AFA: 100 Exercícios de Matemática para Revisão na Reta Final!

Olá leitores.

Adicionamos mais uma lista com exercícios gerais de revisão na reta final para a prova da AFA deste ano.

Colocamos vários exercícios da AFA mais antigos pra variar um pouco das provas mais recentes e acrescentamos algumas também mais antigas da Escola Naval (que claro já passou) mas que servem como treinamento para a prova da AFA. Segue a lista:

Lista_Gerais_9 Baixar

Espero que seja de grande ajuda nestes últimos momentos.

Boa prova e sucesso!

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AFA: Números Binomiais em P.A.

Sejam bem vindos!

Mais uma dúvida trazida por um leitor e, hoje, envolvendo os números binomiais e as progressões aritméticas, vulgarmente conhecidas como P.A.’s. Então vamos ao enunciado:

(AFA) Os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento de $(1+x)^n$ estão em progressão aritmética. Se $n \leq 13$ , então o valor de $2n + 1$ é:
a) $7$
b) $13$
c) $15$
d) $27$
Enviado por Arthur Pereira

Vamos lembrar que o termo geral do desenvolvimento do binômio $(x+a)^n$ é:

$T_{p+1} = {n \choose p} x^{n - p} a^p$

No nosso caso $x = 1$ e $a = x$ . Assim, temos para o quinto termo ficamos com:

$T_5 = {n \choose 4} 1^{n - 4} x^4$

Para o sexto e o sétimo, respectivamente:

$T_6 = {n \choose 5} 1^{n - 5} x^5$

$T_7 = {n \choose 6} 1^{n - 6} x^6$

Então, ${n \choose 4}$ , ${n \choose 5}$ e ${n \choose 6}$ formam a nossa P.A, nesta ordem. Portanto, sabemos que existe a relação:

$2{n \choose 5} = {n \choose 4} + {n \choose 6}$

Desenvolvendo cada número binomial, podemos escrever:

$2 \cdot \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$

Então:

$2 \cdot \frac{n!}{5 \cdot 4!(n-5)(n-6)!} = \frac{n!}{4!(n-4)(n-5)(n-6)!} + \frac{n!}{6 \cdot 5 \cdot 4!(n-6)!}$

Dividindo todas as parcelas por $\frac{n!}{4!(n-6)!}$ teremos a seguinte expressão:

$\frac{2}{5(n-5)} = \frac{1}{(n-4)(n-5)} + \frac{1}{30}$

Fazendo o mínimo múltiplo comum:

$\frac{12(n-4)}{30(n-4)(n-5)} = \frac{30}{30(n-4)(n-5)} + \frac{(n-4)(n-5)}{30(n-4)(n-5)}$

Desenvolvendo:

$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$

Finalmente chegamos à $n^2 - 21n + 98 = 0$ , cujas raízes são $n = 14$ e $n = 7$ . Do enunciado sabemos que $n \leq 13$ , portanto, $n = 7$ . Como queremos $2n + 1$ , sabemos que o resultado final é $15$ . Opção C.

Como observação adicional, vale perceber que se tivéssemos simplesmente desenvolvido o triângulo de Pascal até a linha $7$ , chegaríamos ao mesmo resultado por observação.

É isso.

Até

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AFA: Análise Combinatória

Olá pessoal!

Mais uma dúvida enviada. Desta vez uma questão da AFA sobre análise combinatória. Vamos ver o enunciado:

(AFA) Cinco rapazes e cinco moças devem posar para uma fotografia, ocupando cinco degraus de uma escadaria, com um casal em cada degrau. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar este grupo?
a) $1280$
b) $70400$
c) $332000$
d) $460800$
Enviada por Stephanie Wenceslau

Bom, podemos pensar em cada lugar como sendo uma posição que pode ser ocupada por cada uma das $10$ pessoas. Assim o primeiro degrau tem 2 posições, o segundo também e, assim por diante. Uma configuração possível é $H_1M_1H_2M_2H_3M_3H_4M_4H_5M_5$ , em que $H_n$ representa um dos homens ; $M_n$ , uma das mulheres. Como temos cinco homens e cinco mulheres, teremos inicialmente o seguinte:

$5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 5! \cdot 5! = 120 \cdot 120 = 14400$ maneiras

Este é o total de maneiras de colocar casais nos degraus, mas sem ordená-los entre si. Veja que, por exemplo, só estamos considerando que, no primeiro degrau, bem como nos demais, o homem vem antes da mulher. Então, como podemos inverter em cada degrau o homem e a mulher de posição, teremos ainda duas maneiras para cada, totalizando, para cada uma das $14400$ maneiras, um total de $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ modificações. Finalmente, o total geral é $14400 \cdot 32 = 460800$ maneiras. Opção D.

Espero ter esclarecido.

Bons estudos!

Até!

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44 Exercícios Gerais da AFA

Olá leitores!

Pra esquentar sua semana, trago uma lista de 44 exercícios de matemática da AFA de diversos assuntos: trigonometria em geral, incluindo equações e inequações trigonométricas, logaritmos e exponenciais, além de funções e outros assuntos.

Segue a lista:

Lista_Gerais_6 Baixar

A lista está toda com gabarito. Se aparecer um exercício com gabarito com “X” na opção, significa que não encontramos gabarito e não conseguimos comparar com outras provas pra ter referência pra corrigir.

Bons estudos!

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32 Exercícios de Matemática da AFA

Olá leitores!

Separamos alguns exercícios da AFA de vários assuntos: matrizes, determinantes, P.A. e P.G., binômio geometria (diversos tópicos) e por aí vai…!

Segue a lista:

Lista_Gerais_4 Baixar

Bons estudos e até a próxima lista!

PS.: Só pra lembrar, esta lista e muitas outras, ficam também disponíveis aqui neste link!

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Um Pequeno Simulado Nível AFA

Olá pessoal, hoje trago para vocês um pequeno simulado de matemática próximo ao nível da AFA. São 10 questões em um formulário do Google:

https://forms.gle/GYzevR2qisAqFuHz6

Quando você terminar, clique em enviar e você receberá sua nota no e-mail que usou para responder ao formulário.

Caso tenha dúvida em algum dos problemas (depois de resolver todo o simulado, claro!) convido-o (ou convido-a) a verificar a solução comentada das questões

Simulado_II Baixar

Espero que seja útil.

Grande abraço e bons estudos!

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Até!

[LSB]

Pré-AFA 2019 — Listas da Semana #2

Olá,

voltamos com as listas da semana #2 da pré-AFA do curso Lincoln.

Essas foram as listas desta semana.

Até a próxima pessoal.

[LSB]

Exercícios: Funções do 2º Grau IV

Olá leitores e alunos,

mais uma vez estamos de volta com uma lista de exercícios caprichada. Desta vez, temos funções do segundo grau (lista 4). Como sempre, para conferir, vá em exercícios >> matemática.

Bons estudos e boa semana.