Um Problema da AFA sobre o Teorema do Resto

Olá leitor.

Recebi uma dúvida hoje sobre o Teorema do Resto em uma questão da AFA. O enunciado segue abaixo:

Se o polinômio

P(x) = x^m - 2b^nx^{m-n} + b^m

é divisível por x+b, sendo m < n, n \in  \mathbb{N} e m \in \mathbb{N}^* e b \ne 0, então ocorrerá necessariamente:

a) m par e n ímpar

b) m ímpar e n par

c) m ímpar e n ímpar

d) m par e n par

Enviada por Milena Figueiredo

Bom, vamos lá.

O teorema do resto diz que “se dividirmos um polinômio P por um polinômio do primeiro grau D(x)  = ax + b, então o resto será R(x) = P(-\frac{b}{a}), em que -\frac{b}{a} é a raiz do divisor”. Assim, do enunciado, sabemos que o divisor é x + b e, portanto, sua raiz é x = -b. Calculando P(-b), teremos P(-b) = R(x) = 0, já que P é divisível por x + b, ou seja, deixa resto igual a zero. Assim:

P(-b) = (-b)^m - 2b^n(-b)^{m-n} + b^m = 0

Como, tanto m quanto n são números naturais, podemos escrever (-b)^m = [(-1) \cdot b]^m = (-1)^m \cdot b^m e substituir na equação:

(-1)^m \cdot b^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^{m-n} + b^m = 0

Finalmente:

(-1)^m \cdot b^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^m \cdot b^{-n} + b^m = 0

Colocando b^m em evidência:

b^m[(-1)^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^{-n} + 1] = 0

Veja que, dentro dos colchetes, teremos b^n \cdot b^{-n} = b^0, que só é possível se b \ne 0, continuando:

b^m[(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^0 + 1] = 0

Agora temos duas opções:

  1. Se b^m = 0, temos b = 0, mas daí teríamos b^0 = 0^0, que não é possível. A segunda opção é…
  2. Termos (-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^0 + 1 = 0, com b^0 =1, uma vez que já vimos na opção anterior que b \ne 0.

Desenvolvendo esta segunda opção, ficamos com:

(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m - n} + 1 = 0 \Rightarrow (-1)^m - 2 \cdot \frac{(-1)^m}{(-1)^n} + 1 = 0

Veja que, m sendo ímpar, teremos:

-1 - 2 \cdot \frac{(-1)}{(-1)^n} + 1 = 0 \Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} = 0

Que nunca será nulo, pois \frac{1}{(-1)^n} \ne 0 para qualquer n \in \mathbb{N}. Para m par, teremos:

1 - 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} + 1 = 0 \Rightarrow 2 - 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} = 0 \Rightarrow 2(1 - \frac{1}{(-1)^n}) = 0

Que nos dá 1 - \frac{1}{(-1)^n} = 0, logo (-1)^n = 1, portanto n é par. Assim, chegamos à opção D.

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Aplicação da Identidade de Polinômios

Olá leitor!

Hoje trazemos uma questão que serve pra exemplificar a identidade de polinômios. Vamos lembrar que dois polinômios se tem exatamente os mesmos coeficientes para os mesmos termos. Isto é:

P_1(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0

É idêntico a

P_2(x) = b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \ldots + b_1x + b_0

Somente se a_n = b_n, a_{n-1} = b_{n-1}, \ldots, a_0 = b_0. Assim, queremos resolver o seguinte problema:

Determinar a condição necessária e suficiente para que a expressão \frac{a_1x^2 + b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}, em que a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2 são reais e não nulos, assuma um valor que não dependa de x.

Enviado por Paolla Souza

Se a expressão não depende de x, ela sempre assume um valor k \in \mathbb{R} para qualquer x \in \mathbb{R}. Assim, teremos:

\frac{a_1x^2 + b_1x + c_1}{a_2x^2 + b_2x + c_2} = k

E, portanto:

a_1x^2 + b_1x + c_1 = ka_2x^2 + kb_2x + k_2c_2

Ou seja, da identidade de polinômios:

a_1 = ka_2, b_1 = kb_2 e c_1 = kc_2

Fica claro que:

\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k

Por exemplo, veja só:

Seja k = 2 e, vamos escolher os coeficientes: \frac{2x^2 + 4x + 2}{x^2+ 2x +1} = 2 para todo x \in \mathbb{R} - \{-1\}, porque -1 é raiz do denominador, obviamente.

Espero ter ajudado.

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Matrizes, Fatoração e Polinômios

Olá pessoal, estou de volta com uma questão da UNIRIO, trazida como dúvida pra mim, que envolve matrizes inversíveis e fatoração de polinômios. O problema segue abaixo:

(UNIRIO) Para que valor(es) real(is) de x a matriz \left[\begin{array}{ccc} 1 & x - 3 & 4 \\ 3 & 0 & -x \\ -2x & 4 & -8 \\ \end{array} \right] é inversível?

Enviada por Beatriz Marcondes

Sabemos que uma matriz tem inversa se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Daí podemos calcular o determinante pela regra de Sarrus:

0 + 48 + 2x^2(x-3) - 0 + 4x + 24(x-3) \ne 0

Desenvolvendo e agrupando os termos semelhantes:

2x^3 - 6x^2 + 28x - 24 \ne 0

Como todos os coeficientes são pares podemos dividir toda a equação por 2:

x^3 - 3x^2 + 14x - 12 \ne 0

Agora vem o problema. Quem são as raízes deste polinômio. Neste caso, é fácil! Perceba que a soma dos coeficientes do polinômio é zero: 1 + (-3) + 14 + (-12) = 0, isto nos garante que 1 é uma das raízes deste polinômio. Para confirmar este fato, basta subistituir a incógnita por 1:

1^3 - 3 \cdot 1^2 + 14 \cdot 1 - 12 = 0

A recíproca do Teorema de D’Alembert garante que, se x = a é raiz de um polinômio P(x), então P(x) é divisível por x-a, isto é, P(x) é da forma P(x) = (x-a) \cdot P_1(x). Dito isso, vamos fatorar P(x) (sim, eu sei, poderíamos usar Briot-Ruffini). Vamos lá:

x^3 - 3x^2 + 14x - 12 \ne 0 \Rightarrow x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x + 12x - 12 \ne 0

Assim:

x^2(x - 1) -2x (x-1) + 12(x - 1) \ne 0 \Rightarrow (x-1)(x^2 - 2x + 12) \ne 0

Só precisamos agora ver quais são as raízes do outro fator do produto acima: x^2 - 2x + 12 \ne 0. Calculando o discriminante teremos \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = -44 < 0, logo não há raízes reais, significando que este fator nunca é zero. Portanto, o único valor que torna o determinante nulo é x = 1. Logo, para a matriz ser inversível devemos ter x \ne 1.

Espero ter ajudado.

Vou deixar um vídeo sobre o teorema de D’Alembert:

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