Teorema de Jacobi

Olá pessoal, já ouviram falar do Teorema de Jacobi? Sabe pra que serve? Se sim, ou se não, vamos dar uma olhada nele.

Em primeiro lugar, o Teorema de Jacobi diz respeito ao determinante de matrizes quadradas. Vejamos o que ele diz:

Se $A_{n \times n}$ é uma matriz quadrada de ordem $n$ , ao substituir cada elemento $a_{pj}$ da linha $p$ ( $p \in \{1,2,\ldots,n\}$ ) da matriz $A$ pelos próprios elementos da linha $p$ por elementos $a_{qj}$ da linha $q$ ( $q \in \{1,2,\ldots,n\}$ e $p \ne q$ ) da matriz multiplicados por uma constante real $k$ o determinante da nova matriz $B$ é idêntico ao determinante de $A$ . Ou seja, vamos admitir, sem perda de generalidade, que $p > q$ , teremos:
$\left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{q1} & a_{q2} & a_{q3} & \ldots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{p1} & a_{p2} & a_{p3} & \ldots & a_{pn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{q1} & a_{q2} & a_{q3} & \ldots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{p1} + ka_{q1} & a_{p2} + ka_{q2}& a_{p3} + ka_{q3} & \ldots & a_{pn} + ka_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right\vert$

Veja que a linha $q$ que foi usada como “base” continuou igual, e substituímos a linha $p$ pelos resultados obtidos com a operação. Vejamos um exemplo simples de uma matriz $M$ de ordem $2$ :

Exemplo: Calcular o determinante da matriz $M = \left[ \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right]$ .

Este é apenas um exemplo simples, mas veja que os números farão com que o processo seja trabalhoso, já que teremos:

$\det M = 103 \cdot 150 - 120 \cdot 201 = 15450 - 24120 = -8670$

Aplicando o Teorema de Jacobi, poderemos calcular como segue:

$\det M = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 + (-2) \cdot 103 & 150 + (-2) \cdot 120 \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ -5 & -90 \\ \end{array} \right\vert$

O que nos dará:

$\det M = 103 \cdot (-90) - (-5) \cdot 120 = -9270 + 600 = -8670$

Veja que, apesar de ainda “grandes” a ordem de grandeza dos produtos é muito menor. Vejamos mais um exemplo. Agora com uma matriz muito maior.

Exemplo: Calcule o determinante a seguir: $\left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert$ .

Vamos aplicar então o Teorema de Jacobi, para tentar simplificar o cálculo deste determinante. Façamos a nova segunda linha $(L_2')$ como $L_2' = L_2 + (-6) \cdot L_1$ e a nova terceira linha $(L_3')$ como $L_3' = L_3 + (-11) \cdot L_1$ , assim teremos:

$\left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 - 6 & 7 - 12 & 8 - 18 & 9 - 24 & 10 - 30 \\ 11 - 11 & 12-22 & 13-33 & 14-44 & 15-55 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 & -10 & -20 & -30 & -40 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert =$

Isto já é suficiente para perceber que o determinante é nulo, pois a terceira linha é proporcional à segunda linha. Mas podemos reaplicar o Teorema de Jacobi. A nova terceira linha $L_3'' = (-2) \cdot L_2'+ L_3'$ , veja:

$= \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 +0 & -10+10 & -20+20 & -30+30 & -40+40 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert$