Uma Dúvida Interessante Sobre Conjunto-Solução

Olá pessoal, há algum tempo, recebi este comentário aqui no site. Como um dos vídeos mais vistos em nosso canal no Youtube (veja ele aqui ou no final desta postagem!) trata deste assunto, resolvi resolver e comentar um pouco sobre isto.

A dúvida é da Helena e diz o seguinte:

Se a equação $X^4 - KX^2 = 0$ tem solução $S = \{-9;0;9\}$ , então:
a) $K=9$
b) $K=81$
c) $K=18$
d) $K=0$
e) $K= -9$
Helena

Inicialmente quero agradecer pela interação com o site, que por muito tempo ficou parado e que agora minha meta é manter funcionando. Bom, vamos lá. Em primeiro lugar, vamos considerar algumas coisas.

(1) Vamos adotar que a equação tem $X$ como incógnita, ou seja, este é o valor que queremos calcular. Isto faz sentido, porque se $K$ fosse a variável, bastaria isolar $K$ , fazendo:

$-KX^2 = -X^4 \Rightarrow K = {X^2} \qquad \textrm{para } X \ne 0$

Mas, como esta é uma equação literal do primeiro grau na incógnita $K$ , seu conjunto-solução só poderia admitir um único valor. O que contrariaria o enunciado.

(2) O que o enunciado chama de “solução” na realidade é o conjunto-solução $S$ ; que é o conjunto cujos elementos solucionam a equação proposta, isto é, são soluções dela. Como $S$ tem mais de um elemento e a equação está na forma de um polinômio, já sabemos que ele não pode ser do primeiro grau, já que pelo Teorema Fundamental da Álgebra uma equação polinomial de grau $n$ tem exatamente $n$ soluções complexas (no conjunto dos números complexos) e no máximo $n$ soluções reais (em $\mathbb{R}$ ).

(3) Entendido isso, podemos trabalhar sobre a incógnita como sendo $X$ . Assim, colocando $X^2$ em evidência, teremos:

$X^2 \cdot (X^2 - K) = 0$

Para que um produto de dois números seja nulo, é necessário que pelo menos um deles seja zero. Assim, sabemos que $X^2 = 0$ , logo $X = 0$ , caracterizando duas raízes reais e iguais a zero; ou $X^2 - K = 0$ , daí:

$X^2 = K \Rightarrow X = +\sqrt{K} \quad \textrm{ou} \quad X = -\sqrt{K}$

Ou seja, temos um conjunto solução, que chamaremos de $S'$ representado por $S'= \{-\sqrt{K}; 0; +\sqrt{K}\}$ , que pressupõe necessariamente que $K \geq 0$ .

Como $S = S'$ devemos ter exatamente os mesmos elementos em ambos, ou seja $\sqrt{K} = 9$ . Portanto, para $K \geq 0$ , sabemos que $K = 81$ . Teremos, então a opção B.

Assim, pra fecharmos o assunto, é necessário fazer algumas considerações importantes:

Verificar sempre quem é a incógnita da equação;
Verificar quem é o conjunto universo no qual se está trabalhando. No osso caso consideramos o conjunto dos números reais $\mathbb{R}$ , mas poderíamos ter os naturais $\mathbb{N}$ , inteiros $\mathbb{Z}$ , complexos $\mathbb{C}$ , etc;
É importante entender o papel do conjunto-solução em uma equação; e
Cuidado com equações literais.