Matrizes Inversíveis

Você sabe quando uma matriz é inversível?

Uma matriz $A$ é inversível (ou invertível) quando admite inversa (ou seja, não falei nada!). Mas para admitir inversa o determinante de $A$ deve ser diferente de zero, isto é, $A$ só admite inversa se, e somente se, $\det A \ne 0$ .

Vejamos um exemplo.

Sejam $m$ e $n$ números reais com $m \ne n$ e as matrizes $A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{array} \right)$ e $B = \left( \begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$ . Para que a matriz $mA + nB$ seja não inversível é necessário que:
a) $m$ e $n$ sejam positivos
b) $m$ e $n$ sejam negativos
c) $m$ e $n$ tenham sinais contrários
d) $n^2 = 7m^2$
Enviada por Marcus Tavares

Vamos então calcular a matriz pedida antes de procurar seu determinante:

$mA + nB =\left( \begin{array}{rr} 2m & m \\ 3m & 5m \end{array} \right) + \left( \begin{array}{rr} - n & n \\ 0 & n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 2m - n & m + n \\ 3m & 5m + n \end{array} \right)$

Calculando agora $\det(mA + nB)$ encontramos:

$\det(mA + nB) = (2m - n)(5m + n) - (m+n) \cdot 3m$

Para que a matriz seja não inversível, devemos ter seu determinante nulo:

$(2m - n)(5m + n) - (m+n) \cdot 3m = 0$

Desenvolvendo:

$10m^2 + 2mn - 5mn - n^2 - (3m^2 + 3mn) = 0$

Logo:

$7m^2 - 6mn - n^2 = 0$

Veja que, se $n = 0$ teremos $7m^2 = 0$ , logo $m = n = 0$ , mas $m \ne n$ , logo, podemos dividir toda a expressão por $n^2$ :

$7 \cdot (\frac{m}{n})^2 - 6 \cdot \frac{m}{n} - 1 = 0$

Resolvendo:

$\frac{m}{n} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1)}}{2 \cdot 7}$

Finalmente:

$\frac{m}{n} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{14} \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{6 \pm 8}{14}$

Há portanto, dois valores: $\frac{m}{n} = 1$ , mas nesse caso, $m = n$ , o que não é permitido pelas condições do problema; ou $\frac{m}{n} = -\frac{1}{7} < 0$ e, nesse caso, $m$ e $n$ têm sinais opostos, nos levando, então à opção C.