Um Problema da AFA sobre o Teorema do Resto

Olá leitor.

Recebi uma dúvida hoje sobre o Teorema do Resto em uma questão da AFA. O enunciado segue abaixo:

Se o polinômio

P(x) = x^m - 2b^nx^{m-n} + b^m

é divisível por x+b, sendo m < n, n \in  \mathbb{N} e m \in \mathbb{N}^* e b \ne 0, então ocorrerá necessariamente:

a) m par e n ímpar

b) m ímpar e n par

c) m ímpar e n ímpar

d) m par e n par

Enviada por Milena Figueiredo

Bom, vamos lá.

O teorema do resto diz que “se dividirmos um polinômio P por um polinômio do primeiro grau D(x)  = ax + b, então o resto será R(x) = P(-\frac{b}{a}), em que -\frac{b}{a} é a raiz do divisor”. Assim, do enunciado, sabemos que o divisor é x + b e, portanto, sua raiz é x = -b. Calculando P(-b), teremos P(-b) = R(x) = 0, já que P é divisível por x + b, ou seja, deixa resto igual a zero. Assim:

P(-b) = (-b)^m - 2b^n(-b)^{m-n} + b^m = 0

Como, tanto m quanto n são números naturais, podemos escrever (-b)^m = [(-1) \cdot b]^m = (-1)^m \cdot b^m e substituir na equação:

(-1)^m \cdot b^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^{m-n} + b^m = 0

Finalmente:

(-1)^m \cdot b^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^m \cdot b^{-n} + b^m = 0

Colocando b^m em evidência:

b^m[(-1)^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^{-n} + 1] = 0

Veja que, dentro dos colchetes, teremos b^n \cdot b^{-n} = b^0, que só é possível se b \ne 0, continuando:

b^m[(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^0 + 1] = 0

Agora temos duas opções:

  1. Se b^m = 0, temos b = 0, mas daí teríamos b^0 = 0^0, que não é possível. A segunda opção é…
  2. Termos (-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^0 + 1 = 0, com b^0 =1, uma vez que já vimos na opção anterior que b \ne 0.

Desenvolvendo esta segunda opção, ficamos com:

(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m - n} + 1 = 0 \Rightarrow (-1)^m - 2 \cdot \frac{(-1)^m}{(-1)^n} + 1 = 0

Veja que, m sendo ímpar, teremos:

-1 - 2 \cdot \frac{(-1)}{(-1)^n} + 1 = 0 \Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} = 0

Que nunca será nulo, pois \frac{1}{(-1)^n} \ne 0 para qualquer n \in \mathbb{N}. Para m par, teremos:

1 - 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} + 1 = 0 \Rightarrow 2 - 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} = 0 \Rightarrow 2(1 - \frac{1}{(-1)^n}) = 0

Que nos dá 1 - \frac{1}{(-1)^n} = 0, logo (-1)^n = 1, portanto n é par. Assim, chegamos à opção D.

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