Produto de Matrizes e Matriz Inversa

Hoje, trazemos um problema que envolve o produto de matrizes e a obtenção da matriz inversa de uma matriz quadrada.

Vejamos o problema proposto:

Considere as matrizes $M = \left( \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{array} \right)$ , $N = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)$ , $P = \left( \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)$ e $X = \left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)$ . Se $X$ é solução de $M^{-1}NX = P$ , então $x^2 + y^2 + z^2$ é igual a:
a) $35$
b) $17$
c) $38$
d) $14$
e) $29$
Enviada por Marcus Tavares

Primeiro, vamos usar a definição de matriz inversa sobre a expressão dada, multiplicando-a pela esquerda por $M$ :

$M^{-1}NX = P \Rightarrow M \cdot M^{-1}NX = MP \Rightarrow INX = MP \Rightarrow NX = MP$

Em que $I$ representa a identidade de ordem $3$ . Repetindo o processo, multiplicando a mesma expressão por $N^{-1}$ pela esquerda, teremos:

$N^{-1}NX =N^{-1}MP \Rightarrow IX = N^{-1}MP \Rightarrow X = N^{-1}MP$

Precisaremos inverter a matriz $N$ (infelizmente, pois vai dar trabalho… :(, mas VQV). Para inverter $N$ faremos:

$N \cdot N^{-1} = I_3 \Rightarrow \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)$

Isto vai gerar alguns sistemas de equações, vamos ao primeiro:

$\left\{ \begin{array}{r} a + 2g = 1 \\ 3a + 2d = 0 \\ a + d + g = 0 \end{array}\right.$

Da primeira equação teremos $a = 1 -2g$ ; substituindo na segunda: $3 \cdot (1-2g) + 2d = 0$ , portanto, $d = \frac{6g - 3}{2}$ . Indo para a terceira:

$1 - 2g + \frac{6g - 3}{2} + g = 0 \Rightarrow 2 - 4g + 6g - 3 + 2g = 0 \Rightarrow g = \frac{1}{4}$

Agora calculamos $d$ :

$d = \frac{6 \cdot \frac{1}{4} - 3}{2} \Rightarrow d = -\frac{3}{4}$

E para o valor de $a$ , sabemos $a = \frac{1}{2}$ . Vamos agora para o segundo sistema:

$\left\{ \begin{array}{r} b + 2h = 0 \\ 3b + 2e = 1 \\ b + e + h = 0 \end{array}\right.$

Veja que a matriz dos coeficientes é a mesma, mudando apenas as incógnitas. Houve também uma pequena mudança na matriz dos termos independentes. Continuando; da primeira equação, encontramos $b = -2h$ e, substituindo na terceira:

$-2h + e + h = 0 \Rightarrow e = h$

Colocando estes resultados na segunda:

$3 \cdot(-2h) + 2h = 1 \Rightarrow h = -\frac{1}{4}$

Portanto temos $b = \frac{1}{2}$ e $e = -\frac{1}{4}$ . Finalmente, vamos ao terceiro sistema de equações:

$\left\{ \begin{array}{r} c + 2i = 0 \\ 3c + 2f = 0 \\ c + f + i = 1 \end{array}\right.$

Da primeira equação obtemos $c = -2i$ , usando na segunda, teremos:

$3 \cdot (-2i) + 2f = 0 \Rightarrow f = 3i$

Indo pra última equação:

$-2i + 3i + i = 1 \Rightarrow i = \frac{1}{2}$

Portanto, $f = \frac{3}{2}$ e $c = -1$ . Então, finalmente temos a inversa de $N$ :

$N^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1 \vspace{1 mm} \\ -\frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{2} \vspace{1 mm} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right]$

Queremos calcular $X = N^{-1}MP$ que pode ser feito como $X = N^{-1}(MP)$ , logo temos $MP = \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}\right]$ , e agora teremos a inversa de $N$ multiplicada pelo resultado anterior, que nos dará $X = \left[ \begin{array}{r} -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} -3 \vspace{1 mm} \\ \frac{3}{4} -\frac{1}{4} + \frac{9}{2} \vspace{1 mm} \\ -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2} \\ \end{array}\right]$ .

