AFA: Números Binomiais em P.A.

Sejam bem vindos!

Mais uma dúvida trazida por um leitor e, hoje, envolvendo os números binomiais e as progressões aritméticas, vulgarmente conhecidas como P.A.’s. Então vamos ao enunciado:

(AFA) Os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento de (1+x)^n estão em progressão aritmética. Se n \leq 13, então o valor de 2n + 1 é:

a) 7

b) 13

c) 15

d) 27

Enviado por Arthur Pereira

Vamos lembrar que o termo geral do desenvolvimento do binômio (x+a)^n é:

T_{p+1} = {n \choose p} x^{n - p} a^p

No nosso caso x = 1 e a = x. Assim, temos para o quinto termo ficamos com:

T_5 = {n \choose 4} 1^{n - 4} x^4

Para o sexto e o sétimo, respectivamente:

T_6 = {n \choose 5} 1^{n - 5} x^5

E

T_7 = {n \choose 6} 1^{n - 6} x^6

Então, {n \choose 4}, {n \choose 5} e {n \choose 6} formam a nossa P.A, nesta ordem. Portanto, sabemos que existe a relação:

2{n \choose 5} = {n \choose 4} + {n \choose 6}

Desenvolvendo cada número binomial, podemos escrever:

2 \cdot \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}

Então:

2 \cdot \frac{n!}{5 \cdot 4!(n-5)(n-6)!} = \frac{n!}{4!(n-4)(n-5)(n-6)!} + \frac{n!}{6 \cdot 5 \cdot 4!(n-6)!}

Dividindo todas as parcelas por \frac{n!}{4!(n-6)!} teremos a seguinte expressão:

\frac{2}{5(n-5)} = \frac{1}{(n-4)(n-5)} + \frac{1}{30}

Fazendo o mínimo múltiplo comum:

\frac{12(n-4)}{30(n-4)(n-5)} = \frac{30}{30(n-4)(n-5)} + \frac{(n-4)(n-5)}{30(n-4)(n-5)}

Desenvolvendo:

12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20

Finalmente chegamos à n^2 - 21n + 98 = 0, cujas raízes são n = 14 e n = 7. Do enunciado sabemos que n \leq 13, portanto, n = 7. Como queremos 2n + 1, sabemos que o resultado final é 15. Opção C.

Como observação adicional, vale perceber que se tivéssemos simplesmente desenvolvido o triângulo de Pascal até a linha 7, chegaríamos ao mesmo resultado por observação.

É isso.

Até

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AFA: Análise Combinatória

Olá pessoal!

Mais uma dúvida enviada. Desta vez uma questão da AFA sobre análise combinatória. Vamos ver o enunciado:

(AFA) Cinco rapazes e cinco moças devem posar para uma fotografia, ocupando cinco degraus de uma escadaria, com um casal em cada degrau. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar este grupo?

a) 1280

b) 70400

c) 332000

d) 460800

Enviada por Stephanie Wenceslau

Bom, podemos pensar em cada lugar como sendo uma posição que pode ser ocupada por cada uma das 10 pessoas. Assim o primeiro degrau tem 2 posições, o segundo também e, assim por diante. Uma configuração possível é H_1M_1H_2M_2H_3M_3H_4M_4H_5M_5, em que H_n representa um dos homens ; M_n, uma das mulheres. Como temos cinco homens e cinco mulheres, teremos inicialmente o seguinte:

5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 5! \cdot 5! = 120 \cdot 120 = 14400 maneiras

Este é o total de maneiras de colocar casais nos degraus, mas sem ordená-los entre si. Veja que, por exemplo, só estamos considerando que, no primeiro degrau, bem como nos demais, o homem vem antes da mulher. Então, como podemos inverter em cada degrau o homem e a mulher de posição, teremos ainda duas maneiras para cada, totalizando, para cada uma das 14400 maneiras, um total de 2 \cdot 2  \cdot 2  \cdot 2  \cdot 2 = 32 modificações. Finalmente, o total geral é 14400 \cdot 32 = 460800 maneiras. Opção D.

Espero ter esclarecido.

Bons estudos!

Até!

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44 Exercícios Gerais da AFA

Olá leitores!

Pra esquentar sua semana, trago uma lista de 44 exercícios de matemática da AFA de diversos assuntos: trigonometria em geral, incluindo equações e inequações trigonométricas, logaritmos e exponenciais, além de funções e outros assuntos.

Segue a lista:

A lista está toda com gabarito. Se aparecer um exercício com gabarito com “X” na opção, significa que não encontramos gabarito e não conseguimos comparar com outras provas pra ter referência pra corrigir.

Bons estudos!

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32 Exercícios de Matemática da AFA

Olá leitores!

Separamos alguns exercícios da AFA de vários assuntos: matrizes, determinantes, P.A. e P.G., binômio geometria (diversos tópicos) e por aí vai…!

Segue a lista:

Bons estudos e até a próxima lista!

PS.: Só pra lembrar, esta lista e muitas outras, ficam também disponíveis aqui neste link!

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Um Pequeno Simulado Nível AFA

Olá pessoal, hoje trago para vocês um pequeno simulado de matemática próximo ao nível da AFA. São 10 questões em um formulário do Google:

https://forms.gle/GYzevR2qisAqFuHz6

Quando você terminar, clique em enviar e você receberá sua nota no e-mail que usou para responder ao formulário.

Caso tenha dúvida em algum dos problemas (depois de resolver todo o simulado, claro!) convido-o (ou convido-a) a verificar a solução comentada das questões

Espero que seja útil.

Grande abraço e bons estudos!

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