Escola Naval: Sobre Fatorial e Divisores

Olá leitores.

Recebi estes dias uma dúvida que envolve o fatorial de um número e sua divisibilidade por $21$ . Vamos ver o enunciado e resolver:

(EN) O fatorial de $2020$ é divisível por $21^n$ . O maior valor inteiro de $n$ é:
a) $96$
b) $288$
c) $334$
d) $440$
e) $673$
Marcus Tavares

Bom, vamos ao que interessa. Para que um número seja divisível por $21$ é necessário que ele seja divisível por $3$ e por $7$ . Então vejamos o seguinte: $7!$ só é divisível por $21^0$ e $21^1$ , pois:

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Assim, fica claro que calculando $\frac{7!}{21}$ teremos um inteiro, pois temos um fator de $7$ e, pelo menos, um fator de $3$ em $7!$ . Se continuarmos investigando os fatoriais consecutivos e maiores que $7!$ , isto não ocorrerá novamente até o $14!$ , veja:

$14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Fica explícito que $14!$ é divisível por $21^2$ , mas não por $21^3$ , pois há apenas dois fatores de $7$ , sendo um no próprio $7$ e o outro no $14$ , embora haja muito mais fatores de $3$ .

Esse processo continua da mesma maneira até chegarmos ao $49!$ , pois $49 = 7^2$ , acrescentando, por sua vez, dois fatores de $7$ . Chegamos, a partir daí a seguinte conclusão:

cada múltiplo de $7$ acrescenta um fator de $7$ ;
cada múltiplo de $49 = 7^2$ acrescentará dois fatores de $7$ , dos quais um já foi contado nos fatores de $7$ ;
cada fator de $343 = 7^3$ acrescentará três fatores de $7$ , dos quais dois já foram contados: um deles nos múltiplos de $7$ e o outro nos múltiplo de $49$ ;

Então vamos lá! Vamos calcular quantos múltiplos de $7,49,343,\ldots$ há de $1$ a $2020$ :

Sabemos que $2020 = 7 \cdot 288 + 4$ , logo há $288$ múltiplos de $7$ de $1$ a $2020$ ;
Continuando, temos $2020 = 49 \cdot 41 + 11$ , portanto, há $41$ múltiplos de $49$ no mesmo intervalo; e
Finalmente, $2020 = 343 \cdot 5 + 305$ , havendo, então, $5$ múltiplos.
Não há múltiplos de $7^4$ , pois $7^4 = 2401 > 2020$ .

Contando agora teremos:

$n = 288 + 41 + 5 = 334$ fatores de $7$ em $2020!$

Veja que, se a pergunta fosse, “quantos são os possíveis valores inteiros de $n$ “, ainda incluiríamos o zero, ficando com $335$ valores possíveis, sendo o $334$ o maior deles!