Matrizes Inversas: Use a Definição!

Olá pessoal, hoje quero falar um pouco sobre a matriz inversa. Mas, antes de mostrar a utilização da definição pra resolver um exercício, vamos relembrar o que significa a inversão de uma matriz.

Vamos considerar que A, B e I_n são duas matrizes quadradas de ordem n e a matriz identidade de ordem n, respectivamente. Então:

A \cdot B = B \cdot A = I_n

A matriz B é chamada de matriz inversa de A e podemos escrever B = A^{-1}. Assim:

A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n

Com isso, podemos mostrar que a inversa de A é única, mas isso vai ficar pra depois. Vamos focar, por enquanto, no que interessa.

O que queremos verificar é o seguinte:

Se conhecemos as matrizes quadradas A e B, de ordem n, tais que A \cdot X = B, quem é a matriz X que satisfaz esta equação?

Bom, como conhecemos a matriz A, sabemos como obter sua inversa; logo, podemos fazer:

A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot B

Ou seja, multiplicamos toda a equação, pela esquerda, por A^{-1}. Como A^{-1} \cdot A = I_n, da definição de inversa, podemos escrever:

I \cdot X = A^{-1} \cdot B \Rightarrow X = A^{-1} \cdot B

Assim já temos a matriz X, uma vez que basta inverter a matriz A, se ela é conhecida. Tudo bem, mas e o exemplo de aplicação? Veja a imagem a seguir com uma questão do concurso da EsPCEx de 1999/2000.

Essa foi a 25ª questão da prova aplicada em 1999.

Veja que podemos chamar a matriz dos coeficientes de C, a matriz das incógnitas de X e a matriz resultante de R, tendo assim a equação a seguir:

C \cdot X = R

Mas, como já vimos:

C^{-1} \cdot C \cdot X = C^{-1} \cdot R \Rightarrow X = C^{-1} \cdot R

E, de acordo com o enunciado, isto se traduz em:

X = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \cdot  \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right]

Que podemos resolver facilmente, multiplicando a matriz inversa de C pela matriz coluna R :

X = \left[\begin{array}{c} 1+1+0 \\ 0-1+4 \\ -1+0+2 \end{array} \right] \Rightarrow  \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right]

Como as duas matriz são iguais, teremos x = 2, y = 3 e z = 1, opção E.

E aí, gostou dessa aplicação de matriz inversa?

Segue um vídeo falando um pouco mais sobre operações com matrizes com outro exemplo, porém na EEAr:

Minha iniciativa é gratuita.

Você pode ajudar doando qualquer quantia via PIX: leonardosantos.inf@gmail.com

Fique a vontade, qualquer ajuda é bem vinda! E a melhor ajuda que você pode dar não custa nada: só basta divulgar esta iniciativa!

Até!

[LSB]

EsPCEx 2018/2019: Matemática Resolvida

Estamos de volta… talvez um pouco tardiamente, mas estamos aqui. E, hoje, trazemos as questões de matemática da EsPCEx 2018/2019 resolvidas. Veja as questões nas imagens abaixo.

Você pode ver as questões de física na página do Facebook do nosso parceiro Física Lacradora do meu camarada Andre Faria.

Um grande abraço e bons estudos.

 

Estamos Tentando Voltar…

Olá,

para você que usa nosso blog como armazenador de conteúdo, estamos tentando voltar… nossa iniciativa começou em 2010 com a ideia de divulgar soluções de provas de concursos militares, vestibulares, etc, além de futuramente tornar-se um curso físico. Mas esse propósito se perdeu lá atrás…

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Muita coisa aconteceu de lá pra cá: Dropbox, Google Drive, WhatsApp, Youtube, todas estas ferramentas surgiram e/ou evoluíram e se adaptaram e nós, com a nossa equipe “enorme” de um único homem — este que vos fala — se limitou um pouco. Pois bem, voltamos e tentaremos adotar uma postura mais dinâmica relacionando os conteúdos que acharmos interessantes por aí. E pra começar, deixaremos disponíveis duas listas de exercícios gerais de física com questões de provas antigas da EsPCEx.

Fiquem a vontade para usar e divulgar.

Um grande abraço e bons estudos.

Leo.

EsPCEx 2016: GABARITO Preliminar da Prova de Física

Olá amigos,

recebi ontem de um candidato fotos da prova de física da EsPCEx 2016 e, como a ansiedade é grande para ver o que errou ou acertou, estou disponibilizando o gabarito que fiz ontem mesmo para a prova.

Em breve, este gabarito estará junto com tanto outros em nossa página de soluções.

Abraço e sucesso.

@LSBar

EsPCEx 2013/2014 Matemática: Resolvida!

Olá leitores,

voltamos em grande estilo: resolvemos a prova da EsPCEx de matemática do concurso 2013/2014. Para baixar basta ir até a página Soluções comentadas >> Concursos Militares e procurar pelo arquivo na própria página.

Também solucionamos a prova de matemática da Escola Naval de 2012/2013. Bons estudos.

@LSBar

Equipe Mentor

Matemática 2009 da EsPCEx: nós resolvemos!

Em casa, nada para fazer… entre um comercial e outro do “Caldeirão do Huck™” nós fomos, aos poucos, solucionando mais uma prova de Matemática: EsPCEx 2009/2010.

Soluções de Questões de Vestibular – Matemática – EsPCEx v1.3

Neste fim de semana está ocorrendo a prova da EFOMM, mas a prova só será divulgada na 3ª dia 10/08. Então, se alguém por obséquio estiver de posse da prova e quiser nos enviar para fazermos o gabarito seria ótimo. Ou esperamos até terça, fazer o quê? Paciência.

Um abraço.

PS.: Votem na nossa enquete no rodapé da página inicial.

Equipe Mentor

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