EFOMM e Determinantes

Olá pessoal!

Hoje trago uma duvida sobre uma questão da EFOMM de 2010, enviada pela Laura Helena.

Já fazendo um marketing básico, temos duas provas resolvidas (clique AQUI pra ver) da EFOMM que queremos, em breve, ampliar para mais.

Vamos à dúvida:

(EFOMM) Sejam A, B e C matrizes de ordem 3 \times 3 inversíveis tais que:

\det (A^{-1}) = 3 e \det ((AB)^{-1} + \frac{I}{2}) = 4

Sabendo-se que I é a matriz identidade de ordem 3, tal que I = -3C^{-1}(2B^{-1} + A)^{T}, o determinante de C é igual a:

a) - \frac{8}{3}

b) - \frac{32}{3}

c) -9

d) -54

e) -288

Enviada por Laura Helena

Então vamos lá.

Como queremos o determinante de C e temos uma expressão que relaciona as matrizes A, B e C, vamos começar por aí:

I = -3C^{-1}(2B^{-1} + A)^{T}

Multiplicando ambos os lados pela esquerda por -\frac{1}{3}C teremos:

(-\frac{1}{3}) \cdot C \cdot I = (-\frac{1}{3}) \cdot C \cdot (-3C^{-1}) \cdot (2B^{-1} + A)^{T}

Resultando em:

(-\frac{1}{3}) \cdot C = I \cdot (2B^{-1} + A)^{T}

Continuando e aplicando a transposta de ambos os lados:

[(-\frac{1}{3}) \cdot C]^T = 2B^{-1} + A \Rightarrow 2B^{-1} = [(-\frac{1}{3}) \cdot C]^T - A

Finalmente:

B^{-1} = \frac{1}{2} \cdot [(-\frac{1}{3}) \cdot C]^T - \frac{1}{2} \cdot A \Rightarrow B^{-1} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot C^T - \frac{1}{2} \cdot A

Pronto. Sabendo que (AB)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}, podemos agora trabalhar sobre a expressão dada:

\det((AB)^{-1} + \frac{I}{2}) = 4 \Rightarrow \det (B^{-1} \cdot A^{-1} + \frac{I}{2}) = 4

Da inversa de B que achamos:

\det((\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot C^T - \frac{1}{2} \cdot A) \cdot A^{-1} + \frac{I}{2}) = 4 \Rightarrow \det(-\frac{1}{6} \cdot C^T \cdot A^{-1}  - \frac{1}{2} \cdot A \cdot A^{-1} + \frac{I}{2}) = 4

Como A \cdot A^{-1} = I, teremos:

\det(-\frac{1}{6} \cdot C^T \cdot A^{-1}) = 4

Aolicando o Teorema de Binet, clique AQUI para ver o que já falamos disso, e as propriedades envolvendo o determinante da transposta, o determinante de uma matriz multiplicada por um número real e o determinante da inversa, teremos:

(-\frac{1}{6})^3 \cdot \det (C^T) \cdot \det (A^{-1}) = 4

Logo:

-\frac{1}{216} \cdot \det C \cdot 3 = 4 \Rightarrow \det C = -288

Chegando, finalmente (Ufa!) à opção E.

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Matrizes Inversíveis

Você sabe quando uma matriz é inversível?

Uma matriz A é inversível (ou invertível) quando admite inversa (ou seja, não falei nada!). Mas para admitir inversa o determinante de A deve ser diferente de zero, isto é, A só admite inversa se, e somente se, \det A \ne 0.

Vejamos um exemplo.

