EsPCEx: 47 Questões de Matemática na Reta Final!

Olá leitor!

A EsPCEx de 2021/2022 tá chegando e, com ela, se intensificam as listas de revisão de conteúdo. Deixo, então uma lista com 47 questões de matemática da EsPCEx pra você que irá fazer a prova em breve!

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EFOMM: Uma Pequena Lista!

Olá leitores, sem mais demora trago pra vocês uma lista com cerca de $20$ exercícios da Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante, também conhecida como EFOMM.

São exercícios gerais, envolvendo conjuntos, P.A., P.G., matrizes, determinantes, sistemas lineares, geometria (principalmente trigonometria no triângulo), e outros assuntos que podem vir de “coadjuvantes” em algumas questões, se é que você me entende…

Clica no link abaixo pra pegar a lista:

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Quadrado Mágico: Sistemas e Progressões Aritméticas

Olá, leitores!

Provavelmente você já viu o problema a seguir. A ideia é distribuir os números naturais de $1$ a $9$ no quadrado $3 \times 3$ a seguir, substituindo as letras de $a$ a $i$ , de modo que a soma em cada linha, coluna ou diagonal seja sempre a mesma.

$\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}$

Antes de começar a tentar resolver, há algumas coisas a se perceber. Vamos lá!

Em primeiro lugar, não é qualquer conjunto de números que pode ser substituído nas letras. Se a soma de todos os números é $S$ e a soma das três linhas é a mesma, valendo $k$ , teremos:

$a + b + c = d + e + f = g + h + i = k$

Portanto:

$(a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + i) = S \Rightarrow 3k = S \Rightarrow k = \frac{S}{3}$

O que mostra que, se os números são naturais, $S$ deve ser múltiplo do número de linhas e, em particular, no nosso caso, múltiplo de $3$ , já que são $3$ linhas. Como temos os números de $1$ a $9$ , sabemos que:

$1 + 2 + \ldots + 8 + 9 = 45$

Que nada mais é que a soma dos $9$ termos de uma P.A. de razão $1$ . Podemos concluir que a soma de cada linha é, portanto, em nosso caso, $15$ .

Essa é a primeira conexão que faremos com as progressões aritméticas. A segunda vem de uma propriedade. Em qualquer P.A. a soma de termos equidistantes dos extremos é constante. Por exemplo, se dispormos os números de $1$ a $9$ como segue:

$(1,2,3,4,5,6,7,8,9)$

Vemos claramente que:

$1 + 9 = 2 + 8 = 3 +7 = 4 + 6 = 2 \cdot 5$

Preste atenção na última igualdade acima. O termo central, que vale $5$ , fica duplicado para manter a soma dos termos equidistantes igual a $10$ . Agora, vamos voltar ao nosso quadrado mágico. O que queremos é dispor os números digamos que “em torno” da letra $e$ , pois veja que, se temos:

$a + e + i = d + e + f = g + e + c = b + e + h$

Teremos:

$a + i = d + f = g + c = b + h$

E, além disso, $a + b + c = g + h + i$ , limitando um pouco mais as possibilidades de escolha.

Dos nove números, há oito listados na sequência de três igualdades anterior. E, agora, nosso trabalho fica reduzido a escrever uma P.A. em que os pares $(a,i)$ , $(d,f)$ , $(g,c)$ e $(b,h)$ sejam extremos equidistantes da mesma P.A. Como só sobrou a letra $e$ , ela deve ser o termo central da P.A., que já sabemos ser $5$ . Mas vamos alocar os números para verificar, o que ocorre da seguinte maneira:

$(b,i,d,g,e,c,f,a,h) = (1,2,3,4,5,6,7,8,9)$

Confira no “quadrado mágico”:

$\begin{array}{ccc} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \end{array}$

Mas será que essa é a única maneira de dispor os números? Não! Deixo pra você pensar o por quê, mas deixo uma dica: tente “girar” o quadrado mágico!

Agora, o que o quadrado mágico tem a ver com sistemas lineares? Bom, sabemos que o problema pode ser traduzido em um conjunto de equações envolvendo as letras de $a$ a $i$ e que a soma das linhas vale $k = \frac{45}{3}$ , portanto, podemos montar o seguinte sistema:

$\left\{ \begin{array}{r} a + b + c = 15 \\ d + e + f = 15 \\ g + h + i = 15 \\ a + d + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ c + f + i = 15 \\ a + e + i = 15 \\ g + e + c = 15 \\ \end{array} \right.$

Como há nove incógnitas e somente oito equações, este sistema terá mais de uma solução (pense se serão infinitas… :)). Perceba que a equação $a + b + \ldots + h + i = 45$ é uma combinação linear das demais e não uma nova equação.

