Tira-Teima #5

Segue mais um problema enviado por um de nossos leitores:

Cuja solução segue abaixo:

É isso, até a próxima!

[LSB]

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EsPCEx: 47 Questões de Matemática na Reta Final!

Olá leitor!

A EsPCEx de 2021/2022 tá chegando e, com ela, se intensificam as listas de revisão de conteúdo. Deixo, então uma lista com 47 questões de matemática da EsPCEx pra você que irá fazer a prova em breve!

Lista_Gerais_13 Baixar

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Somas de Newton: uma Grande Ajuda!!!

Olá leitor.

Hoje trazemos um problema que envolve um sistema de equações não lineares e que, a princípio, parece fácil, mas na realidade, envolve métodos mais sofisticados que simplesmente substituir uma equação na outra. Veja o problema a seguir:

Sejam $x$ , $y$ e $z$ números complexos que satisfazem o sistema de equações abaixo:
$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 7 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 25 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{4} \\ \end{array} \right.$
O valor da soma $x^3 + y^3 + z^3$ é:
a) $210$
b) $235$
c) $250$
d) $320$
e) $325$
Enviada por Matheus

Podemos inicialmente pensar em um polinômio $P(n)$ tal que $x$ , $y$ e $z$ sejam exatamente suas raízes e seja escrito como:

$P(n) = a_3n^3 + a_2n^2 + a_1n + a_0$

Das relações de Girard e do sistema dado chegamos a:

$x + y + z = -\frac{a_2}{a_3} \Rightarrow -\frac{a_2}{a_3} = 7 \Rightarrow a_2 = -7a_3$

Alem disso, sabendo que $(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+xz)$ , portanto:

$(7)^2 = 25 + 2 \cdot \frac{a_1}{a_3} \Rightarrow \frac{a_1}{a_3} = 12 \Rightarrow a_1 = 12a_3$

Da última equação do sistema:

$\frac{xy+xz+yz}{xyz} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{\frac{a_1}{a_3}}{-\frac{a_0}{a_3}} = \frac{1}{4} \Rightarrow a_0 = -4a_1$

Ou seja $a_0 = 4 \cdot (12 a_3) \Rightarrow a_0 = -48a_3$ . Finalmente, podemos usar as somas de Newton:

$a_3S_3 + a_2S_2+a_1S_1+a_0S_0 = 0$

Teremos:

$a_3 \cdot S_3 + (-7a_3)\cdot 25 + (12a_3)\cdot 7 + (-48a_3)\cdot 3 = 0$

Como $a_3 \ne 0$ , temos:

$S_3 - 175 + 84 - 144 = 0 \Rightarrow S_3 = 235$

Chegando à opção B.

Como observação, não nos estendemos sobre as somas de Newton, mas o faremos em momento oportuno!!!

Até a próxima!

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Um Problema da AFA sobre o Teorema do Resto

Olá leitor.

Recebi uma dúvida hoje sobre o Teorema do Resto em uma questão da AFA. O enunciado segue abaixo:

Se o polinômio
$P(x) = x^m - 2b^nx^{m-n} + b^m$
é divisível por $x+b$ , sendo $m < n$ , $n \in \mathbb{N}$ e $m \in \mathbb{N}^*$ e $b \ne 0$ , então ocorrerá necessariamente:
a) $m$ par e $n$ ímpar
b) $m$ ímpar e $n$ par
c) $m$ ímpar e $n$ ímpar
d) $m$ par e $n$ par
Enviada por Milena Figueiredo

Bom, vamos lá.

O teorema do resto diz que “se dividirmos um polinômio $P$ por um polinômio do primeiro grau $D(x) = ax + b$ , então o resto será $R(x) = P(-\frac{b}{a})$ , em que $-\frac{b}{a}$ é a raiz do divisor”. Assim, do enunciado, sabemos que o divisor é $x + b$ e, portanto, sua raiz é $x = -b$ . Calculando $P(-b)$ , teremos $P(-b) = R(x) = 0$ , já que $P$ é divisível por $x + b$ , ou seja, deixa resto igual a zero. Assim:

$P(-b) = (-b)^m - 2b^n(-b)^{m-n} + b^m = 0$

Como, tanto $m$ quanto $n$ são números naturais, podemos escrever $(-b)^m = [(-1) \cdot b]^m = (-1)^m \cdot b^m$ e substituir na equação:

$(-1)^m \cdot b^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^{m-n} + b^m = 0$

Finalmente:

$(-1)^m \cdot b^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^m \cdot b^{-n} + b^m = 0$

Colocando $b^m$ em evidência:

$b^m[(-1)^m - 2b^n \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^{-n} + 1] = 0$

Veja que, dentro dos colchetes, teremos $b^n \cdot b^{-n} = b^0$ , que só é possível se $b \ne 0$ , continuando:

$b^m[(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^0 + 1] = 0$

Agora temos duas opções:

Se $b^m = 0$ , temos $b = 0$ , mas daí teríamos $b^0 = 0^0$ , que não é possível. A segunda opção é…
Termos $(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m-n} \cdot b^0 + 1 = 0$ , com $b^0 =1$ , uma vez que já vimos na opção anterior que $b \ne 0$ .

Desenvolvendo esta segunda opção, ficamos com:

$(-1)^m - 2 \cdot (-1)^{m - n} + 1 = 0 \Rightarrow (-1)^m - 2 \cdot \frac{(-1)^m}{(-1)^n} + 1 = 0$

Veja que, $m$ sendo ímpar, teremos:

$-1 - 2 \cdot \frac{(-1)}{(-1)^n} + 1 = 0 \Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} = 0$

Que nunca será nulo, pois $\frac{1}{(-1)^n} \ne 0$ para qualquer $n \in \mathbb{N}$ . Para $m$ par, teremos:

$1 - 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} + 1 = 0 \Rightarrow 2 - 2 \cdot \frac{1}{(-1)^n} = 0 \Rightarrow 2(1 - \frac{1}{(-1)^n}) = 0$

Que nos dá $1 - \frac{1}{(-1)^n} = 0$ , logo $(-1)^n = 1$ , portanto $n$ é par. Assim, chegamos à opção D.

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Aplicação da Identidade de Polinômios

Olá leitor!

Hoje trazemos uma questão que serve pra exemplificar a identidade de polinômios. Vamos lembrar que dois polinômios se tem exatamente os mesmos coeficientes para os mesmos termos. Isto é:

$P_1(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$

É idêntico a

$P_2(x) = b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \ldots + b_1x + b_0$

Somente se $a_n = b_n$ , $a_{n-1} = b_{n-1}$ , $\ldots$ , $a_0 = b_0$ . Assim, queremos resolver o seguinte problema:

Determinar a condição necessária e suficiente para que a expressão $\frac{a_1x^2 + b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}$ , em que $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ são reais e não nulos, assuma um valor que não dependa de $x$ .
Enviado por Paolla Souza

Se a expressão não depende de $x$ , ela sempre assume um valor $k \in \mathbb{R}$ para qualquer $x \in \mathbb{R}$ . Assim, teremos:

$\frac{a_1x^2 + b_1x + c_1}{a_2x^2 + b_2x + c_2} = k$

E, portanto:

$a_1x^2 + b_1x + c_1 = ka_2x^2 + kb_2x + k_2c_2$

Ou seja, da identidade de polinômios:

$a_1 = ka_2$ , $b_1 = kb_2$ e $c_1 = kc_2$

Fica claro que:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$

Por exemplo, veja só:

Seja $k = 2$ e, vamos escolher os coeficientes: $\frac{2x^2 + 4x + 2}{x^2+ 2x +1} = 2$ para todo $x \in \mathbb{R} - \{-1\}$ , porque $-1$ é raiz do denominador, obviamente.

Espero ter ajudado.

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Matrizes, Fatoração e Polinômios

Olá pessoal, estou de volta com uma questão da UNIRIO, trazida como dúvida pra mim, que envolve matrizes inversíveis e fatoração de polinômios. O problema segue abaixo:

(UNIRIO) Para que valor(es) real(is) de $x$ a matriz $\left[\begin{array}{ccc} 1 & x - 3 & 4 \\ 3 & 0 & -x \\ -2x & 4 & -8 \\ \end{array} \right]$ é inversível?
Enviada por Beatriz Marcondes

Sabemos que uma matriz tem inversa se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. Daí podemos calcular o determinante pela regra de Sarrus:

$0 + 48 + 2x^2(x-3) - 0 + 4x + 24(x-3) \ne 0$

Desenvolvendo e agrupando os termos semelhantes:

$2x^3 - 6x^2 + 28x - 24 \ne 0$

Como todos os coeficientes são pares podemos dividir toda a equação por $2$ :

$x^3 - 3x^2 + 14x - 12 \ne 0$

Agora vem o problema. Quem são as raízes deste polinômio. Neste caso, é fácil! Perceba que a soma dos coeficientes do polinômio é zero: $1 + (-3) + 14 + (-12) = 0$ , isto nos garante que $1$ é uma das raízes deste polinômio. Para confirmar este fato, basta subistituir a incógnita por $1$ :

$1^3 - 3 \cdot 1^2 + 14 \cdot 1 - 12 = 0$

A recíproca do Teorema de D’Alembert garante que, se $x = a$ é raiz de um polinômio $P(x)$ , então $P(x)$ é divisível por $x-a$ , isto é, $P(x)$ é da forma $P(x) = (x-a) \cdot P_1(x)$ . Dito isso, vamos fatorar $P(x)$ (sim, eu sei, poderíamos usar Briot-Ruffini). Vamos lá:

$x^3 - 3x^2 + 14x - 12 \ne 0 \Rightarrow x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x + 12x - 12 \ne 0$

Assim:

$x^2(x - 1) -2x (x-1) + 12(x - 1) \ne 0 \Rightarrow (x-1)(x^2 - 2x + 12) \ne 0$

Só precisamos agora ver quais são as raízes do outro fator do produto acima: $x^2 - 2x + 12 \ne 0$ . Calculando o discriminante teremos $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = -44 < 0$ , logo não há raízes reais, significando que este fator nunca é zero. Portanto, o único valor que torna o determinante nulo é $x = 1$ . Logo, para a matriz ser inversível devemos ter $x \ne 1$ .

Espero ter ajudado.

Vou deixar um vídeo sobre o teorema de D’Alembert:

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Polinômios: Uma Pequena Lista

Olá alunos,

segue uma pequena lista com 10 exercícios sobre polinômios.

Polinomios_III

Bons estudos.

Tira-Teima #12: Fatoração

Questão enviada por Rosimeri Quaresma:

O valor da expressão $\frac{{{a^5} + {a^4} + {a^3} + {a^2} + a + 1}}{{{a^4} + {a^2} + 1}}$ para $a = 59$ é:

a) $119$

b) $118$

c) $60$

d) $59$

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Exercícios: Polinômios I e II

Olá leitores,

mais duas listas chegam para se juntarem ao nosso pequeno banco de listas: Polinômios (lista 1 e lista 2). Como sempre, vá em exercícios >> matemática.

Bons estudos e boa semana.