Quadrado Mágico: Sistemas e Progressões Aritméticas

Olá, leitores!

Provavelmente você já viu o problema a seguir. A ideia é distribuir os números naturais de 1 a 9 no quadrado 3 \times 3 a seguir, substituindo as letras de a a i, de modo que a soma em cada linha, coluna ou diagonal seja sempre a mesma.

\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}

Antes de começar a tentar resolver, há algumas coisas a se perceber. Vamos lá!

Em primeiro lugar, não é qualquer conjunto de números que pode ser substituído nas letras. Se a soma de todos os números é S e a soma das três linhas é a mesma, valendo k, teremos:

a + b + c = d + e + f = g + h + i = k

Portanto:

(a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + i) = S \Rightarrow 3k = S \Rightarrow k = \frac{S}{3}

O que mostra que, se os números são naturais, S deve ser múltiplo do número de linhas e, em particular, no nosso caso, múltiplo de 3, já que são 3 linhas. Como temos os números de 1 a 9, sabemos que:

1 + 2 + \ldots + 8 + 9 = 45

Que nada mais é que a soma dos 9 termos de uma P.A. de razão 1. Podemos concluir que a soma de cada linha é, portanto, em nosso caso, 15.

Essa é a primeira conexão que faremos com as progressões aritméticas. A segunda vem de uma propriedade. Em qualquer P.A. a soma de termos equidistantes dos extremos é constante. Por exemplo, se dispormos os números de 1 a 9 como segue:

(1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Vemos claramente que:

1 + 9 = 2 + 8 = 3 +7 = 4 + 6 = 2 \cdot 5

Preste atenção na última igualdade acima. O termo central, que vale 5, fica duplicado para manter a soma dos termos equidistantes igual a 10. Agora, vamos voltar ao nosso quadrado mágico. O que queremos é dispor os números digamos que “em torno” da letra e, pois veja que, se temos:

a + e + i = d + e + f = g + e + c = b + e + h

Teremos:

a +  i = d + f = g + c = b + h

E, além disso, a + b + c = g + h + i, limitando um pouco mais as possibilidades de escolha.

Dos nove números, há oito listados na sequência de três igualdades anterior. E, agora, nosso trabalho fica reduzido a escrever uma P.A. em que os pares (a,i), (d,f), (g,c) e (b,h) sejam extremos equidistantes da mesma P.A. Como só sobrou a letra e, ela deve ser o termo central da P.A., que já sabemos ser 5. Mas vamos alocar os números para verificar, o que ocorre da seguinte maneira:

(b,i,d,g,e,c,f,a,h) = (1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Confira no “quadrado mágico”:

\begin{array}{ccc} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \end{array}

Mas será que essa é a única maneira de dispor os números? Não! Deixo pra você pensar o por quê, mas deixo uma dica: tente “girar” o quadrado mágico!

Agora, o que o quadrado mágico tem a ver com sistemas lineares? Bom, sabemos que o problema pode ser traduzido em um conjunto de equações envolvendo as letras de a a i e que a soma das linhas vale k = \frac{45}{3}, portanto, podemos montar o seguinte sistema:

\left\{ \begin{array}{r} a + b + c = 15 \\  d + e + f = 15 \\  g + h + i = 15 \\  a + d + g = 15 \\  b + e + h = 15 \\ c + f + i = 15 \\  a + e + i = 15 \\  g + e + c = 15 \\ \end{array} \right.

Como há nove incógnitas e somente oito equações, este sistema terá mais de uma solução (pense se serão infinitas… :)). Perceba que a equação a + b + \ldots + h + i = 45 é uma combinação linear das demais e não uma nova equação.

Agora, “mãos à obra”, como diríamos; queremos calcular e, vamos então isolar as demais em função dela. Da primeira, vamos isolar c, encontrando c = 15 - (a+b) e substituir este resultado nas demais:

\left\{ \begin{array}{r}  d + e + f = 15 \\  g + h + i = 15 \\  a + d + g = 15 \\  b + e + h = 15 \\ 15 - (a+b) + f + i = 15 \\  a + e + i = 15 \\  g + e + 15 - (a+b) = 15 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}  d + e + f = 15 \\  g + h + i = 15 \\  a + d + g = 15 \\  b + e + h = 15 \\  f + i = a + b \\  a + e + i = 15 \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right.

