Qual a posição do número?

Olá leitor!

Hoje trazemos mais uma questão trazida por uma leitora. Vamos ao enunciado:

Formados e dispostos em ordem crescente, os números que se obtém, permutando-se os algarismos 2, 3, 4, 8 e 9, que lugar ocupa o número 43892?

Stephanie Wenceslau

Bom, esta é uma mera questão de permutações simples em que, uma organização do raciocínio resolve o problema. Veja que, temos cinco posições para preencher com cinco algarismos. Como eles devem estar em ordem crescente:

  • Se o primeiro algarismo for o 2 ou o 3, não importam os demais, sempre teremos um número menor que 43892. Então temos um total de 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 48 números.
  • Se o primeiro algarismo for o 4 e o seguinte for o 2, não importam os demais, sempre teremos um número menor que 43892. Então temos um total de 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 números.
  • Se o primeiro algarismo for o 4 e o seguinte for o 3, o próximo deve ser o 2 e não importam os demais, pois sempre teremos um número menor que 43892. Então temos um total de 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2 números.
  • Se o primeiro algarismo for o 4, o segundo for o 3 e o terceiro for o 8 o próximo deve ser o 2 e o último o 9, havendo apenas uma possibilidade.

Até aqui temos 48 + 6 + 2 + 1 = 57 números. Portanto, o próximo número é o 58\textsuperscript{\d o}.

Espero ter ajudado!

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AFA: Análise Combinatória

Olá pessoal!

Mais uma dúvida enviada. Desta vez uma questão da AFA sobre análise combinatória. Vamos ver o enunciado:

(AFA) Cinco rapazes e cinco moças devem posar para uma fotografia, ocupando cinco degraus de uma escadaria, com um casal em cada degrau. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar este grupo?

a) 1280

b) 70400

c) 332000

d) 460800

Enviada por Stephanie Wenceslau

Bom, podemos pensar em cada lugar como sendo uma posição que pode ser ocupada por cada uma das 10 pessoas. Assim o primeiro degrau tem 2 posições, o segundo também e, assim por diante. Uma configuração possível é H_1M_1H_2M_2H_3M_3H_4M_4H_5M_5, em que H_n representa um dos homens ; M_n, uma das mulheres. Como temos cinco homens e cinco mulheres, teremos inicialmente o seguinte:

5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 5! \cdot 5! = 120 \cdot 120 = 14400 maneiras

Este é o total de maneiras de colocar casais nos degraus, mas sem ordená-los entre si. Veja que, por exemplo, só estamos considerando que, no primeiro degrau, bem como nos demais, o homem vem antes da mulher. Então, como podemos inverter em cada degrau o homem e a mulher de posição, teremos ainda duas maneiras para cada, totalizando, para cada uma das 14400 maneiras, um total de 2 \cdot 2  \cdot 2  \cdot 2  \cdot 2 = 32 modificações. Finalmente, o total geral é 14400 \cdot 32 = 460800 maneiras. Opção D.

Espero ter esclarecido.

Bons estudos!

Até!

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Alguns Bons Exercícios para a EEAr!

Olá leitores!

Segue uma pequena lista com sete exercícios de matemática de assuntos diversos, criados por mim, para simular questões da EEAr.

São poucos exercícios, mas são interessantes. Pode confiar.

Bons estudos!

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Desenvolvimento do Binômio de Newton

Olá leitores!

Trago uma dúvida enviada hoje que tem a ver com o desenvolvimento do binômio de Newton ou com o desenvolvimento da n-ésima potência natural de (x+a), ou seja, (x+a)^n. Segue a dúvida:

Calcular o termo em x^5 no deslvolvimento de (x + \frac{2}{x^2})^8.

Milena Figueiredo

Sabemos que o termo geral na posição p+1 do binômio (x+a)^n é dado por:

T_{p+1} = {n \choose p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p

Então, usando no nosso problema teremos:

T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{8-p} \cdot (\frac{2}{x^2})^p

Que desenvolvido será:

T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{(8-p) - 2p} \cdot 2^p \Rightarrow T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{8-3p} \cdot 2^p

Para que tenhamos x^5, devemos ter 8-3p = 5, logo p = 1. Veja:

T_2 = {8 \choose 1} \cdot x^5 \cdot 2^1 \Rightarrow T_2 = 16x^5

Para ter mais confiança, sugiro desenvolver os três primeiros termos, já que sabemos que este é o segundo termo do desenvolvimento.

Deixo também uma playlist minha sobre o assunto:


Até.

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[LSB]

Pré-AFA 2019 | Listas das Semanas 10, 11 e 12

Olá leitores,

passou o carnaval e voltamos com força total. Estas foram as listas das últimas três semanas. Demoramos um pouco mais por conta de uma rotina bem apertada de trabalho fora do site. Mas estamos na linha novamente. E com muitas novidades.

Foi isso galera.

Bom fim de semana e bons estudos.

Pré-AFA 2019 | Listas da Semana #6

Como prometido, estamos de volta com as listas da sexta semana do curso da pré-AFA 2019 no Curso Lincoln. Os arquivos seguem abaixo.

Mais uma semana bem produtiva. Aproveitem e divirtam-se neste fim de semana com essas listas.

Grande abraço.

[LSB]

Pré-AFA 2019 | Listas da Semana #5

Olá,

estamos fechando mais uma semana (semana #6) na turma pré-AFA de 2019. Mas não é por isso que vamos deixar de publicar por aqui as listas da semana #5.

Esta foi uma semana produtiva para nós e esperamos que seja para vocês também.

Bons estudos e bom fim de semana.

[LSB]