AFA: Números Binomiais em P.A.

Sejam bem vindos!

Mais uma dúvida trazida por um leitor e, hoje, envolvendo os números binomiais e as progressões aritméticas, vulgarmente conhecidas como P.A.’s. Então vamos ao enunciado:

(AFA) Os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento de (1+x)^n estão em progressão aritmética. Se n \leq 13, então o valor de 2n + 1 é:

a) 7

b) 13

c) 15

d) 27

Enviado por Arthur Pereira

Vamos lembrar que o termo geral do desenvolvimento do binômio (x+a)^n é:

T_{p+1} = {n \choose p} x^{n - p} a^p

No nosso caso x = 1 e a = x. Assim, temos para o quinto termo ficamos com:

T_5 = {n \choose 4} 1^{n - 4} x^4

Para o sexto e o sétimo, respectivamente:

T_6 = {n \choose 5} 1^{n - 5} x^5

E

T_7 = {n \choose 6} 1^{n - 6} x^6

Então, {n \choose 4}, {n \choose 5} e {n \choose 6} formam a nossa P.A, nesta ordem. Portanto, sabemos que existe a relação:

2{n \choose 5} = {n \choose 4} + {n \choose 6}

Desenvolvendo cada número binomial, podemos escrever:

2 \cdot \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}

Então:

2 \cdot \frac{n!}{5 \cdot 4!(n-5)(n-6)!} = \frac{n!}{4!(n-4)(n-5)(n-6)!} + \frac{n!}{6 \cdot 5 \cdot 4!(n-6)!}

Dividindo todas as parcelas por \frac{n!}{4!(n-6)!} teremos a seguinte expressão:

\frac{2}{5(n-5)} = \frac{1}{(n-4)(n-5)} + \frac{1}{30}

Fazendo o mínimo múltiplo comum:

\frac{12(n-4)}{30(n-4)(n-5)} = \frac{30}{30(n-4)(n-5)} + \frac{(n-4)(n-5)}{30(n-4)(n-5)}

Desenvolvendo:

12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20

Finalmente chegamos à n^2 - 21n + 98 = 0, cujas raízes são n = 14 e n = 7. Do enunciado sabemos que n \leq 13, portanto, n = 7. Como queremos 2n + 1, sabemos que o resultado final é 15. Opção C.

Como observação adicional, vale perceber que se tivéssemos simplesmente desenvolvido o triângulo de Pascal até a linha 7, chegaríamos ao mesmo resultado por observação.

É isso.

Até

Anúncios

Minha iniciativa é GRATUITA.

Você pode AJUDAR:

— Doando qualquer quantia via PIX: leonardosantos.inf@gmail.com

— Pelo APOIA SE:

https://apoia.se/mentor

— Nos seguindo: 

http://www.instagram.com/curso_mentor_oficial

Mas, claro, fique a vontade, qualquer ajuda é bem vinda! 

E a melhor ajuda que você pode dar é GRÁTIS, DE GRAÇA, 0800: só basta DIVULGAR esta iniciativa!

Entre em nosso canal no Telegram: https://t.me/cursomentor

Apoiadores:

Edson Pereira Barros

Até!

[LSB]

Fala que te escuto:

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair /  Alterar )

Foto do Google

Você está comentando utilizando sua conta Google. Sair /  Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair /  Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair /  Alterar )

Conectando a %s