AFA: Análise Combinatória

Olá pessoal!

Mais uma dúvida enviada. Desta vez uma questão da AFA sobre análise combinatória. Vamos ver o enunciado:

(AFA) Cinco rapazes e cinco moças devem posar para uma fotografia, ocupando cinco degraus de uma escadaria, com um casal em cada degrau. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar este grupo?

a) 1280

b) 70400

c) 332000

d) 460800

Enviada por Stephanie Wenceslau

Bom, podemos pensar em cada lugar como sendo uma posição que pode ser ocupada por cada uma das 10 pessoas. Assim o primeiro degrau tem 2 posições, o segundo também e, assim por diante. Uma configuração possível é H_1M_1H_2M_2H_3M_3H_4M_4H_5M_5, em que H_n representa um dos homens ; M_n, uma das mulheres. Como temos cinco homens e cinco mulheres, teremos inicialmente o seguinte:

5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 5! \cdot 5! = 120 \cdot 120 = 14400 maneiras

Este é o total de maneiras de colocar casais nos degraus, mas sem ordená-los entre si. Veja que, por exemplo, só estamos considerando que, no primeiro degrau, bem como nos demais, o homem vem antes da mulher. Então, como podemos inverter em cada degrau o homem e a mulher de posição, teremos ainda duas maneiras para cada, totalizando, para cada uma das 14400 maneiras, um total de 2 \cdot 2  \cdot 2  \cdot 2  \cdot 2 = 32 modificações. Finalmente, o total geral é 14400 \cdot 32 = 460800 maneiras. Opção D.

Espero ter esclarecido.

Bons estudos!

Até!

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