Produto de Matrizes e Matriz Inversa

Hoje, trazemos um problema que envolve o produto de matrizes e a obtenção da matriz inversa de uma matriz quadrada.

Vejamos o problema proposto:

Considere as matrizes M = \left( \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{array} \right), N = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right), P = \left( \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) e X = \left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right). Se X é solução de M^{-1}NX = P, então x^2 + y^2 + z^2 é igual a:

a) 35

b) 17

c) 38

d) 14

e) 29

Enviada por Marcus Tavares

Primeiro, vamos usar a definição de matriz inversa sobre a expressão dada, multiplicando-a pela esquerda por M:

M^{-1}NX = P \Rightarrow M \cdot M^{-1}NX = MP \Rightarrow INX = MP \Rightarrow NX = MP

Em que I representa a identidade de ordem 3. Repetindo o processo, multiplicando a mesma expressão por N^{-1} pela esquerda, teremos:

N^{-1}NX =N^{-1}MP \Rightarrow IX = N^{-1}MP \Rightarrow X = N^{-1}MP

Precisaremos inverter a matriz N (infelizmente, pois vai dar trabalho… :(, mas VQV). Para inverter N faremos:

N \cdot N^{-1} = I_3 \Rightarrow \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)

Isto vai gerar alguns sistemas de equações, vamos ao primeiro:

\left\{ \begin{array}{r} a + 2g = 1 \\ 3a + 2d = 0 \\  a + d + g = 0 \end{array}\right.

Da primeira equação teremos a = 1 -2g; substituindo na segunda: 3 \cdot (1-2g) + 2d = 0, portanto, d = \frac{6g - 3}{2}. Indo para a terceira:

1 - 2g +  \frac{6g - 3}{2} + g = 0 \Rightarrow 2 - 4g + 6g - 3 + 2g = 0 \Rightarrow g = \frac{1}{4}

Agora calculamos d:

d = \frac{6 \cdot \frac{1}{4} - 3}{2} \Rightarrow d = -\frac{3}{4}

E para o valor de a, sabemos a = \frac{1}{2}. Vamos agora para o segundo sistema:

\left\{ \begin{array}{r} b + 2h = 0 \\ 3b + 2e = 1 \\  b + e + h = 0 \end{array}\right.

Veja que a matriz dos coeficientes é a mesma, mudando apenas as incógnitas. Houve também uma pequena mudança na matriz dos termos independentes. Continuando; da primeira equação, encontramos b = -2h e, substituindo na terceira:

-2h + e + h = 0 \Rightarrow e = h

Colocando estes resultados na segunda:

3 \cdot(-2h) + 2h = 1 \Rightarrow h = -\frac{1}{4}

Portanto temos b = \frac{1}{2} e e = -\frac{1}{4}. Finalmente, vamos ao terceiro sistema de equações:

\left\{ \begin{array}{r} c + 2i = 0 \\ 3c + 2f = 0 \\  c + f + i = 1 \end{array}\right.

Da primeira equação obtemos c = -2i, usando na segunda, teremos:

3 \cdot (-2i) + 2f = 0 \Rightarrow f = 3i

Indo pra última equação:

-2i + 3i + i = 1 \Rightarrow i = \frac{1}{2}

Portanto, f = \frac{3}{2} e c = -1. Então, finalmente temos a inversa de N:

N^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1 \vspace{1 mm} \\ -\frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{2} \vspace{1 mm} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right]

Queremos calcular X = N^{-1}MP que pode ser feito como X = N^{-1}(MP), logo temos MP = \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}\right], e agora teremos a inversa de N multiplicada pelo resultado anterior, que nos dará X = \left[ \begin{array}{r} -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} -3 \vspace{1 mm} \\  \frac{3}{4} -\frac{1}{4} + \frac{9}{2} \vspace{1 mm} \\ -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2}  \\ \end{array}\right].

Finalmente, podemos escrever: X = \left[ \begin{array}{r} -3 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right]. Portanto x = -3, y = 5 e z = 1, daí x^2 + y^2 + z^2 = 9 + 25 + 1 = 35. Opção A.

Problema trabalhoso, mas bacana, gostei!

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