Probabilidade e M.D.C na Escola Naval

Olá leitor,

a prova da Escola Naval de 2020/2021 trouxe uma questão que envolve o M.D.C de dois números e uma pergunta sobre probabilidade. Segue a questão:

(EN) Escolhendo aleatoriamente um número do conjunto $\{1;2;3;\ldots;2020\}$ , qual a probabilidade de que o número escolhido e $2020$ sejam primos entre si?
a) $\frac{40}{101}$
b) $\frac{153}{1010}$
c) $\frac{293}{1010}$
d) $\frac{401}{1010}$
e) $\frac{76}{505}$
Enviada por Stephanie Wenceslau

Bom, primeiro, precisamos saber o que são números primos entre si ou ainda mutuamente primos. Dizemos que dois números naturais $a$ e $b$ são primos entre si, se $\textrm{mdc} (a,b) = 1$ . O m.d.c. entre dois números naturais vale $1$ se eles não possuem fatores comuns em sua fatoração em primos. Por exemplo, $9$ e $16$ são primos entre si, pois veja que $9 = 3^2$ e $16 = 2^4$ .

É possível ver que dois números pares nunca são primos entre si, pois ambos são divisíveis por $2$ ; e, que dois números primos também sempre são primos entre si, por conta da própria definição de números naturais primos.

Assim, fatorando $2020$ , encontramos $2020 = 2^2 \cdot 5 \cdot 101$ . Ou seja, todos os múltiplos de $2$ , $5$ ou $101$ não serão primos com $2020$ , pois haverá fatores comuns em suas fatorações, tornando o m.d.c entre eles maior que $1$ .

Vamos contar então, primeiramente, os múltiplos de $2$ . Eles são em número $M(2) = 1010$ . Para $5$ , temos $M(5) = 404$ . Finalmente, para $101$ , ficamos com $M(101) = 20$ .

Agora, ao somarmos estes valores, teremos $M(2) + M(5) + M(101) = 1010 + 404 + 20 = 1434$ . Porém, precisamos atentar para o fato de que, estamos contando números repetidos, uma vez que os múltiplos de $10$ , por exemplo, são múltiplos de $2$ e de $5$ também; sendo, portanto, recontados. Vamos excluí-los.

Os múltiplos de $2$ e de $5$ são os múltiplos de $10$ , e são $M(10) = 202$ . Para os múltiplos de $2$ e de $101$ , teremos $M(202) = 10$ ; e, finalmente, os múltiplos de $5$ e de $101$ são em número total de $M(505) = 4$ . Estes serão excluídos. O total é $M(10) + M(202) + M(505) = 202 + 10 + 4 = 216$ .

Ainda precisamos considerar os múltiplos simultâneos de $2$ , $5$ e $101$ , que serão os múltiplos de $1010$ . Estes são excluídos mais de uma vez e precisam ser reincluídos. Então $M(1010) = 2$ .

Finalmente podemos encontrar todos os números naturais que têm fatores comuns com $2020$ , não sendo primos com $2020$ . Assim, eles são $1434 - 216 + 2 = 1220$ no total. Como são $2020$ números no total, temos $2020 - 1220 = 800$ números que são primos entre si com $2020$ . Agora, temos a probabilidade:

$P = \frac{800}{2020} = \frac{40}{101}$

Opção A.

E aí, gostou.

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Pré-AFA 2019 | Listas das Semanas 13, 14, 15 e 16

Olá leitores, mais uma sequência de listas de exercícios. Nas últimas semanas acumulamos listas, mas agora elas estão todas aí disponíveis:

quadrilateros_ii Baixar

trocas_calor_viii Baixar

circunferencias_r2_i Baixar

quadrilateros_iii Baixar

retas_paralelas_v Baixar

estudo_gases_i Baixar

probabilidade_iii Baixar

pontos_notaveis_triangulos_i Baixar

retas_paralelas_vi Baixar

estudo_gases_ii Baixar

circunferencias_r2_iii Baixar

poligonos_i Baixar

trocas_calor_ix Baixar

trocas_calor_x Baixar

calorimetria_iv Baixar

circunferencias_r2_iv Baixar

circunferencias_r2_ii Baixar

simulado_iii_2019 Baixar

Essas foram as listas de exercícios das últimas quatro semanas. Bom proveito e boa páscoa!

{LSB]

Pré-AFA 2019 | Listas das Semanas 10, 11 e 12

Olá leitores,

passou o carnaval e voltamos com força total. Estas foram as listas das últimas três semanas. Demoramos um pouco mais por conta de uma rotina bem apertada de trabalho fora do site. Mas estamos na linha novamente. E com muitas novidades.

retas_r2_v Baixar

analise_combinatoria_iii Baixar

probabilidade_i Baixar

angulos_iv Baixar

triangulos_ii Baixar

retas_paralelas_iii Baixar

trocas_calor_vi Baixar

trocas_calor_vii Baixar

retas_r2_vi Baixar

simulado_ii_2019 Baixar

retas_paralelas_iv Baixar

quadrilateros_i Baixar

termometria_vi Baixar

retas_r2_vii Baixar

probabilidade_ii Baixar

fim_semana_feliz_vi Baixar

Foi isso galera.

Bom fim de semana e bons estudos.

Novas listas de exercícios: Probabilidades, Regra de Três e Funções

Olá a todos os nossos leitores,

ontem era para termos publicado uma videoaula, mas graças a problemas pessoais eu não consegui terminar de editar o vídeo… para compensar a “mancada” publicamos hoje, em edição extraordinária, três novas listas de exercícios: Probabilidades, Regra de Três e Funções.

A lista de probabilidades contém bons exercícios, em um nível não trivial; as outras duas já são mais básicas.

Para baixar vá até Downloads > Listas de Exercícios e clique no link.

Aquele [ ], até 4ª que vem ou até outro plantão extraórdinário…

Equipe Mentor.