Análise Combinatória e Múltiplos de 3

Olá, leitores!

Hoje trazemos uma dúvida trazida por uma de nossas leitoras. Segue o enunciado:

Calcule quantos múltiplos de 3, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.

Stephanie Wenceslau

Bom, em primeiro lugar, para que um número qualquer, seja ele de 4 algarismos distintos ou não, seja múltiplo de 3 a soma de seus algarismos deve ser um número divisível por 3. Vamos separar, então em casos diferentes:

  1. Se o número é composto apenas por algarismos múltiplos de 3, certamente ele é múltiplo de 3. Para este caso, não há possibilidades, pois os algarismos devem ser distintos e só há 3 múltiplos de 3. Basta ver que temos 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0 números.
  2. Como são cinco números disponíveis e usaremos quatro deles, já sabendo que não podem ser três múltiplos de 3 , teremos as seguintes possibilidades:
    1. Não usar o algarismo 3, daí a soma dos restantes é 2 + 4 + 6 + 9 = 21, sendo múltiplo de 3. Serão 4! = 24 números.
    2. Não usar o algarismo 6, daí a soma dos restantes é 2 + 3 + 4 + 9 = 18, sendo múltiplo de 3. Serão 4! = 24 números.
    3. Não usar o algarismo 9, daí a soma dos restantes é 2 + 3 + 4 + 6 = 15, sendo múltiplo de 3. Serão 4! = 24 números.
  3. Veja que não há como usar apenas um algarismo múltiplo de 3, pois há três algarismos múltiplos de 3 dentre cinco e usaremos quatro deles.

Assim temos um total de 24 + 24 + 24 =  72 números.

Pensando em outra abordagem, podemos ver o seguinte: a soma de todos os algarismos é 2 + 3 + 4 + 6 + 9 = 24. Como a soma total já é múltipla de 3, para termos uma soma total, usando apenas 4 algarismos, também múltipla de 3, só poderemos retirar um múltiplo de 3 dentre os existentes. Portanto, escolhemos primeiro um dos três múltiplos de 3 para retirar, sendo {3 \choose 1} = 3 maneiras e, os 4 algarismos restantes, formam o número de 4! maneiras possíveis. Daí, para cada algarismo retirado (que são 3 opções) temos esse total de permutações dos algarismos restantes, ou seja, 3 \times 4! = 72 números possíveis.

Espero ter respondido!

Até.

[LSB]

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