Olá pessoal, hoje quero falar um pouco sobre a matriz inversa. Mas, antes de mostrar a utilização da definição pra resolver um exercício, vamos relembrar o que significa a inversão de uma matriz.

Vamos considerar que , e são duas matrizes quadradas de ordem e a matriz identidade de ordem , respectivamente. Então:

A matriz é chamada de matriz inversa de e podemos escrever . Assim:

Com isso, podemos mostrar que a inversa de é única, mas isso vai ficar pra depois. Vamos focar, por enquanto, no que interessa.

O que queremos verificar é o seguinte:

Se conhecemos as matrizes quadradas e , de ordem , tais que , quem é a matriz que satisfaz esta equação?

Bom, como conhecemos a matriz , sabemos como obter sua inversa; logo, podemos fazer:

Ou seja, multiplicamos toda a equação, pela esquerda, por . Como , da definição de inversa, podemos escrever:

Assim já temos a matriz , uma vez que basta inverter a matriz , se ela é conhecida. Tudo bem, mas e o exemplo de aplicação? Veja a imagem a seguir com uma questão do concurso da EsPCEx de 1999/2000.

Veja que podemos chamar a matriz dos coeficientes de , a matriz das incógnitas de e a matriz resultante de , tendo assim a equação a seguir:

Mas, como já vimos:

E, de acordo com o enunciado, isto se traduz em:

Que podemos resolver facilmente, multiplicando a matriz inversa de pela matriz coluna :

Como as duas matriz são iguais, teremos , e , opção E.

E aí, gostou dessa aplicação de matriz inversa?

Segue um vídeo falando um pouco mais sobre operações com matrizes com outro exemplo, porém na EEAr:

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