Finalmente, podemos escrever: $X = \left[ \begin{array}{r} -3 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right]$ . Portanto $x = -3$ , $y = 5$ e $z = 1$ , daí $x^2 + y^2 + z^2 = 9 + 25 + 1 = 35$ . Opção A.

Problema trabalhoso, mas bacana, gostei!

Fique com um vídeo sobre equações matriciais.

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[LSB]

Matrizes Inversíveis

Você sabe quando uma matriz é inversível?

Uma matriz $A$ é inversível (ou invertível) quando admite inversa (ou seja, não falei nada!). Mas para admitir inversa o determinante de $A$ deve ser diferente de zero, isto é, $A$ só admite inversa se, e somente se, $\det A \ne 0$ .

Vejamos um exemplo.

Sejam $m$ e $n$ números reais com $m \ne n$ e as matrizes $A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{array} \right)$ e $B = \left( \begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$ . Para que a matriz $mA + nB$ seja não inversível é necessário que:
a) $m$ e $n$ sejam positivos
b) $m$ e $n$ sejam negativos
c) $m$ e $n$ tenham sinais contrários
d) $n^2 = 7m^2$
Enviada por Marcus Tavares

Vamos então calcular a matriz pedida antes de procurar seu determinante:

$mA + nB =\left( \begin{array}{rr} 2m & m \\ 3m & 5m \end{array} \right) + \left( \begin{array}{rr} - n & n \\ 0 & n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 2m - n & m + n \\ 3m & 5m + n \end{array} \right)$

Calculando agora $\det(mA + nB)$ encontramos:

$\det(mA + nB) = (2m - n)(5m + n) - (m+n) \cdot 3m$

Para que a matriz seja não inversível, devemos ter seu determinante nulo:

$(2m - n)(5m + n) - (m+n) \cdot 3m = 0$

Desenvolvendo:

$10m^2 + 2mn - 5mn - n^2 - (3m^2 + 3mn) = 0$

Logo:

$7m^2 - 6mn - n^2 = 0$

Veja que, se $n = 0$ teremos $7m^2 = 0$ , logo $m = n = 0$ , mas $m \ne n$ , logo, podemos dividir toda a expressão por $n^2$ :

$7 \cdot (\frac{m}{n})^2 - 6 \cdot \frac{m}{n} - 1 = 0$

Resolvendo:

$\frac{m}{n} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1)}}{2 \cdot 7}$

Finalmente:

$\frac{m}{n} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{14} \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{6 \pm 8}{14}$

Há portanto, dois valores: $\frac{m}{n} = 1$ , mas nesse caso, $m = n$ , o que não é permitido pelas condições do problema; ou $\frac{m}{n} = -\frac{1}{7} < 0$ e, nesse caso, $m$ e $n$ têm sinais opostos, nos levando, então à opção C.

Pra fechar, vou deixar um vídeo sobre a inversa de uma matriz:

Espero que ajude.

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[LSB]

Teorema de Binet

Você conhece o Teorema de Binet? É o que vamos falar hoje.

O Teorema de Binet diz respeito ao produto de matrizes e sua relação com o produto de matrizes. O teorema diz o seguinte:

Se $A$ e $B$ são matrizes quadradas de ordem $n$ , então $\det (A \cdot B) = \det A \cdot \det B$ .

Assim, vamos resolver uma dúvida enviada para mim:

$Q$ é uma matriz $4 \times 4$ tal que $\det(Q) < 0$ e $Q^4 + 2Q^2 = 0$ , então temos:
a) $\det Q = -2$
b) $\det Q = -4$
c) $\det Q = -8$
d) $\det Q = -16$
Enviada por Laura Helena

Considerando que $0$ representa a matriz nula quadrada de ordem $4$ , podemos escrever:

$Q^4 = -2Q^2$

Como duas matrizes iguais têm determinantes iguais (a recíproca não é verdadeira!), faremos:

$\det(Q^4) = \det(-2Q^2)$

Aqui precisamos abrir parênteses; sabemos de outra propriedade importante dos determinantes. Se $k \in \mathbb{R}$ e $A$ é matriz quadrada de ordem $n$ , temos:

