Análise Combinatória e Múltiplos de 3

Olá, leitores!

Hoje trazemos uma dúvida trazida por uma de nossas leitoras. Segue o enunciado:

Calcule quantos múltiplos de $3$ , de $4$ algarismos distintos, podem ser formados com $2$ , $3$ , $4$ , $6$ e $9$ .
Stephanie Wenceslau

Bom, em primeiro lugar, para que um número qualquer, seja ele de $4$ algarismos distintos ou não, seja múltiplo de $3$ a soma de seus algarismos deve ser um número divisível por $3$ . Vamos separar, então em casos diferentes:

Se o número é composto apenas por algarismos múltiplos de $3$ , certamente ele é múltiplo de $3$ . Para este caso, não há possibilidades, pois os algarismos devem ser distintos e só há $3$ múltiplos de $3$ . Basta ver que temos $3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0$ números.
Como são cinco números disponíveis e usaremos quatro deles, já sabendo que não podem ser três múltiplos de , teremos as seguintes possibilidades:
1. Não usar o algarismo $3$ , daí a soma dos restantes é $2 + 4 + 6 + 9 = 21$ , sendo múltiplo de $3$ . Serão $4! = 24$ números.
2. Não usar o algarismo $6$ , daí a soma dos restantes é $2 + 3 + 4 + 9 = 18$ , sendo múltiplo de $3$ . Serão $4! = 24$ números.
3. Não usar o algarismo $9$ , daí a soma dos restantes é $2 + 3 + 4 + 6 = 15$ , sendo múltiplo de $3$ . Serão $4! = 24$ números.
Veja que não há como usar apenas um algarismo múltiplo de $3$ , pois há três algarismos múltiplos de $3$ dentre cinco e usaremos quatro deles.

Assim temos um total de $24 + 24 + 24 = 72$ números.

Pensando em outra abordagem, podemos ver o seguinte: a soma de todos os algarismos é $2 + 3 + 4 + 6 + 9 = 24$ . Como a soma total já é múltipla de $3$ , para termos uma soma total, usando apenas $4$ algarismos, também múltipla de $3$ , só poderemos retirar um múltiplo de $3$ dentre os existentes. Portanto, escolhemos primeiro um dos três múltiplos de $3$ para retirar, sendo ${3 \choose 1} = 3$ maneiras e, os $4$ algarismos restantes, formam o número de $4!$ maneiras possíveis. Daí, para cada algarismo retirado (que são $3$ opções) temos esse total de permutações dos algarismos restantes, ou seja, $3 \times 4! = 72$ números possíveis.