EsPCEx: 47 Questões de Matemática na Reta Final!

Olá leitor!

A EsPCEx de 2021/2022 tá chegando e, com ela, se intensificam as listas de revisão de conteúdo. Deixo, então uma lista com 47 questões de matemática da EsPCEx pra você que irá fazer a prova em breve!

Lista_Gerais_13 Baixar

Bons estudos e boa semana!

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[LSB]

Qual a posição do número?

Olá leitor!

Hoje trazemos mais uma questão trazida por uma leitora. Vamos ao enunciado:

Formados e dispostos em ordem crescente, os números que se obtém, permutando-se os algarismos $2$ , $3$ , $4$ , $8$ e $9$ , que lugar ocupa o número $43892$ ?
Stephanie Wenceslau

Bom, esta é uma mera questão de permutações simples em que, uma organização do raciocínio resolve o problema. Veja que, temos cinco posições para preencher com cinco algarismos. Como eles devem estar em ordem crescente:

Se o primeiro algarismo for o $2$ ou o $3$ , não importam os demais, sempre teremos um número menor que $43892$ . Então temos um total de $2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 48$ números.
Se o primeiro algarismo for o $4$ e o seguinte for o $2$ , não importam os demais, sempre teremos um número menor que $43892$ . Então temos um total de $1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ números.
Se o primeiro algarismo for o $4$ e o seguinte for o $3$ , o próximo deve ser o $2$ e não importam os demais, pois sempre teremos um número menor que $43892$ . Então temos um total de $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$ números.
Se o primeiro algarismo for o $4$ , o segundo for o $3$ e o terceiro for o $8$ o próximo deve ser o $2$ e o último o $9$ , havendo apenas uma possibilidade.

Até aqui temos $48 + 6 + 2 + 1 = 57$ números. Portanto, o próximo número é o $58\textsuperscript{\d o}$ .

Espero ter ajudado!

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AFA: Análise Combinatória

Olá pessoal!

Mais uma dúvida enviada. Desta vez uma questão da AFA sobre análise combinatória. Vamos ver o enunciado:

(AFA) Cinco rapazes e cinco moças devem posar para uma fotografia, ocupando cinco degraus de uma escadaria, com um casal em cada degrau. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar este grupo?
a) $1280$
b) $70400$
c) $332000$
d) $460800$
Enviada por Stephanie Wenceslau

Bom, podemos pensar em cada lugar como sendo uma posição que pode ser ocupada por cada uma das $10$ pessoas. Assim o primeiro degrau tem 2 posições, o segundo também e, assim por diante. Uma configuração possível é $H_1M_1H_2M_2H_3M_3H_4M_4H_5M_5$ , em que $H_n$ representa um dos homens ; $M_n$ , uma das mulheres. Como temos cinco homens e cinco mulheres, teremos inicialmente o seguinte:

$5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 5! \cdot 5! = 120 \cdot 120 = 14400$ maneiras

Este é o total de maneiras de colocar casais nos degraus, mas sem ordená-los entre si. Veja que, por exemplo, só estamos considerando que, no primeiro degrau, bem como nos demais, o homem vem antes da mulher. Então, como podemos inverter em cada degrau o homem e a mulher de posição, teremos ainda duas maneiras para cada, totalizando, para cada uma das $14400$ maneiras, um total de $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ modificações. Finalmente, o total geral é $14400 \cdot 32 = 460800$ maneiras. Opção D.

Espero ter esclarecido.

Bons estudos!

Até!

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[LSB]

Alguns Bons Exercícios para a EEAr!

Olá leitores!

Segue uma pequena lista com sete exercícios de matemática de assuntos diversos, criados por mim, para simular questões da EEAr.

Lista_Gerais_5 Baixar

São poucos exercícios, mas são interessantes. Pode confiar.

Bons estudos!

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Desenvolvimento do Binômio de Newton

Olá leitores!

Trago uma dúvida enviada hoje que tem a ver com o desenvolvimento do binômio de Newton ou com o desenvolvimento da $n$ -ésima potência natural de $(x+a)$ , ou seja, $(x+a)^n$ . Segue a dúvida:

Calcular o termo em $x^5$ no deslvolvimento de $(x + \frac{2}{x^2})^8$ .
Milena Figueiredo

Sabemos que o termo geral na posição $p+1$ do binômio $(x+a)^n$ é dado por:

$T_{p+1} = {n \choose p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p$

Então, usando no nosso problema teremos:

$T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{8-p} \cdot (\frac{2}{x^2})^p$

Que desenvolvido será:

$T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{(8-p) - 2p} \cdot 2^p \Rightarrow T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{8-3p} \cdot 2^p$

Para que tenhamos $x^5$ , devemos ter $8-3p = 5$ , logo $p = 1$ . Veja:

$T_2 = {8 \choose 1} \cdot x^5 \cdot 2^1 \Rightarrow T_2 = 16x^5$

Para ter mais confiança, sugiro desenvolver os três primeiros termos, já que sabemos que este é o segundo termo do desenvolvimento.

Deixo também uma playlist minha sobre o assunto:

Até.

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[LSB]

Pré-AFA 2019 | Listas das Semanas 10, 11 e 12

Olá leitores,

passou o carnaval e voltamos com força total. Estas foram as listas das últimas três semanas. Demoramos um pouco mais por conta de uma rotina bem apertada de trabalho fora do site. Mas estamos na linha novamente. E com muitas novidades.

retas_r2_v Baixar

analise_combinatoria_iii Baixar

probabilidade_i Baixar

angulos_iv Baixar

triangulos_ii Baixar

retas_paralelas_iii Baixar

trocas_calor_vi Baixar

trocas_calor_vii Baixar

retas_r2_vi Baixar

simulado_ii_2019 Baixar

retas_paralelas_iv Baixar

quadrilateros_i Baixar

termometria_vi Baixar

retas_r2_vii Baixar

probabilidade_ii Baixar

fim_semana_feliz_vi Baixar

Foi isso galera.

Bom fim de semana e bons estudos.

Pré-AFA 2019 | Listas da Semana #6

Como prometido, estamos de volta com as listas da sexta semana do curso da pré-AFA 2019 no Curso Lincoln. Os arquivos seguem abaixo.

analise_combinatoria_ii Baixar

binomio_newton_i Baixar

trocas_calor_ii Baixar

trocas_calor_iii Baixar

retas_r2_ii Baixar

congruencia_triangulos_i Baixar

angulos_iii Baixar

fim_semana_feliz_iii Baixar

Mais uma semana bem produtiva. Aproveitem e divirtam-se neste fim de semana com essas listas.

Grande abraço.

[LSB]

Pré-AFA 2019 | Listas da Semana #5

Olá,

estamos fechando mais uma semana (semana #6) na turma pré-AFA de 2019. Mas não é por isso que vamos deixar de publicar por aqui as listas da semana #5.

angulos_ii Baixar

triangulos_i Baixar

termometria_iv Baixar

trocas_calor_i Baixar

retas_r2_i Baixar

gerais_i_2019 Baixar

analise_combinatoria_i Baixar

fim_semana_feliz_ii Baixar

Esta foi uma semana produtiva para nós e esperamos que seja para vocês também.

Bons estudos e bom fim de semana.

[LSB]