Tira-Teima #8

Segue mais uma dúvida de nossos alunos:

Cuja solução segue abaixo:

Nossa loja de camisetas: http://reserva.ink/equilateral

Existe o Valor de b?

Estamos de volta com mais uma dúvida enviada para nós.

O problema em questão trata de sistemas de numeração. Neste caso, além da base $10$ há outras bases envolvidas.

A solução segue na imagem abaixo:

Veja que não é possível, uma vez que $b$ não será um número inteiro.

Até a próxima.

[LSB]

Segmentos e Seus Pontos Médios: Um Bom Desenho Sempre Ajuda!

Olá, hoje trago um problema proposto como dúvida por uma aluna. O problema envolve apenas o conceito de ponto médio de segmentos e as medidas de alguns segmentos adjacentes. O enunciado não traz a figura e, por isso, desenhar uma boa figura já ajuda em boa parte para resolver o problema.

Segue o enunciado abaixo.

Antes de ver a solução, tente resolver sozinho. O conceito de segmento de reta é simples e faz parte do início do estudo da geometria plana. É importante para formular e resolver problemas e ajuda em várias áreas como, por exemplo, trigonometria e/ou geometria analítica.

Se você já tentou resolver e não conseguiu, segue abaixo a solução. Mas é importante tentar, lembre-se que a dúvida é o start importante para a construção do conhecimento.

E aí, acertou?

Mande seus comentários para nós!

[LSB]

Conversão de Bases de Numeração

Segue a dúvida de um de nossos alunos a respeito de sistemas de bases de numeração. O assunto costuma ser cobrado no Colégio Naval e na EPCAr além de outras provas (concursos) e, justamente por isso, vamos comentar a solução deste problema aqui. Eis a pergunta:

O número $(24,3)_5$ corresponde na base $10$ a:

a) $14,8$

b) $15,6$

c) $14,6$

d) $13,8$

e) $13,6$

Como sabemos, para passar da base $b$ para a base $10$ só precisamos “expandir” o número na base dada e realizar os cálculos na base $10$ . Então, para o número dado, teríamos:

$(24,3)_5 = 2 \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^0 + 3 \cdot 5^{-1}$

Veja que a parte decimal começa a ter os expoentes inteiros negativos, seguindo a partir do zero que é o expoente da base correspondente à ordem das unidades. Então, desenvolvendo:

$(24,3)_5 = 2 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 3 \cdot \frac{1}{5} = 10 + 4 + \frac{3}{5}$

Como $\frac{3}{5} = 0,6$ , teremos $(24,3)_5 = 14,6$ , ou seja, opção C.

Entendeu? Então tente converter, por exemplo, $(111,01)_2$ para a base $10$ e me conte o que encontrou nos comentários abaixo.

Um grande abraço e nos vemos por aí.

[LSB]

Somas de Newton: uma Grande Ajuda!!!

Olá leitor.

Hoje trazemos um problema que envolve um sistema de equações não lineares e que, a princípio, parece fácil, mas na realidade, envolve métodos mais sofisticados que simplesmente substituir uma equação na outra. Veja o problema a seguir:

Sejam $x$ , $y$ e $z$ números complexos que satisfazem o sistema de equações abaixo:
$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 7 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 25 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{4} \\ \end{array} \right.$
O valor da soma $x^3 + y^3 + z^3$ é:
a) $210$
b) $235$
c) $250$
d) $320$
e) $325$
Enviada por Matheus

Podemos inicialmente pensar em um polinômio $P(n)$ tal que $x$ , $y$ e $z$ sejam exatamente suas raízes e seja escrito como:

$P(n) = a_3n^3 + a_2n^2 + a_1n + a_0$

Das relações de Girard e do sistema dado chegamos a:

$x + y + z = -\frac{a_2}{a_3} \Rightarrow -\frac{a_2}{a_3} = 7 \Rightarrow a_2 = -7a_3$

Alem disso, sabendo que $(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+xz)$ , portanto:

$(7)^2 = 25 + 2 \cdot \frac{a_1}{a_3} \Rightarrow \frac{a_1}{a_3} = 12 \Rightarrow a_1 = 12a_3$

Da última equação do sistema:

$\frac{xy+xz+yz}{xyz} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{\frac{a_1}{a_3}}{-\frac{a_0}{a_3}} = \frac{1}{4} \Rightarrow a_0 = -4a_1$

Ou seja $a_0 = 4 \cdot (12 a_3) \Rightarrow a_0 = -48a_3$ . Finalmente, podemos usar as somas de Newton:

$a_3S_3 + a_2S_2+a_1S_1+a_0S_0 = 0$

Teremos:

$a_3 \cdot S_3 + (-7a_3)\cdot 25 + (12a_3)\cdot 7 + (-48a_3)\cdot 3 = 0$

Como $a_3 \ne 0$ , temos:

$S_3 - 175 + 84 - 144 = 0 \Rightarrow S_3 = 235$

Chegando à opção B.

Como observação, não nos estendemos sobre as somas de Newton, mas o faremos em momento oportuno!!!

Até a próxima!

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[LSB]

ITA: uma Questão de Combinatória!

Olá leitor!

Segue uma questão sobre análise combinatória trazida até mim.

