Live: Geometria e Matrizes

Quer treinar um pouco os conceitos básicos de Geometria Plana e algumas propriedades de matrizes e de suas operações?

Então dá uma boa olhada nesse vídeo!

Você pode pegar as questões usadas neste material clicando AQUI.

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A imagem com todas as questões resolvidas na live está logo abaixo.

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EsPCEx: 47 Questões de Matemática na Reta Final!

Olá leitor!

A EsPCEx de 2021/2022 tá chegando e, com ela, se intensificam as listas de revisão de conteúdo. Deixo, então uma lista com 47 questões de matemática da EsPCEx pra você que irá fazer a prova em breve!

Lista_Gerais_13 Baixar

Bons estudos e boa semana!

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Alguns Bons Exercícios para a EEAr!

Olá leitores!

Segue uma pequena lista com sete exercícios de matemática de assuntos diversos, criados por mim, para simular questões da EEAr.

Lista_Gerais_5 Baixar

São poucos exercícios, mas são interessantes. Pode confiar.

Bons estudos!

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Jacobi, Laplace, Sarrus e, talvez… Chió?

Olá leitores!

Hoje trazemos uma dúvida de dois leitores. Vamos lá:

Calcule $\det(A)$ sabendo que $A = \left(\begin{array}{ccccc} 4 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 4 \\ \end{array}\right)$ .
a) $64$
b) $128$
c) $16$
d) $32$
e) $8$
Milena Figueiredo e Artur Ardasse

Vamos à solução:

Primeiro vamos usar o Teorema de Jacobi, multiplicando a primeira linha por $(-1)$ e somando a cada uma das demais:

$\det A = \left \vert \begin{array}{rrrrr} 4 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\-1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert$

A partir daí, podemos usar o Teorema de Laplace na quinta linha. Vamos lá:

$\det A = (-1) \cdot (-1)^{5+1} \cdot \left \vert \begin{array}{rrrr} 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert + 1 \cdot (-1)^{5+5} \cdot \left \vert \begin{array}{rrrr} 4 & 3 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert$

Fazendo as devidas simplificações envolvendo os números que multiplicam estes determinantes:

$\det A = - \left \vert \begin{array}{rrrr} 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert + \left \vert \begin{array}{rrrr} 4 & 3 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert$

Continuando, podemos reaplicar o Teorema de Laplace na segunda linha no primeiro determinante e na quarta linha do segundo:

$\det A = - \left[ 1 \cdot (-1)^{2+1} \cdot \left \vert \begin{array}{rrr} 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert \right] + (-1) \cdot (-1)^{4+1} \cdot \left \vert \begin{array}{rrrr} 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert + 1 \cdot (-1)^{4+4} \cdot \left \vert \begin{array}{rrrr} 4 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert$

Simplificando um pouco:

$\det A = \left \vert \begin{array}{rrr} 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert + \left \vert \begin{array}{rrrr} 3 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right \vert + \left \vert \begin{array}{rrrr} 4 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert$

Veja que os dois primeiros acima são iguais. Agora podemos usar a Regra de Sarrus em todos eles:

$\det A = 3 + 3 + (4 + 3 + 3) = 16$

Pelo visto, opção C.

Bom, mas e a regra de Chió…? Talvez valha a pena tentar usá-la, entretanto… acho que vai ser bem mais trabalhoso.

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EFOMM: Uma Pequena Lista!

Olá leitores, sem mais demora trago pra vocês uma lista com cerca de $20$ exercícios da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante, também conhecida como EFOMM.

São exercícios gerais, envolvendo conjuntos, P.A., P.G., matrizes, determinantes, sistemas lineares, geometria (principalmente trigonometria no triângulo), e outros assuntos que podem vir de “coadjuvantes” em algumas questões, se é que você me entende…

Clica no link abaixo pra pegar a lista:

Lista_Gerais_3 Baixar

Bons estudos e espero que você seja feliz!

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Matrizes Inversíveis

Você sabe quando uma matriz é inversível?

Uma matriz $A$ é inversível (ou invertível) quando admite inversa (ou seja, não falei nada!). Mas para admitir inversa o determinante de $A$ deve ser diferente de zero, isto é, $A$ só admite inversa se, e somente se, $\det A \ne 0$ .

Vejamos um exemplo.

