Produto de Matrizes e Matriz Inversa

Hoje, trazemos um problema que envolve o produto de matrizes e a obtenção da matriz inversa de uma matriz quadrada.

Vejamos o problema proposto:

Considere as matrizes $M = \left( \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{array} \right)$ , $N = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)$ , $P = \left( \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)$ e $X = \left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)$ . Se $X$ é solução de $M^{-1}NX = P$ , então $x^2 + y^2 + z^2$ é igual a:
a) $35$
b) $17$
c) $38$
d) $14$
e) $29$
Enviada por Marcus Tavares

Primeiro, vamos usar a definição de matriz inversa sobre a expressão dada, multiplicando-a pela esquerda por $M$ :

$M^{-1}NX = P \Rightarrow M \cdot M^{-1}NX = MP \Rightarrow INX = MP \Rightarrow NX = MP$

Em que $I$ representa a identidade de ordem $3$ . Repetindo o processo, multiplicando a mesma expressão por $N^{-1}$ pela esquerda, teremos:

$N^{-1}NX =N^{-1}MP \Rightarrow IX = N^{-1}MP \Rightarrow X = N^{-1}MP$

Precisaremos inverter a matriz $N$ (infelizmente, pois vai dar trabalho… :(, mas VQV). Para inverter $N$ faremos:

$N \cdot N^{-1} = I_3 \Rightarrow \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)$

Isto vai gerar alguns sistemas de equações, vamos ao primeiro:

$\left\{ \begin{array}{r} a + 2g = 1 \\ 3a + 2d = 0 \\ a + d + g = 0 \end{array}\right.$

Da primeira equação teremos $a = 1 -2g$ ; substituindo na segunda: $3 \cdot (1-2g) + 2d = 0$ , portanto, $d = \frac{6g - 3}{2}$ . Indo para a terceira:

$1 - 2g + \frac{6g - 3}{2} + g = 0 \Rightarrow 2 - 4g + 6g - 3 + 2g = 0 \Rightarrow g = \frac{1}{4}$

Agora calculamos $d$ :

$d = \frac{6 \cdot \frac{1}{4} - 3}{2} \Rightarrow d = -\frac{3}{4}$

E para o valor de $a$ , sabemos $a = \frac{1}{2}$ . Vamos agora para o segundo sistema:

$\left\{ \begin{array}{r} b + 2h = 0 \\ 3b + 2e = 1 \\ b + e + h = 0 \end{array}\right.$

Veja que a matriz dos coeficientes é a mesma, mudando apenas as incógnitas. Houve também uma pequena mudança na matriz dos termos independentes. Continuando; da primeira equação, encontramos $b = -2h$ e, substituindo na terceira:

$-2h + e + h = 0 \Rightarrow e = h$

Colocando estes resultados na segunda:

$3 \cdot(-2h) + 2h = 1 \Rightarrow h = -\frac{1}{4}$

Portanto temos $b = \frac{1}{2}$ e $e = -\frac{1}{4}$ . Finalmente, vamos ao terceiro sistema de equações:

$\left\{ \begin{array}{r} c + 2i = 0 \\ 3c + 2f = 0 \\ c + f + i = 1 \end{array}\right.$

Da primeira equação obtemos $c = -2i$ , usando na segunda, teremos:

$3 \cdot (-2i) + 2f = 0 \Rightarrow f = 3i$

Indo pra última equação:

$-2i + 3i + i = 1 \Rightarrow i = \frac{1}{2}$

Portanto, $f = \frac{3}{2}$ e $c = -1$ . Então, finalmente temos a inversa de $N$ :

$N^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1 \vspace{1 mm} \\ -\frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{2} \vspace{1 mm} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right]$

Queremos calcular $X = N^{-1}MP$ que pode ser feito como $X = N^{-1}(MP)$ , logo temos $MP = \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}\right]$ , e agora teremos a inversa de $N$ multiplicada pelo resultado anterior, que nos dará $X = \left[ \begin{array}{r} -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} -3 \vspace{1 mm} \\ \frac{3}{4} -\frac{1}{4} + \frac{9}{2} \vspace{1 mm} \\ -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2} \\ \end{array}\right]$ .

Finalmente, podemos escrever: $X = \left[ \begin{array}{r} -3 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right]$ . Portanto $x = -3$ , $y = 5$ e $z = 1$ , daí $x^2 + y^2 + z^2 = 9 + 25 + 1 = 35$ . Opção A.