(ITA) Uma escola possui $18$ professores, sendo $7$ de Matemática, $3$ de Física e $4$ de Química. De quantas maneiras podemos formar comissões de $12$ professores de modo que cada uma contenha exatamente $5$ professores de Matemática, no mínimo $2$ de Física e no máximo $4$ de Química?
a) $875$
b) $1877$
c) $1995$
d) $2877$
e) N.D.A.
Enviada por Caio Franco

Esse é o tipo de problema que a boa e velha tática de separar em casos ajuda bastante. Vamos montar uma tabela com as possibilidades de números de professores, sendo $M$ para Matemática; $F$ para Física; $Q$ para Química e $O$ para as outras disciplinas.

$\begin{array}{c | c | c | c} M & F & Q & O \\ \hline 5 & 3 & 0 & 4 \\ 5 & 3 & 1 & 3 \\ 5 & 3 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 1 & 4 \\ 5 & 2 & 2 & 3 \\ \end{array}$

Assim, o total de escolhas será:

${7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 0} \cdot {4 \choose 4} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 3} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 3} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 2} \cdot {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 4} + {7 \choose 5} \cdot {3 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} \cdot {4 \choose 3}$

Podemos colocar ${7 \choose 5}$ em evidência:

${7 \choose 5} \cdot (1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 4 \cdot 4 + 1 \cdot 6 \cdot 6 + 3 \cdot 4 \cdot 1 + 3 \cdot 6 \cdot 4) = \frac{7!}{5! \cdot 2!} \cdot (1 +16 + 36 + 12 + 72) = 21 \cdot 137 = 2877$

Opção D.

Uma questão não tão difícil, mas no padrão que se espera do ITA.

Até a próxima!

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[LSB]

Números Binomiais

Olá, leitores!

estamos de volta. Desta vez, vamos resolver dois problemas envolvendo números binomiais. Só pra lembrar, um número binomial é definido como ${n \choose p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ , com $p \leq n$ e $n,p \in \mathbb{N}$ em que o símbolo $n!$ é o fatorial do número $n$ . Vamos lá:

Calcular:
$2 \cdot {n \choose 2} - {n+1 \choose 2} = 9$
Enviado por Stephanie Wenceslau

Desenvolvendo, de acordo com a definição:

$2 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} - \frac{(n+1)!}{2!(n+1-2)!} = 9$

Daí:

$2 \cdot \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot (n-2)!} - \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{2 \cdot (n-1)!} = 9$

Simplificando:

$n \cdot (n-1) - \frac{(n+1) \cdot n }{2} = 9$

Continuando:

$n^2 - n - \frac{n^2+n}{2} = 9 \Rightarrow 2n^2 - 2n - n^2 - n = 18$

Finalmente teremos $n^2 -3n - 18 = 0$ . As raízes são $n_1 = 6$ e $n_2 = -3$ . Como $n \in \mathbb{N}$ teremos $n = 6$ .

Calcular:
${n+3 \choose n} = 56$
Enviado por Stephanie Wenceslau

Vamos lá, desenvolvendo:

$\frac{(n+3)!}{n!(n+3-n)!} = 56$

Teremos:

$\frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1) \cdot n!}{n! \cdot 3!} = 56$

Cancelando os devidos termos:

$\frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)}{6} = 56 \Rightarrow (n+3)(n+2)(n+1) = 6 \cdot 56 = 6 \cdot 7 \cdot 8$

Veja que, por mera observação, ja que $n \in \mathbb{N}$ temos $n = 5$ .

E aí? O que achou?

Até a próxima!

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[LSB]

Tira-Teima #14

Dúvida enviada por Priscila.

(CETF-RJ/2007/Q11) Ao dividirmos o termo de ordem $14$ de uma P.A. pelo termo de ordem $5$ , obteremos $7$ por resposta. Ao se dividir o décimo termo dessa seqüência pelo terceiro termo, obteremos o quociente $5$ e o resto $3$ . A soma dos termos da P.G. cuja razão e o primeiro termo são os mesmos da P.A. é:

Solução: Do enunciado sabemos que $\frac{a_{14}}{a_5} = 7$ e que $a_{10} = 5a_3 + 3$ .

Mas sabemos que $a_{14} = a_1 + 13r$ e que $a_5 = a_1 + 4r$ , então:

$\frac{a_1 + 13r}{a_1 + 4r} = 7 \Rightarrow a_1 + 13r = 7a_1 + 28 r$

Com isso chegamos a $a_1 = -\frac{5r}{2}$ .

Além disso, $a_{10} = a_1 + 9r$ e $a_3 = a1 + 2r$ . Voltando ao enunciado podemos escrever:

$a_1 + 9r = 5a_1 +10r + 3 \Rightarrow -4a_1 = r+ 3$

Substituindo o $a_1$ encontrado:

$-4 \cdot (-5) \cdot \frac{r}{2} = r+3$

Então $r = \frac{1}{3}$ . E, deste modo, $a_1 = - \frac{5}{6}$ . Como a soma $S$ dos termos de uma P.G. com razão $q$ tal que $\vert q \vert < 1$ é $S = \frac{a_1}{1-q}$ , podemos fazer: