Conjuntos, Múltiplos e Primos na Escola Naval

Olá leitor,

trazemos uma questão da prova de 2019/2020 da Escola Naval com um enunciado nem tão bem escrito assim, mas que tem uma abordagem interessante sobre a teoria de conjuntos. Vamos lá:

(Escola Naval) Seja W o conjunto dos números múltiplos de 2 ou P, em que P é um primo ímpar. Sabendo que \frac{3}{5} de W, que são múltiplos de P, são ímpares; \frac{2}{5} de W são ímpares; e 77 elementos de W não são múltiplos de 2P, pode-se afirmar que a quantidade de elementos de W que são ímpares é um número múltiplo de:

a) 4

b) 5

c) 7

d) 9

e) 11

Enviado por Marcus Tavares

Bom, em primeiro lugar, o enunciado já traz uma inadequação (pra não dizer equívoco) no início, uma vez que os múltiplos de 2 ou P são infinitos. Assim, deveria vir escrito que W é conjunto finito. Mas deixando isto de lado considere a figura a seguir:

Vamos considerar que M_P é o conjunto dos múltiplos de P e que M_2 é o conjunto dos múltiplos de 2.

Desse modo:

  • a serão os múltiplos de 2 que não são múltiplos de P;
  • b serão os múltiplos de 2 que também são múltiplos de P, ou seja, como P também é primo, serão os múltiplos de 2P; e
  • c serão os múltiplos de P que não são múltiplos de 2; portanto, correspondem aos múltiplos ímpares de P.

Chamando o total de elementos de x, do enunciado, tiramos as seguintes informações:

\left\{ \begin{array}{l} a+b+c = x \\ c = \frac{2}{5} x \\ c + a = 77 \\ \frac{3}{5}(c + b) = c \\ \end{array} \right.

Um comentário meu: com relação à última linha do sistema anterior, acho que o enunciado foi muito mal escrito, bastava dizer “dos múltiplos de P, \frac{3}{5} são ímpares”. Mas enfim, teremos, da última linha:

3c + 3b = 5c \Rightarrow b = \frac{2}{3} c

Da segunda linha, escrevemos: b = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}  \cdot x = \frac{4}{15} x e da terceira linha:

\frac{2}{5} x + a = 77 \Rightarrow a = 77 - \frac{2}{5} x

Agora, todas as variáveis estão em função de x, voltando à primeira linha do sistema:

a + b + c = x \Rightarrow 77 - \frac{2}{5} x + \frac{4}{15} x + \frac{2}{5} x = x

Então:

\frac{11}{15} x = 77 \Rightarrow x = 105

Como queremos apenas os valores ímpares, poderíamos simplesmente dizer: “infinitos”, mas lembre-se que o enunciado foi mal escrito (ou de má vontade ou ambos) e queremos o valor de c neste caso. Assim c = \frac{2}{5} \cdot 105 = 42 que é múltiplo de 7. Opção C.

Até mais!

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