Sejam $m$ e $n$ números reais com $m \ne n$ e as matrizes $A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{array} \right)$ e $B = \left( \begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$ . Para que a matriz $mA + nB$ seja não inversível é necessário que:
a) $m$ e $n$ sejam positivos
b) $m$ e $n$ sejam negativos
c) $m$ e $n$ tenham sinais contrários
d) $n^2 = 7m^2$
Enviada por Marcus Tavares

Vamos então calcular a matriz pedida antes de procurar seu determinante:

$mA + nB =\left( \begin{array}{rr} 2m & m \\ 3m & 5m \end{array} \right) + \left( \begin{array}{rr} - n & n \\ 0 & n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 2m - n & m + n \\ 3m & 5m + n \end{array} \right)$

Calculando agora $\det(mA + nB)$ encontramos:

$\det(mA + nB) = (2m - n)(5m + n) - (m+n) \cdot 3m$

Para que a matriz seja não inversível, devemos ter seu determinante nulo:

$(2m - n)(5m + n) - (m+n) \cdot 3m = 0$

Desenvolvendo:

$10m^2 + 2mn - 5mn - n^2 - (3m^2 + 3mn) = 0$

Logo:

$7m^2 - 6mn - n^2 = 0$

Veja que, se $n = 0$ teremos $7m^2 = 0$ , logo $m = n = 0$ , mas $m \ne n$ , logo, podemos dividir toda a expressão por $n^2$ :

$7 \cdot (\frac{m}{n})^2 - 6 \cdot \frac{m}{n} - 1 = 0$

Resolvendo:

$\frac{m}{n} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1)}}{2 \cdot 7}$

Finalmente:

$\frac{m}{n} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{14} \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{6 \pm 8}{14}$

Há portanto, dois valores: $\frac{m}{n} = 1$ , mas nesse caso, $m = n$ , o que não é permitido pelas condições do problema; ou $\frac{m}{n} = -\frac{1}{7} < 0$ e, nesse caso, $m$ e $n$ têm sinais opostos, nos levando, então à opção C.

Pra fechar, vou deixar um vídeo sobre a inversa de uma matriz:

Espero que ajude.

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Teorema de Binet

Você conhece o Teorema de Binet? É o que vamos falar hoje.

O Teorema de Binet diz respeito ao produto de matrizes e sua relação com o produto de matrizes. O teorema diz o seguinte:

Se $A$ e $B$ são matrizes quadradas de ordem $n$ , então $\det (A \cdot B) = \det A \cdot \det B$ .

Assim, vamos resolver uma dúvida enviada para mim:

$Q$ é uma matriz $4 \times 4$ tal que $\det(Q) < 0$ e $Q^4 + 2Q^2 = 0$ , então temos:
a) $\det Q = -2$
b) $\det Q = -4$
c) $\det Q = -8$
d) $\det Q = -16$
Enviada por Laura Helena

Considerando que $0$ representa a matriz nula quadrada de ordem $4$ , podemos escrever:

$Q^4 = -2Q^2$

Como duas matrizes iguais têm determinantes iguais (a recíproca não é verdadeira!), faremos:

$\det(Q^4) = \det(-2Q^2)$

Aqui precisamos abrir parênteses; sabemos de outra propriedade importante dos determinantes. Se $k \in \mathbb{R}$ e $A$ é matriz quadrada de ordem $n$ , temos:

$\det(kA) = k^n \cdot \det A$

Daí, podemos voltar e aplicar o Teorema de Binet na dúvida da Laura:

$(\det Q)^4 = (-2)^4 \cdot (\det Q)^2$

Como, do enunciado, $\det Q < 0$ , podemos dividir a expressão toda por $\det Q$ :

$(\det Q)^2 = 16 \Rightarrow \det Q = \pm \sqrt{16} \Rightarrow \det Q = \pm 4$

Usando de novo a restrição do enunciado, encontramos $\det Q = -4$ .

Opção B.

Pra fechar, vou deixar dois vídeos sobre isso. O primeiro que gravei em 2016, falando disso e um mais recente de 2020.

Gravado em 2016, durante uma parceria com um curso preparatório da Ilha do Governador — RJ.

Gravado recentemente, em 2020. Resolvendo um exercício!

Para saber um pouco mais sobre quem foi Binet, clique aqui.

Tomara que isto ajude a sanar a dúvida.

Grande abraço.

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Matrizes Inversas: Use a Definição!

Olá pessoal, hoje quero falar um pouco sobre a matriz inversa. Mas, antes de mostrar a utilização da definição pra resolver um exercício, vamos relembrar o que significa a inversão de uma matriz.

Vamos considerar que $A$ , $B$ e $I_n$ são duas matrizes quadradas de ordem $n$ e a matriz identidade de ordem $n$ , respectivamente. Então:

$A \cdot B = B \cdot A = I_n$

A matriz $B$ é chamada de matriz inversa de $A$ e podemos escrever $B = A^{-1}$ . Assim:

$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n$

Com isso, podemos mostrar que a inversa de $A$ é única, mas isso vai ficar pra depois. Vamos focar, por enquanto, no que interessa.

O que queremos verificar é o seguinte:

Se conhecemos as matrizes quadradas $A$ e $B$ , de ordem $n$ , tais que $A \cdot X = B$ , quem é a matriz $X$ que satisfaz esta equação?

Bom, como conhecemos a matriz $A$ , sabemos como obter sua inversa; logo, podemos fazer:

$A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot B$

Ou seja, multiplicamos toda a equação, pela esquerda, por $A^{-1}$ . Como $A^{-1} \cdot A = I_n$ , da definição de inversa, podemos escrever:

$I \cdot X = A^{-1} \cdot B \Rightarrow X = A^{-1} \cdot B$

Assim já temos a matriz $X$ , uma vez que basta inverter a matriz $A$ , se ela é conhecida. Tudo bem, mas e o exemplo de aplicação? Veja a imagem a seguir com uma questão do concurso da EsPCEx de 1999/2000.

Essa foi a 25ª questão da prova aplicada em 1999.

Veja que podemos chamar a matriz dos coeficientes de $C$ , a matriz das incógnitas de $X$ e a matriz resultante de $R$ , tendo assim a equação a seguir:

$C \cdot X = R$

Mas, como já vimos:

$C^{-1} \cdot C \cdot X = C^{-1} \cdot R \Rightarrow X = C^{-1} \cdot R$

E, de acordo com o enunciado, isto se traduz em:

$X = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \cdot \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right]$

Que podemos resolver facilmente, multiplicando a matriz inversa de $C$ pela matriz coluna $R$ :

$X = \left[\begin{array}{c} 1+1+0 \\ 0-1+4 \\ -1+0+2 \end{array} \right] \Rightarrow \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right]$

Como as duas matriz são iguais, teremos $x = 2$ , $y = 3$ e $z = 1$ , opção E.

E aí, gostou dessa aplicação de matriz inversa?

Segue um vídeo falando um pouco mais sobre operações com matrizes com outro exemplo, porém na EEAr:

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Teorema de Jacobi

Olá pessoal, já ouviram falar do Teorema de Jacobi? Sabe pra que serve? Se sim, ou se não, vamos dar uma olhada nele.

Em primeiro lugar, o Teorema de Jacobi diz respeito ao determinante de matrizes quadradas. Vejamos o que ele diz:

Se $A_{n \times n}$ é uma matriz quadrada de ordem $n$ , ao substituir cada elemento $a_{pj}$ da linha $p$ ( $p \in \{1,2,\ldots,n\}$ ) da matriz $A$ pelos próprios elementos da linha $p$ por elementos $a_{qj}$ da linha $q$ ( $q \in \{1,2,\ldots,n\}$ e $p \ne q$ ) da matriz multiplicados por uma constante real $k$ o determinante da nova matriz $B$ é idêntico ao determinante de $A$ . Ou seja, vamos admitir, sem perda de generalidade, que $p > q$ , teremos:
$\left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{q1} & a_{q2} & a_{q3} & \ldots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{p1} & a_{p2} & a_{p3} & \ldots & a_{pn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{q1} & a_{q2} & a_{q3} & \ldots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{p1} + ka_{q1} & a_{p2} + ka_{q2}& a_{p3} + ka_{q3} & \ldots & a_{pn} + ka_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right\vert$

Veja que a linha $q$ que foi usada como “base” continuou igual, e substituímos a linha $p$ pelos resultados obtidos com a operação. Vejamos um exemplo simples de uma matriz $M$ de ordem $2$ :

Exemplo: Calcular o determinante da matriz $M = \left[ \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right]$ .

Este é apenas um exemplo simples, mas veja que os números farão com que o processo seja trabalhoso, já que teremos:

$\det M = 103 \cdot 150 - 120 \cdot 201 = 15450 - 24120 = -8670$

Aplicando o Teorema de Jacobi, poderemos calcular como segue:

$\det M = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 + (-2) \cdot 103 & 150 + (-2) \cdot 120 \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ -5 & -90 \\ \end{array} \right\vert$

O que nos dará:

$\det M = 103 \cdot (-90) - (-5) \cdot 120 = -9270 + 600 = -8670$

Veja que, apesar de ainda “grandes” a ordem de grandeza dos produtos é muito menor. Vejamos mais um exemplo. Agora com uma matriz muito maior.

Exemplo: Calcule o determinante a seguir: $\left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert$ .

Vamos aplicar então o Teorema de Jacobi, para tentar simplificar o cálculo deste determinante. Façamos a nova segunda linha $(L_2')$ como $L_2' = L_2 + (-6) \cdot L_1$ e a nova terceira linha $(L_3')$ como $L_3' = L_3 + (-11) \cdot L_1$ , assim teremos:

$\left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 - 6 & 7 - 12 & 8 - 18 & 9 - 24 & 10 - 30 \\ 11 - 11 & 12-22 & 13-33 & 14-44 & 15-55 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 & -10 & -20 & -30 & -40 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert =$

Isto já é suficiente para perceber que o determinante é nulo, pois a terceira linha é proporcional à segunda linha. Mas podemos reaplicar o Teorema de Jacobi. A nova terceira linha $L_3'' = (-2) \cdot L_2'+ L_3'$ , veja:

$= \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 +0 & -10+10 & -20+20 & -30+30 & -40+40 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert$