AFA: Análise Combinatória

Olá pessoal!

Mais uma dúvida enviada. Desta vez uma questão da AFA sobre análise combinatória. Vamos ver o enunciado:

(AFA) Cinco rapazes e cinco moças devem posar para uma fotografia, ocupando cinco degraus de uma escadaria, com um casal em cada degrau. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar este grupo?
a) $1280$
b) $70400$
c) $332000$
d) $460800$
Enviada por Stephanie Wenceslau

Bom, podemos pensar em cada lugar como sendo uma posição que pode ser ocupada por cada uma das $10$ pessoas. Assim o primeiro degrau tem 2 posições, o segundo também e, assim por diante. Uma configuração possível é $H_1M_1H_2M_2H_3M_3H_4M_4H_5M_5$ , em que $H_n$ representa um dos homens ; $M_n$ , uma das mulheres. Como temos cinco homens e cinco mulheres, teremos inicialmente o seguinte:

$5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 5! \cdot 5! = 120 \cdot 120 = 14400$ maneiras

Este é o total de maneiras de colocar casais nos degraus, mas sem ordená-los entre si. Veja que, por exemplo, só estamos considerando que, no primeiro degrau, bem como nos demais, o homem vem antes da mulher. Então, como podemos inverter em cada degrau o homem e a mulher de posição, teremos ainda duas maneiras para cada, totalizando, para cada uma das $14400$ maneiras, um total de $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ modificações. Finalmente, o total geral é $14400 \cdot 32 = 460800$ maneiras. Opção D.