Escola Naval: Sobre Fatorial e Divisores

Olá leitores.

Recebi estes dias uma dúvida que envolve o fatorial de um número e sua divisibilidade por 21. Vamos ver o enunciado e resolver:

(EN) O fatorial de 2020 é divisível por 21^n. O maior valor inteiro de n é:

a) 96

b) 288

c) 334

d) 440

e) 673

Marcus Tavares

Bom, vamos ao que interessa. Para que um número seja divisível por 21 é necessário que ele seja divisível por 3 e por 7. Então vejamos o seguinte: 7! só é divisível por 21^0 e 21^1, pois:

7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

Assim, fica claro que calculando \frac{7!}{21} teremos um inteiro, pois temos um fator de 7 e, pelo menos, um fator de 3 em 7!. Se continuarmos investigando os fatoriais consecutivos e maiores que 7!, isto não ocorrerá novamente até o 14!, veja:

14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1

Fica explícito que 14! é divisível por 21^2, mas não por 21^3, pois há apenas dois fatores de 7, sendo um no próprio 7 e o outro no 14, embora haja muito mais fatores de 3.

Esse processo continua da mesma maneira até chegarmos ao 49!, pois 49 = 7^2, acrescentando, por sua vez, dois fatores de 7. Chegamos, a partir daí a seguinte conclusão:

  • cada múltiplo de 7 acrescenta um fator de 7;
  • cada múltiplo de 49 = 7^2 acrescentará dois fatores de 7, dos quais um já foi contado nos fatores de 7;
  • cada fator de 343 = 7^3 acrescentará três fatores de 7, dos quais dois já foram contados: um deles nos múltiplos de 7 e o outro nos múltiplo de 49;

Então vamos lá! Vamos calcular quantos múltiplos de 7,49,343,\ldots há de 1 a 2020:

  • Sabemos que 2020 = 7 \cdot 288 + 4, logo há 288 múltiplos de 7 de 1 a 2020;
  • Continuando, temos 2020 = 49 \cdot 41 + 11, portanto, há 41 múltiplos de 49 no mesmo intervalo; e
  • Finalmente, 2020 = 343 \cdot 5 + 305, havendo, então, 5 múltiplos.
  • Não há múltiplos de 7^4, pois 7^4 = 2401 > 2020.

Contando agora teremos:

n = 288 + 41 + 5 = 334 fatores de 7 em 2020!

Veja que, se a pergunta fosse, “quantos são os possíveis valores inteiros de n“, ainda incluiríamos o zero, ficando com 335 valores possíveis, sendo o 334 o maior deles!

Espero ter esclarecido!

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