Quer treinar um pouco os conceitos básicos de Geometria Plana e algumas propriedades de matrizes e de suas operações?
Então dá uma boa olhada nesse vídeo!
Você pode pegar as questões usadas neste material clicando AQUI.
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A imagem com todas as questões resolvidas na live está logo abaixo.
A EsPCEx de 2021/2022 tá chegando e, com ela, se intensificam as listas de revisão de conteúdo. Deixo, então uma lista com 47 questões de matemática da EsPCEx pra você que irá fazer a prova em breve!
Olá leitores, sem mais demora trago pra vocês uma lista com cerca de exercícios da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante, também conhecida como EFOMM.
São exercícios gerais, envolvendo conjuntos, P.A., P.G., matrizes, determinantes, sistemas lineares, geometria (principalmente trigonometria no triângulo), e outros assuntos que podem vir de “coadjuvantes” em algumas questões, se é que você me entende…
Uma matriz é inversível (ou invertível) quando admite inversa (ou seja, não falei nada!). Mas para admitir inversa o determinante de deve ser diferente de zero, isto é, só admite inversa se, e somente se, .
Vejamos um exemplo.
Sejam e números reais com e as matrizes e . Para que a matriz seja não inversível é necessário que:
a) e sejam positivos
b) e sejam negativos
c) e tenham sinais contrários
d)
Enviada por Marcus Tavares
Vamos então calcular a matriz pedida antes de procurar seu determinante:
Calculando agora encontramos:
Para que a matriz seja não inversível, devemos ter seu determinante nulo:
Desenvolvendo:
Logo:
Veja que, se teremos , logo , mas , logo, podemos dividir toda a expressão por :
Resolvendo:
Finalmente:
Há portanto, dois valores: , mas nesse caso, , o que não é permitido pelas condições do problema; ou e, nesse caso, e têm sinais opostos, nos levando, então à opção C.
Pra fechar, vou deixar um vídeo sobre a inversa de uma matriz:
Olá pessoal, hoje quero falar um pouco sobre a matriz inversa. Mas, antes de mostrar a utilização da definição pra resolver um exercício, vamos relembrar o que significa a inversão de uma matriz.
Vamos considerar que , e são duas matrizes quadradas de ordem e a matriz identidade de ordem , respectivamente. Então:
A matriz é chamada de matriz inversa de e podemos escrever . Assim:
Com isso, podemos mostrar que a inversa de é única, mas isso vai ficar pra depois. Vamos focar, por enquanto, no que interessa.
O que queremos verificar é o seguinte:
Se conhecemos as matrizes quadradas e , de ordem , tais que , quem é a matriz que satisfaz esta equação?
Bom, como conhecemos a matriz , sabemos como obter sua inversa; logo, podemos fazer:
Ou seja, multiplicamos toda a equação, pela esquerda, por . Como , da definição de inversa, podemos escrever:
Assim já temos a matriz , uma vez que basta inverter a matriz , se ela é conhecida. Tudo bem, mas e o exemplo de aplicação? Veja a imagem a seguir com uma questão do concurso da EsPCEx de 1999/2000.
Essa foi a 25ª questão da prova aplicada em 1999.
Veja que podemos chamar a matriz dos coeficientes de , a matriz das incógnitas de e a matriz resultante de , tendo assim a equação a seguir:
Mas, como já vimos:
E, de acordo com o enunciado, isto se traduz em:
Que podemos resolver facilmente, multiplicando a matriz inversa de pela matriz coluna :
Como as duas matriz são iguais, teremos , e , opção E.
E aí, gostou dessa aplicação de matriz inversa?
Segue um vídeo falando um pouco mais sobre operações com matrizes com outro exemplo, porém na EEAr:
Olá pessoal, já ouviram falar do Teorema de Jacobi? Sabe pra que serve? Se sim, ou se não, vamos dar uma olhada nele.
Carl Gustav Jakob Jacobi
Em primeiro lugar, o Teorema de Jacobi diz respeito ao determinante de matrizes quadradas. Vejamos o que ele diz:
Se é uma matriz quadrada de ordem , ao substituir cada elemento da linha () da matriz pelos próprios elementos da linha por elementos da linha ( e ) da matriz multiplicados por uma constante real o determinante da nova matriz é idêntico ao determinante de . Ou seja, vamos admitir, sem perda de generalidade, que , teremos:
Veja que a linha que foi usada como “base” continuou igual, e substituímos a linha pelos resultados obtidos com a operação. Vejamos um exemplo simples de uma matriz de ordem :
Exemplo: Calcular o determinante da matriz .
Este é apenas um exemplo simples, mas veja que os números farão com que o processo seja trabalhoso, já que teremos:
Aplicando o Teorema de Jacobi, poderemos calcular como segue:
O que nos dará:
Veja que, apesar de ainda “grandes” a ordem de grandeza dos produtos é muito menor. Vejamos mais um exemplo. Agora com uma matriz muito maior.
Exemplo: Calcule o determinante a seguir: .
Vamos aplicar então o Teorema de Jacobi, para tentar simplificar o cálculo deste determinante. Façamos a nova segunda linha como e a nova terceira linha como , assim teremos:
Isto já é suficiente para perceber que o determinante é nulo, pois a terceira linha é proporcional à segunda linha. Mas podemos reaplicar o Teorema de Jacobi. A nova terceira linha , veja:
Que é nulo, pois há uma fileira nula. Para conferir, basta aplicar o Teorema de Laplace.
Para saber um pouco mais sobre quem foi Jacobi, clique aqui.