Observe a quinta e a sétima equação, elas são meras observações do quadrado mágico. Confira lá. Continuando, vamos isolar d na primeira, obtendo d = 15 - (e + f):

\left\{ \begin{array}{r}   g + h + i = 15 \\  a + 15 - (e + f) + g = 15 \\  b + e + h = 15 \\  f + i = a + b \\  a + e + i = 15 \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow  \left\{ \begin{array}{r}   g + h + i = 15 \\  a + g = e + f \\  b + e + h = 15 \\  f + i = a + b \\  a + e + i = 15 \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right.

Agora, faremos o mesmo para i, escrevendo i = 15 - (g+h):

\left\{ \begin{array}{r}    a + g = e + f \\  b + e + h = 15 \\  f + 15 - (g+h) = a + b \\  a + e + 15 - (g+h) = 15 \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}  a + g = e + f \\  b + e + h = 15 \\  a + b + g + h - f = 15 \\  a + e  = g+h \\  g + e = a+b \\ \end{array} \right.

Vamos agora, isolar a na primeira, obtendo a = e + f - g, (haja paciência…!):

\left\{ \begin{array}{r}  b + e + h = 15 \\  e + f - g + b + g + h - f = 15 \\  e + f - g + e  = g+h \\  g + e = e + f - g +b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r}  b + e + h = 15 \\  e  + b  + h = 15 \\  2e  = 2g + h - f \\  2g =  f +b \\ \end{array} \right.

As duas primeiras são iguais, podemos eliminar uma delas:

\left\{ \begin{array}{r}  e  + b  + h = 15 \\  2e  = 2g + h - f \\  2g =  f +b \\ \end{array} \right.

Substituindo a terceira na segunda:

\left\{ \begin{array}{r}  e  + b  + h = 15 \\  2e  = f + b + h - f \\ \end{array} \right. \Rightarrow  \left\{ \begin{array}{r}  e  + b  + h = 15 \\  2e  =  b + h \\ \end{array} \right.

Comparando as duas teremos 3e = 15, portanto, e = 5. Veja que só poderemos, com isso, achar o valor de b+h =10, mas não os valores de b e h individualmente. Isto confirma nossa hipótese inicial de que há mais de uma maneira de “arrumar” os números.

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Um Sistema Simples

Olá leitores, recebi uma dúvida há pouco, que envolve sistemas lineares. Vamos dar uma olhada.

Calcule a soma x + y + z no sistema abaixo:

\left\{\begin{array}{lll} 66x + 33y + 2z = 1 \\ 2x + 66y + 33z = 2 \\ 33x + 2y + 66 z = 98 \\ \end{array}\right.

Paolla Souza

Bom, em primeiro lugar é necessário saber que, se um sistema é composto de equações lineares, então a equação obtida pela soma das equações do sistema pode substituir qualquer equação do sistema, mantendo o conjunto solução intacto — que é uma aplicação direta do Teorema de Jacobi em uma matriz.

Daí, como só queremos x + y + z e não os valores individuais, só precisamos somar as três equações e teremos:

66x + 2x + 33x + 33y + 66y + 2y + 2z + 33z + 66z = 1 + 2 + 98

Portanto:

101 x + 101 y + 101 z = 101 \Rightarrow x + y + z = 1

Viu, basta uma boa ideia para resolver rápido. Mas claro, embora não tenhamos feito isso, você pode resolver o sistema, encontrando os valores das incógnitas e depois calcular a soma resultante de seus valores. Vá em frente!

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Produto de Matrizes e Matriz Inversa

Hoje, trazemos um problema que envolve o produto de matrizes e a obtenção da matriz inversa de uma matriz quadrada.

Vejamos o problema proposto:

Considere as matrizes M = \left( \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{array} \right), N = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right), P = \left( \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) e X = \left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right). Se X é solução de M^{-1}NX = P, então x^2 + y^2 + z^2 é igual a:

a) 35

b) 17

c) 38

d) 14

e) 29

Enviada por Marcus Tavares

Primeiro, vamos usar a definição de matriz inversa sobre a expressão dada, multiplicando-a pela esquerda por M:

M^{-1}NX = P \Rightarrow M \cdot M^{-1}NX = MP \Rightarrow INX = MP \Rightarrow NX = MP

Em que I representa a identidade de ordem 3. Repetindo o processo, multiplicando a mesma expressão por N^{-1} pela esquerda, teremos:

N^{-1}NX =N^{-1}MP \Rightarrow IX = N^{-1}MP \Rightarrow X = N^{-1}MP

Precisaremos inverter a matriz N (infelizmente, pois vai dar trabalho… :(, mas VQV). Para inverter N faremos:

N \cdot N^{-1} = I_3 \Rightarrow \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)

Isto vai gerar alguns sistemas de equações, vamos ao primeiro:

\left\{ \begin{array}{r} a + 2g = 1 \\ 3a + 2d = 0 \\  a + d + g = 0 \end{array}\right.