$\det(kA) = k^n \cdot \det A$

Daí, podemos voltar e aplicar o Teorema de Binet na dúvida da Laura:

$(\det Q)^4 = (-2)^4 \cdot (\det Q)^2$

Como, do enunciado, $\det Q < 0$ , podemos dividir a expressão toda por $\det Q$ :

$(\det Q)^2 = 16 \Rightarrow \det Q = \pm \sqrt{16} \Rightarrow \det Q = \pm 4$

Usando de novo a restrição do enunciado, encontramos $\det Q = -4$ .

Opção B.

Pra fechar, vou deixar dois vídeos sobre isso. O primeiro que gravei em 2016, falando disso e um mais recente de 2020.

Gravado em 2016, durante uma parceria com um curso preparatório da Ilha do Governador — RJ.

Gravado recentemente, em 2020. Resolvendo um exercício!

Para saber um pouco mais sobre quem foi Binet, clique aqui.

Tomara que isto ajude a sanar a dúvida.

Grande abraço.

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Até!

[LSB]

Uma Dúvida Interessante Sobre Conjunto-Solução

Olá pessoal, há algum tempo, recebi este comentário aqui no site. Como um dos vídeos mais vistos em nosso canal no Youtube (veja ele aqui ou no final desta postagem!) trata deste assunto, resolvi resolver e comentar um pouco sobre isto.

A dúvida é da Helena e diz o seguinte:

Se a equação $X^4 - KX^2 = 0$ tem solução $S = \{-9;0;9\}$ , então:
a) $K=9$
b) $K=81$
c) $K=18$
d) $K=0$
e) $K= -9$
Helena

Inicialmente quero agradecer pela interação com o site, que por muito tempo ficou parado e que agora minha meta é manter funcionando. Bom, vamos lá. Em primeiro lugar, vamos considerar algumas coisas.

(1) Vamos adotar que a equação tem $X$ como incógnita, ou seja, este é o valor que queremos calcular. Isto faz sentido, porque se $K$ fosse a variável, bastaria isolar $K$ , fazendo:

$-KX^2 = -X^4 \Rightarrow K = {X^2} \qquad \textrm{para } X \ne 0$

Mas, como esta é uma equação literal do primeiro grau na incógnita $K$ , seu conjunto-solução só poderia admitir um único valor. O que contrariaria o enunciado.

(2) O que o enunciado chama de “solução” na realidade é o conjunto-solução $S$ ; que é o conjunto cujos elementos solucionam a equação proposta, isto é, são soluções dela. Como $S$ tem mais de um elemento e a equação está na forma de um polinômio, já sabemos que ele não pode ser do primeiro grau, já que pelo Teorema Fundamental da Álgebra uma equação polinomial de grau $n$ tem exatamente $n$ soluções complexas (no conjunto dos números complexos) e no máximo $n$ soluções reais (em $\mathbb{R}$ ).

(3) Entendido isso, podemos trabalhar sobre a incógnita como sendo $X$ . Assim, colocando $X^2$ em evidência, teremos:

$X^2 \cdot (X^2 - K) = 0$

Para que um produto de dois números seja nulo, é necessário que pelo menos um deles seja zero. Assim, sabemos que $X^2 = 0$ , logo $X = 0$ , caracterizando duas raízes reais e iguais a zero; ou $X^2 - K = 0$ , daí:

$X^2 = K \Rightarrow X = +\sqrt{K} \quad \textrm{ou} \quad X = -\sqrt{K}$

Ou seja, temos um conjunto solução, que chamaremos de $S'$ representado por $S'= \{-\sqrt{K}; 0; +\sqrt{K}\}$ , que pressupõe necessariamente que $K \geq 0$ .

Como $S = S'$ devemos ter exatamente os mesmos elementos em ambos, ou seja $\sqrt{K} = 9$ . Portanto, para $K \geq 0$ , sabemos que $K = 81$ . Teremos, então a opção B.