Sejam m e n números reais com m \ne n e as matrizes A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{array} \right) e B = \left( \begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right). Para que a matriz mA + nB seja não inversível é necessário que:

a) m e n sejam positivos

b) m e n sejam negativos

c) m e n tenham sinais contrários

d) n^2 = 7m^2

Enviada por Marcus Tavares

Vamos então calcular a matriz pedida antes de procurar seu determinante:

mA + nB =\left( \begin{array}{rr} 2m & m \\ 3m & 5m \end{array} \right) + \left( \begin{array}{rr} - n &  n \\ 0 &  n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 2m - n & m + n \\ 3m & 5m + n \end{array} \right)

Calculando agora \det(mA + nB) encontramos:

\det(mA + nB) = (2m - n)(5m + n) - (m+n) \cdot 3m

Para que a matriz seja não inversível, devemos ter seu determinante nulo:

(2m - n)(5m + n) - (m+n) \cdot 3m = 0

Desenvolvendo:

10m^2 + 2mn - 5mn - n^2 - (3m^2 + 3mn) = 0

Logo:

7m^2 - 6mn - n^2 = 0

Veja que, se n = 0 teremos 7m^2 = 0, logo m = n = 0, mas m \ne n, logo, podemos dividir toda a expressão por n^2:

7 \cdot (\frac{m}{n})^2 - 6 \cdot  \frac{m}{n} - 1 = 0

Resolvendo:

\frac{m}{n} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1)}}{2 \cdot 7}

Finalmente:

\frac{m}{n} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{14} \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{6 \pm 8}{14}

Há portanto, dois valores: \frac{m}{n} = 1, mas nesse caso, m = n, o que não é permitido pelas condições do problema; ou \frac{m}{n} = -\frac{1}{7} < 0 e, nesse caso, m e n têm sinais opostos, nos levando, então à opção C.

Pra fechar, vou deixar um vídeo sobre a inversa de uma matriz:

Espero que ajude.

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[LSB]

Matrizes Inversas: Use a Definição!

Olá pessoal, hoje quero falar um pouco sobre a matriz inversa. Mas, antes de mostrar a utilização da definição pra resolver um exercício, vamos relembrar o que significa a inversão de uma matriz.

Vamos considerar que A, B e I_n são duas matrizes quadradas de ordem n e a matriz identidade de ordem n, respectivamente. Então:

A \cdot B = B \cdot A = I_n

A matriz B é chamada de matriz inversa de A e podemos escrever B = A^{-1}. Assim:

A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n

Com isso, podemos mostrar que a inversa de A é única, mas isso vai ficar pra depois. Vamos focar, por enquanto, no que interessa.

O que queremos verificar é o seguinte:

Se conhecemos as matrizes quadradas A e B, de ordem n, tais que A \cdot X = B, quem é a matriz X que satisfaz esta equação?

Bom, como conhecemos a matriz A, sabemos como obter sua inversa; logo, podemos fazer:

A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot B

Ou seja, multiplicamos toda a equação, pela esquerda, por A^{-1}. Como A^{-1} \cdot A = I_n, da definição de inversa, podemos escrever:

I \cdot X = A^{-1} \cdot B \Rightarrow X = A^{-1} \cdot B

Assim já temos a matriz X, uma vez que basta inverter a matriz A, se ela é conhecida. Tudo bem, mas e o exemplo de aplicação? Veja a imagem a seguir com uma questão do concurso da EsPCEx de 1999/2000.

Essa foi a 25ª questão da prova aplicada em 1999.

Veja que podemos chamar a matriz dos coeficientes de C, a matriz das incógnitas de X e a matriz resultante de R, tendo assim a equação a seguir:

C \cdot X = R

Mas, como já vimos:

C^{-1} \cdot C \cdot X = C^{-1} \cdot R \Rightarrow X = C^{-1} \cdot R

E, de acordo com o enunciado, isto se traduz em:

X = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \cdot  \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right]

Que podemos resolver facilmente, multiplicando a matriz inversa de C pela matriz coluna R :

X = \left[\begin{array}{c} 1+1+0 \\ 0-1+4 \\ -1+0+2 \end{array} \right] \Rightarrow  \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right]

Como as duas matriz são iguais, teremos x = 2, y = 3 e z = 1, opção E.

E aí, gostou dessa aplicação de matriz inversa?

Segue um vídeo falando um pouco mais sobre operações com matrizes com outro exemplo, porém na EEAr:

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