Probabilidade e M.D.C na Escola Naval

Olá leitor,

a prova da Escola Naval de 2020/2021 trouxe uma questão que envolve o M.D.C de dois números e uma pergunta sobre probabilidade. Segue a questão:

(EN) Escolhendo aleatoriamente um número do conjunto \{1;2;3;\ldots;2020\}, qual a probabilidade de que o número escolhido e 2020 sejam primos entre si?

a) \frac{40}{101}

b) \frac{153}{1010}

c) \frac{293}{1010}

d) \frac{401}{1010}

e) \frac{76}{505}

Enviada por Stephanie Wenceslau

Bom, primeiro, precisamos saber o que são números primos entre si ou ainda mutuamente primos. Dizemos que dois números naturais a e b são primos entre si, se \textrm{mdc} (a,b) = 1. O m.d.c. entre dois números naturais vale 1 se eles não possuem fatores comuns em sua fatoração em primos. Por exemplo, 9 e 16 são primos entre si, pois veja que 9 = 3^2 e 16 = 2^4.

É possível ver que dois números pares nunca são primos entre si, pois ambos são divisíveis por 2; e, que dois números primos também sempre são primos entre si, por conta da própria definição de números naturais primos.

Assim, fatorando 2020, encontramos 2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101. Ou seja, todos os múltiplos de 2, 5 ou 101 não serão primos com 2020, pois haverá fatores comuns em suas fatorações, tornando o m.d.c entre eles maior que 1.

Vamos contar então, primeiramente, os múltiplos de 2. Eles são em número M(2) = 1010. Para 5, temos M(5) = 404. Finalmente, para 101, ficamos com M(101) = 20.

Agora, ao somarmos estes valores, teremos M(2) + M(5) + M(101) = 1010 + 404 + 20 = 1434. Porém, precisamos atentar para o fato de que, estamos contando números repetidos, uma vez que os múltiplos de 10, por exemplo, são múltiplos de 2 e de 5 também; sendo, portanto, recontados. Vamos excluí-los.

Os múltiplos de 2 e de 5 são os múltiplos de 10, e são M(10) = 202. Para os múltiplos de 2 e de 101, teremos M(202) = 10; e, finalmente, os múltiplos de 5 e de 101 são em número total de M(505) = 4. Estes serão excluídos. O total é M(10) + M(202) + M(505) = 202 + 10 + 4 = 216.

Ainda precisamos considerar os múltiplos simultâneos de 2, 5 e 101, que serão os múltiplos de 1010. Estes são excluídos mais de uma vez e precisam ser reincluídos. Então M(1010) = 2.

Finalmente podemos encontrar todos os números naturais que têm fatores comuns com 2020, não sendo primos com 2020. Assim, eles são 1434 - 216 + 2 = 1220 no total. Como são 2020 números no total, temos 2020 - 1220 = 800 números que são primos entre si com 2020. Agora, temos a probabilidade:

P = \frac{800}{2020} = \frac{40}{101}

Opção A.

E aí, gostou.

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Pré-AFA 2019 | Listas das Semanas 13, 14, 15 e 16

Olá leitores, mais uma sequência de listas de exercícios. Nas últimas semanas acumulamos listas, mas agora elas estão todas aí disponíveis:

Essas foram as listas de exercícios das últimas quatro semanas. Bom proveito e boa páscoa!

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Pré-AFA 2019 | Listas das Semanas 10, 11 e 12

Olá leitores,

passou o carnaval e voltamos com força total. Estas foram as listas das últimas três semanas. Demoramos um pouco mais por conta de uma rotina bem apertada de trabalho fora do site. Mas estamos na linha novamente. E com muitas novidades.

Foi isso galera.

Bom fim de semana e bons estudos.

Novas listas de exercícios: Probabilidades, Regra de Três e Funções

Olá a todos os nossos leitores,

ontem era para termos publicado uma videoaula, mas graças a problemas pessoais eu não consegui terminar de editar o vídeo… para compensar a “mancada” publicamos hoje, em edição extraordinária, três novas listas de exercícios: Probabilidades, Regra de Três e Funções.

A lista de probabilidades contém bons exercícios, em um nível não trivial; as outras duas já são mais básicas.

Para baixar vá até Downloads > Listas de Exercícios e clique no link.

Aquele [  ], até 4ª que vem ou até outro plantão extraórdinário…

Equipe Mentor.