Assim, pra fecharmos o assunto, é necessário fazer algumas considerações importantes:

Verificar sempre quem é a incógnita da equação;
Verificar quem é o conjunto universo no qual se está trabalhando. No osso caso consideramos o conjunto dos números reais $\mathbb{R}$ , mas poderíamos ter os naturais $\mathbb{N}$ , inteiros $\mathbb{Z}$ , complexos $\mathbb{C}$ , etc;
É importante entender o papel do conjunto-solução em uma equação; e
Cuidado com equações literais.

É isso, espero ter respondido a dúvida da Helena e de outras pessoas, mesmo com um “certo” atraso.

Vídeo sobre conjunto-solução em nosso canal:

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[LSB]

Tira-Teima #14

Dúvida enviada por Priscila.

(CETF-RJ/2007/Q11) Ao dividirmos o termo de ordem $14$ de uma P.A. pelo termo de ordem $5$ , obteremos $7$ por resposta. Ao se dividir o décimo termo dessa seqüência pelo terceiro termo, obteremos o quociente $5$ e o resto $3$ . A soma dos termos da P.G. cuja razão e o primeiro termo são os mesmos da P.A. é:

Solução: Do enunciado sabemos que $\frac{a_{14}}{a_5} = 7$ e que $a_{10} = 5a_3 + 3$ .

Mas sabemos que $a_{14} = a_1 + 13r$ e que $a_5 = a_1 + 4r$ , então:

$\frac{a_1 + 13r}{a_1 + 4r} = 7 \Rightarrow a_1 + 13r = 7a_1 + 28 r$

Com isso chegamos a $a_1 = -\frac{5r}{2}$ .

Além disso, $a_{10} = a_1 + 9r$ e $a_3 = a1 + 2r$ . Voltando ao enunciado podemos escrever:

$a_1 + 9r = 5a_1 +10r + 3 \Rightarrow -4a_1 = r+ 3$

Substituindo o $a_1$ encontrado:

$-4 \cdot (-5) \cdot \frac{r}{2} = r+3$

Então $r = \frac{1}{3}$ . E, deste modo, $a_1 = - \frac{5}{6}$ . Como a soma $S$ dos termos de uma P.G. com razão $q$ tal que $\vert q \vert < 1$ é $S = \frac{a_1}{1-q}$ , podemos fazer:

$S = \frac{-\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{3}} \Rightarrow S = - \frac{5}{4}$

Espero ter ajudado.

@LSBar

Tira-Teima #13: Fatoração

Questão enviada por Rosimari Quaresma

O número $x = \frac{{{2^{17}}\cdot{5^{12}} + {{20}^6}\cdot{{50}^4}}}{{{6^3}\cdot{{10}^{12}}}}$ é igual a:

a) $2$

b) $5$

c) $216$

d) $432$

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Tira-Teima #12: Fatoração

Questão enviada por Rosimeri Quaresma:

O valor da expressão $\frac{{{a^5} + {a^4} + {a^3} + {a^2} + a + 1}}{{{a^4} + {a^2} + 1}}$ para $a = 59$ é:

a) $119$

b) $118$

c) $60$

d) $59$

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Tira-Teima #11: Sistemas de Numeração

Questão enviada por Julio Silva
Quantos algarismos $1$ aparecem de $1$ a $1111$ ?

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@LSBar

Tira-Teima #10: Radiciação

Questão enviada por Sebastião Soares:

Se $a = \sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$ e $b =\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$ , então $a+b$ é igual a:

a) $\sqrt{10}$

b) $4$

c) $2\sqrt{2}$

d) $\sqrt{5}+1$

e) $\sqrt{3}+2$

Você pode ver a solução comentada aqui.

Tira-Teima #9: Triângulos

Questão enviada por Ederson Ferreira

(CONED-CASTANHAL 2009-PA) De um ponto qualquer marcado no interior de um triângulo equilátero traçam-se segmentos perpendiculares a todos os lados. Podemos afirmar que a soma dos comprimentos dos segmentos traçados é igual a:

a) Medida do lado do triângulo

b) Medida da altura do triângulo

c) Medida da metade do lado do triângulo

d) Medida da metade da altura do triângulo

e) Medida da área do triângulo

Veja a solução aqui.