Um Simulado Modelo EEAr

Olá leitores,

segue um pequeno simulado de matemática no nível da EEAr. Depois de fazerem as questões, podem dar uma olhada no gabarito das questões no arquivo deixado aqui.

Para fazer o simulado clique no link a seguir:

SIMULADO 1 — EEAr

Como disse, depois que fizer, veja as questões a seguir e seus gabaritos:

Simulado_EEAR_1 Baixar

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Mas, claro, fique a vontade, qualquer ajuda é bem vinda!

E a melhor ajuda que você pode dar é GRÁTIS, DE GRAÇA, 0800: só basta DIVULGAR esta iniciativa!

Até!

[LSB]

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150 Exercícios de Matemática!

Olá leitores.

Se você sempre vem aqui ao site, já deve ter percebido que ele está mais movimentado e, de fato estamos em uma nova fase.

E, continuando esta nova empreitada, quero deixar aqui uma lista de exercícios com 150 exercícios de matemática de assuntos diversos, pra você se divertir ao longo desta semana.

Sem firulas e demoras segue a lista.

lista_gerais_1 Baixar

Aproveite então. Estude e mande suas dúvidas e, conforme forem chegando, vamos colocando resolvidas aqui como já fizemos para outros parceiros.

Bons estudos.

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Um Pequeno Simulado Nível AFA

Olá pessoal, hoje trago para vocês um pequeno simulado de matemática próximo ao nível da AFA. São 10 questões em um formulário do Google:

https://forms.gle/GYzevR2qisAqFuHz6

Quando você terminar, clique em enviar e você receberá sua nota no e-mail que usou para responder ao formulário.

Caso tenha dúvida em algum dos problemas (depois de resolver todo o simulado, claro!) convido-o (ou convido-a) a verificar a solução comentada das questões

Simulado_II Baixar

Espero que seja útil.

Grande abraço e bons estudos!

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Teorema de Jacobi

Olá pessoal, já ouviram falar do Teorema de Jacobi? Sabe pra que serve? Se sim, ou se não, vamos dar uma olhada nele.

Em primeiro lugar, o Teorema de Jacobi diz respeito ao determinante de matrizes quadradas. Vejamos o que ele diz:

Se $A_{n \times n}$ é uma matriz quadrada de ordem $n$ , ao substituir cada elemento $a_{pj}$ da linha $p$ ( $p \in \{1,2,\ldots,n\}$ ) da matriz $A$ pelos próprios elementos da linha $p$ por elementos $a_{qj}$ da linha $q$ ( $q \in \{1,2,\ldots,n\}$ e $p \ne q$ ) da matriz multiplicados por uma constante real $k$ o determinante da nova matriz $B$ é idêntico ao determinante de $A$ . Ou seja, vamos admitir, sem perda de generalidade, que $p > q$ , teremos:
$\left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{q1} & a_{q2} & a_{q3} & \ldots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{p1} & a_{p2} & a_{p3} & \ldots & a_{pn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{q1} & a_{q2} & a_{q3} & \ldots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{p1} + ka_{q1} & a_{p2} + ka_{q2}& a_{p3} + ka_{q3} & \ldots & a_{pn} + ka_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right\vert$

Veja que a linha $q$ que foi usada como “base” continuou igual, e substituímos a linha $p$ pelos resultados obtidos com a operação. Vejamos um exemplo simples de uma matriz $M$ de ordem $2$ :

Exemplo: Calcular o determinante da matriz $M = \left[ \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right]$ .

Este é apenas um exemplo simples, mas veja que os números farão com que o processo seja trabalhoso, já que teremos:

$\det M = 103 \cdot 150 - 120 \cdot 201 = 15450 - 24120 = -8670$

Aplicando o Teorema de Jacobi, poderemos calcular como segue:

$\det M = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 + (-2) \cdot 103 & 150 + (-2) \cdot 120 \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ -5 & -90 \\ \end{array} \right\vert$

O que nos dará:

$\det M = 103 \cdot (-90) - (-5) \cdot 120 = -9270 + 600 = -8670$

Veja que, apesar de ainda “grandes” a ordem de grandeza dos produtos é muito menor. Vejamos mais um exemplo. Agora com uma matriz muito maior.

Exemplo: Calcule o determinante a seguir: $\left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert$ .

Vamos aplicar então o Teorema de Jacobi, para tentar simplificar o cálculo deste determinante. Façamos a nova segunda linha $(L_2')$ como $L_2' = L_2 + (-6) \cdot L_1$ e a nova terceira linha $(L_3')$ como $L_3' = L_3 + (-11) \cdot L_1$ , assim teremos:

$\left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 - 6 & 7 - 12 & 8 - 18 & 9 - 24 & 10 - 30 \\ 11 - 11 & 12-22 & 13-33 & 14-44 & 15-55 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 & -10 & -20 & -30 & -40 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert =$

Isto já é suficiente para perceber que o determinante é nulo, pois a terceira linha é proporcional à segunda linha. Mas podemos reaplicar o Teorema de Jacobi. A nova terceira linha $L_3'' = (-2) \cdot L_2'+ L_3'$ , veja:

$= \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 +0 & -10+10 & -20+20 & -30+30 & -40+40 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert$

Que é nulo, pois há uma fileira nula. Para conferir, basta aplicar o Teorema de Laplace.

Para saber um pouco mais sobre quem foi Jacobi, clique aqui.

Prova da EEAr Matemática 2019/2020 com Soluções

Neste último domingo (2/6/2019) ocorreu o primeiro concurso da EEAr de 2019. Seguem as imagens da primeira prova da EEAr de matemática de 2019 para acesso em 2020.

E agora, as soluções:

E aí, o que acharam? Divirtam-se e estejam a vontade para fazer comentários e/ou correções.

Até mais.

Pré-AFA 2019 | Listas das Semanas 13, 14, 15 e 16

Olá leitores, mais uma sequência de listas de exercícios. Nas últimas semanas acumulamos listas, mas agora elas estão todas aí disponíveis:

quadrilateros_ii Baixar

trocas_calor_viii Baixar

circunferencias_r2_i Baixar

quadrilateros_iii Baixar

retas_paralelas_v Baixar

estudo_gases_i Baixar

probabilidade_iii Baixar

pontos_notaveis_triangulos_i Baixar

retas_paralelas_vi Baixar

estudo_gases_ii Baixar

circunferencias_r2_iii Baixar

poligonos_i Baixar

trocas_calor_ix Baixar

trocas_calor_x Baixar

calorimetria_iv Baixar

circunferencias_r2_iv Baixar

circunferencias_r2_ii Baixar

simulado_iii_2019 Baixar

Essas foram as listas de exercícios das últimas quatro semanas. Bom proveito e boa páscoa!

{LSB]

Pré-AFA 2019 | Listas da Semana #6

Como prometido, estamos de volta com as listas da sexta semana do curso da pré-AFA 2019 no Curso Lincoln. Os arquivos seguem abaixo.

analise_combinatoria_ii Baixar

binomio_newton_i Baixar

trocas_calor_ii Baixar

trocas_calor_iii Baixar

retas_r2_ii Baixar

congruencia_triangulos_i Baixar

angulos_iii Baixar

fim_semana_feliz_iii Baixar

Mais uma semana bem produtiva. Aproveitem e divirtam-se neste fim de semana com essas listas.

Grande abraço.

[LSB]

Pré-AFA 2019 | Listas da Semana #5

Olá,

estamos fechando mais uma semana (semana #6) na turma pré-AFA de 2019. Mas não é por isso que vamos deixar de publicar por aqui as listas da semana #5.

angulos_ii Baixar

triangulos_i Baixar

termometria_iv Baixar

trocas_calor_i Baixar

retas_r2_i Baixar

gerais_i_2019 Baixar

analise_combinatoria_i Baixar

fim_semana_feliz_ii Baixar

Esta foi uma semana produtiva para nós e esperamos que seja para vocês também.

Bons estudos e bom fim de semana.

[LSB]

Pré-AFA 2019 | Listas da Semana #3

Continuando nossa programação seguem as listas de exercícios da terceira semana da turma pré-AFA 2019 do Curso Lincoln.

angulos_i Baixar

segmentos_semirretas_ii Baixar

calorimetria_i Baixar

termometria_iii Baixar

fim_semana_feliz_i Baixar

Esses foram os arquivos da terceira semana.

Bons estudos e até breve.

[LSB]

Pré-AFA 2019 — Listas da Semana #1

Como alguns sabem eu já dou aula no Curso Lincoln na Ilha do Governador — RJ há algum tempo e, por isso, sempre estou preparando listas para esta turma chamada de Pré-AFA.

Este ano resolvi divulgar as listas usadas semanalmente para que os alunos da turma tenham um repositório, mas também para que fique disponível para o mundo!

Esta foi a primeira semana:

Bons estudos e boa semana.

Até semana que vem.

[LSB]