Agora, “mãos à obra”, como diríamos; queremos calcular $e$ , vamos então isolar as demais em função dela. Da primeira, vamos isolar $c$ , encontrando $c = 15 - (a+b)$ e substituir este resultado nas demais:

$\left\{ \begin{array}{r} d + e + f = 15 \\ g + h + i = 15 \\ a + d + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ 15 - (a+b) + f + i = 15 \\ a + e + i = 15 \\ g + e + 15 - (a+b) = 15 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} d + e + f = 15 \\ g + h + i = 15 \\ a + d + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ f + i = a + b \\ a + e + i = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right.$

Observe a quinta e a sétima equação, elas são meras observações do quadrado mágico. Confira lá. Continuando, vamos isolar $d$ na primeira, obtendo $d = 15 - (e + f)$ :

$\left\{ \begin{array}{r} g + h + i = 15 \\ a + 15 - (e + f) + g = 15 \\ b + e + h = 15 \\ f + i = a + b \\ a + e + i = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} g + h + i = 15 \\ a + g = e + f \\ b + e + h = 15 \\ f + i = a + b \\ a + e + i = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right.$

Agora, faremos o mesmo para $i$ , escrevendo $i = 15 - (g+h)$ :

$\left\{ \begin{array}{r} a + g = e + f \\ b + e + h = 15 \\ f + 15 - (g+h) = a + b \\ a + e + 15 - (g+h) = 15 \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} a + g = e + f \\ b + e + h = 15 \\ a + b + g + h - f = 15 \\ a + e = g+h \\ g + e = a+b \\ \end{array} \right.$

Vamos agora, isolar $a$ na primeira, obtendo $a = e + f - g$ , (haja paciência…!):

$\left\{ \begin{array}{r} b + e + h = 15 \\ e + f - g + b + g + h - f = 15 \\ e + f - g + e = g+h \\ g + e = e + f - g +b \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} b + e + h = 15 \\ e + b + h = 15 \\ 2e = 2g + h - f \\ 2g = f +b \\ \end{array} \right.$

As duas primeiras são iguais, podemos eliminar uma delas:

$\left\{ \begin{array}{r} e + b + h = 15 \\ 2e = 2g + h - f \\ 2g = f +b \\ \end{array} \right.$

Substituindo a terceira na segunda:

$\left\{ \begin{array}{r} e + b + h = 15 \\ 2e = f + b + h - f \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{r} e + b + h = 15 \\ 2e = b + h \\ \end{array} \right.$

Comparando as duas teremos $3e = 15$ , portanto, $e = 5$ . Veja que só poderemos, com isso, achar o valor de $b+h =10$ , mas não os valores de $b$ e $h$ individualmente. Isto confirma nossa hipótese inicial de que há mais de uma maneira de “arrumar” os números.

E aí? Curtiu nossa solução? Divulgue!

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Um Sistema Simples

Olá leitores, recebi uma dúvida há pouco, que envolve sistemas lineares. Vamos dar uma olhada.

Calcule a soma $x + y + z$ no sistema abaixo:
$\left\{\begin{array}{lll} 66x + 33y + 2z = 1 \\ 2x + 66y + 33z = 2 \\ 33x + 2y + 66 z = 98 \\ \end{array}\right.$
Paolla Souza

Bom, em primeiro lugar é necessário saber que, se um sistema é composto de equações lineares, então a equação obtida pela soma das equações do sistema pode substituir qualquer equação do sistema, mantendo o conjunto solução intacto — que é uma aplicação direta do Teorema de Jacobi em uma matriz.

Daí, como só queremos $x + y + z$ e não os valores individuais, só precisamos somar as três equações e teremos:

$66x + 2x + 33x + 33y + 66y + 2y + 2z + 33z + 66z = 1 + 2 + 98$

Portanto:

$101 x + 101 y + 101 z = 101 \Rightarrow x + y + z = 1$

Viu, basta uma boa ideia para resolver rápido. Mas claro, embora não tenhamos feito isso, você pode resolver o sistema, encontrando os valores das incógnitas e depois calcular a soma resultante de seus valores. Vá em frente!

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Produto de Matrizes e Matriz Inversa

Hoje, trazemos um problema que envolve o produto de matrizes e a obtenção da matriz inversa de uma matriz quadrada.

Vejamos o problema proposto:

Considere as matrizes $M = \left( \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{array} \right)$ , $N = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)$ , $P = \left( \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)$ e $X = \left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right)$ . Se $X$ é solução de $M^{-1}NX = P$ , então $x^2 + y^2 + z^2$ é igual a:
a) $35$
b) $17$
c) $38$
d) $14$
e) $29$
Enviada por Marcus Tavares

Primeiro, vamos usar a definição de matriz inversa sobre a expressão dada, multiplicando-a pela esquerda por $M$ :

$M^{-1}NX = P \Rightarrow M \cdot M^{-1}NX = MP \Rightarrow INX = MP \Rightarrow NX = MP$

Em que $I$ representa a identidade de ordem $3$ . Repetindo o processo, multiplicando a mesma expressão por $N^{-1}$ pela esquerda, teremos:

$N^{-1}NX =N^{-1}MP \Rightarrow IX = N^{-1}MP \Rightarrow X = N^{-1}MP$

Precisaremos inverter a matriz $N$ (infelizmente, pois vai dar trabalho… :(, mas VQV). Para inverter $N$ faremos:

$N \cdot N^{-1} = I_3 \Rightarrow \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)$

Isto vai gerar alguns sistemas de equações, vamos ao primeiro:

$\left\{ \begin{array}{r} a + 2g = 1 \\ 3a + 2d = 0 \\ a + d + g = 0 \end{array}\right.$

Da primeira equação teremos $a = 1 -2g$ ; substituindo na segunda: $3 \cdot (1-2g) + 2d = 0$ , portanto, $d = \frac{6g - 3}{2}$ . Indo para a terceira:

$1 - 2g + \frac{6g - 3}{2} + g = 0 \Rightarrow 2 - 4g + 6g - 3 + 2g = 0 \Rightarrow g = \frac{1}{4}$

Agora calculamos $d$ :

$d = \frac{6 \cdot \frac{1}{4} - 3}{2} \Rightarrow d = -\frac{3}{4}$

E para o valor de $a$ , sabemos $a = \frac{1}{2}$ . Vamos agora para o segundo sistema:

$\left\{ \begin{array}{r} b + 2h = 0 \\ 3b + 2e = 1 \\ b + e + h = 0 \end{array}\right.$

Veja que a matriz dos coeficientes é a mesma, mudando apenas as incógnitas. Houve também uma pequena mudança na matriz dos termos independentes. Continuando; da primeira equação, encontramos $b = -2h$ e, substituindo na terceira:

$-2h + e + h = 0 \Rightarrow e = h$

Colocando estes resultados na segunda:

$3 \cdot(-2h) + 2h = 1 \Rightarrow h = -\frac{1}{4}$

Portanto temos $b = \frac{1}{2}$ e $e = -\frac{1}{4}$ . Finalmente, vamos ao terceiro sistema de equações:

$\left\{ \begin{array}{r} c + 2i = 0 \\ 3c + 2f = 0 \\ c + f + i = 1 \end{array}\right.$

Da primeira equação obtemos $c = -2i$ , usando na segunda, teremos:

$3 \cdot (-2i) + 2f = 0 \Rightarrow f = 3i$

Indo pra última equação:

$-2i + 3i + i = 1 \Rightarrow i = \frac{1}{2}$

Portanto, $f = \frac{3}{2}$ e $c = -1$ . Então, finalmente temos a inversa de $N$ :

$N^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1 \vspace{1 mm} \\ -\frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{2} \vspace{1 mm} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ \end{array} \right]$

Queremos calcular $X = N^{-1}MP$ que pode ser feito como $X = N^{-1}(MP)$ , logo temos $MP = \left[ \begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}\right]$ , e agora teremos a inversa de $N$ multiplicada pelo resultado anterior, que nos dará $X = \left[ \begin{array}{r} -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} -3 \vspace{1 mm} \\ \frac{3}{4} -\frac{1}{4} + \frac{9}{2} \vspace{1 mm} \\ -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2} \\ \end{array}\right]$ .

Finalmente, podemos escrever: $X = \left[ \begin{array}{r} -3 \\ 5 \\ 1 \end{array}\right]$ . Portanto $x = -3$ , $y = 5$ e $z = 1$ , daí $x^2 + y^2 + z^2 = 9 + 25 + 1 = 35$ . Opção A.

Problema trabalhoso, mas bacana, gostei!

Fique com um vídeo sobre equações matriciais.

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Vídeo: Sistemas de Equações – Definição e Classificação

Olá amigos,

mais um vídeo de matemática disponível. Desta vez, falamos sobre sistemas de equações. O que são e como são classificados. O que é um sistema possível? O que é um sistema impossível? Estas são as perguntas respondidas por este vídeo.

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@LSBar – CEO

Exercícios: Sistemas do Primeiro Grau V e VI

Olá leitores,

estamos de volta com mais duas “grandes listas” de exercícios, de assuntos que aparecem com grande recorrência em provas: sistemas de equações. Deixamos então mais duas listas de exercícios: sistemas de equações do primeiro grau 5 e 6. Não deixem de conferir indo em exercícios >> matemática e “caindo dentro”.

Abraço, boa semana, bons estudos.

@LSBar – CEO

Calculando a Energia de Sinais Senoidais

Olá leitores,

estamos de volta com mais um texto envolvendo sinais e o cálculo de sua energia e/ou potência. Agora, mostramos como proceder em alguns casos em que o sinal envolve uma senóide. Para baixar o arquivo, vá até textos.

Espero que seja útil e até breve.

Bons estudos.

@LSBar – CEO

Exercícios: Problemas do Primeiro Grau II e III

Olá alunos,

seguem mais duas listas de exercícios: Problemas do Primeiro Grau (lista 2 e lista 3). Os problemas em geral são simples, mas tentem fazer sem utilizar sistemas de equações. Para baixar o arquivo vá em Exercícios >> Matemática e procure pelas duas listas.

Bons estudos e boa semana.

@LSBar – Fundador