

Vá em matemática >> exercícios e procure pelo arquivo.

Bons estudos, boa semana.

@LSBar – Fundador

EsPCEx 2013/2014 Matemática: Resolvida!

Olá leitores,

voltamos em grande estilo: resolvemos a prova da EsPCEx de matemática do concurso 2013/2014. Para baixar basta ir até a página Soluções comentadas >> Concursos Militares e procurar pelo arquivo na própria página.

Também solucionamos a prova de matemática da Escola Naval de 2012/2013. Bons estudos.

@LSBar

Equipe Mentor

Escola Naval: Solução da prova de matemática 2000/2001

Olá leitores,

fim de semana de muito sol no Rio de Janeiro… Entre um mergulho e outro na piscina do clube, fomos elaborando a primeira solução de uma prova da Escola Naval: 2000/2001.

Quer saber porque escolhemos esta prova? Porque esta foi a prova que eu fiz em 2000 para tentar uma vaga na Escola Naval. Nostalgia total…

Confira o arquivo na página de soluções comentadas. Esperamos que aproveite. Em breve solucionaremos outras mais recentes.

Aquele [  ].

Equipe Mentor.