Da primeira equação teremos a = 1 -2g; substituindo na segunda: 3 \cdot (1-2g) + 2d = 0, portanto, d = \frac{6g - 3}{2}. Indo para a terceira:

1 - 2g +  \frac{6g - 3}{2} + g = 0 \Rightarrow 2 - 4g + 6g - 3 + 2g = 0 \Rightarrow g = \frac{1}{4}

Agora calculamos d:

d = \frac{6 \cdot \frac{1}{4} - 3}{2} \Rightarrow d = -\frac{3}{4}

E para o valor de a, sabemos a = \frac{1}{2}. Vamos agora para o segundo sistema:

\left\{ \begin{array}{r} b + 2h = 0 \\ 3b + 2e = 1 \\  b + e + h = 0 \end{array}\right.

Veja que a matriz dos coeficientes é a mesma, mudando apenas as incógnitas. Houve também uma pequena mudança na matriz dos termos independentes. Continuando; da primeira equação, encontramos b = -2h e, substituindo na terceira:

-2h + e + h = 0 \Rightarrow e = h

Colocando estes resultados na segunda:

3 \cdot(-2h) + 2h = 1 \Rightarrow h = -\frac{1}{4}

Portanto temos b = \frac{1}{2} e e = -\frac{1}{4}. Finalmente, vamos ao terceiro sistema de equações:

\left\{ \begin{array}{r} c + 2i = 0 \\ 3c + 2f = 0 \\  c + f + i = 1 \end{array}\right.

Da primeira equação obtemos c = -2i, usando na segunda, teremos:

3 \cdot (-2i) + 2f = 0 \Rightarrow f = 3i

Indo pra última equação:

-2i + 3i + i = 1 \Rightarrow i = \frac{1}{2}

Portanto, f = \frac{3}{2} e c = -1. Então, finalmente temos a inversa de N:

N^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1 \vspace{1 mm} \\ -\frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{2} \vspace{1 mm} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right]

Queremos calcular X = N^{-1}MP que pode ser feito como X = N^{-1}(MP), logo temos MP = \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}\right], e agora teremos a inversa de N multiplicada pelo resultado anterior, que nos dará X = \left[ \begin{array}{r} -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} -3 \vspace{1 mm} \\  \frac{3}{4} -\frac{1}{4} + \frac{9}{2} \vspace{1 mm} \\ -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2}  \\ \end{array}\right].

Finalmente, podemos escrever: X = \left[ \begin{array}{r} -3 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right]. Portanto x = -3, y = 5 e z = 1, daí x^2 + y^2 + z^2 = 9 + 25 + 1 = 35. Opção A.

Problema trabalhoso, mas bacana, gostei!

Fique com um vídeo sobre equações matriciais.

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Vídeo: Sistemas de Equações – Definição e Classificação

Olá amigos,

mais um vídeo de matemática disponível. Desta vez, falamos sobre sistemas de equações. O que são e como são classificados. O que é um sistema possível? O que é um sistema impossível? Estas são as perguntas respondidas por este vídeo.

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Exercícios: Sistemas do Primeiro Grau V e VI

Olá leitores,

estamos de volta com mais duas “grandes listas” de exercícios, de assuntos que aparecem com grande recorrência em provas: sistemas de equações. Deixamos então mais duas listas de exercícios: sistemas de equações do primeiro grau 5 e 6. Não deixem de conferir indo em exercícios >> matemática e “caindo dentro”.

Abraço, boa semana, bons estudos.

@LSBar – CEO

Exercícios: Problemas do Primeiro Grau II e III

Olá alunos,

seguem mais duas listas de exercícios: Problemas do Primeiro Grau (lista 2 e lista 3). Os problemas em geral são simples, mas tentem fazer sem utilizar sistemas de equações. Para baixar o arquivo vá em Exercícios >> Matemática e procure pelas duas listas.

Bons estudos e boa semana.

@LSBar – Fundador