Desenvolvimento de um Binômio

Olá leitores!

Trazemos uma dúvida envia por uma leitora. A dúvida segue, e também sua resolução. Vamos lá:

Calcule o termo em x^8 no desenvolvimento (x^2 + \frac{1}{x})^{10}.

Enviada por Stephanie Wenceslau.

Bom, sabemos que o termo geral do desenvolvimento de um binômio de Newton é dado por T_{p+1} = {n \choose p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p. Assim, nosso termo geral será da forma:

T_{p+1} = {10 \choose p} \cdot (x^2)^{10 - p} \cdot (\frac{1}{x})^p

Então:

T_{p+1} = {10 \choose p} \cdot x^{2(10 - p)} \cdot (x)^{(-p)} \Rightarrow T_{p+1} = {10 \choose p} \cdot x^{2(10 - p) - p}

Como queremos x^8, teremos 2(10-p) - p = 8, finalmente 20 - 3p = 8, logo p = 4. Assim, o termo procurado é o quinto termo. Teremos:

T_5 = {10 \choose 4} \cdot x^8

O número binomial é {10 \choose 4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot  8 \cdot  7 \cdot  6!}{4! \cdot 6!} = 210. Assim, o termo procurado é T_5 = 210x^8.

Bons estudos!

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Desenvolvimento do Binômio de Newton

Olá leitores!

Trago uma dúvida enviada hoje que tem a ver com o desenvolvimento do binômio de Newton ou com o desenvolvimento da n-ésima potência natural de (x+a), ou seja, (x+a)^n. Segue a dúvida:

Calcular o termo em x^5 no deslvolvimento de (x + \frac{2}{x^2})^8.

Milena Figueiredo

Sabemos que o termo geral na posição p+1 do binômio (x+a)^n é dado por:

T_{p+1} = {n \choose p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p

Então, usando no nosso problema teremos:

T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{8-p} \cdot (\frac{2}{x^2})^p

Que desenvolvido será:

T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{(8-p) - 2p} \cdot 2^p \Rightarrow T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{8-3p} \cdot 2^p

Para que tenhamos x^5, devemos ter 8-3p = 5, logo p = 1. Veja:

T_2 = {8 \choose 1} \cdot x^5 \cdot 2^1 \Rightarrow T_2 = 16x^5

Para ter mais confiança, sugiro desenvolver os três primeiros termos, já que sabemos que este é o segundo termo do desenvolvimento.

Deixo também uma playlist minha sobre o assunto:


Até.

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Pré-AFA 2019 | Listas das Semana #7 e #8

Olá leitores.

As últimas duas semanas foram bastante corridas. Mas, como prometido e previsto, aqui estão as listas das últimas duas semanas pra que vocês possam se divertir bastante ao longo do carnaval de 2019:

Bom, essas foram as listas da semana #7 e #8.

Bom carnaval.

Pré-AFA 2019 | Listas da Semana #6

Como prometido, estamos de volta com as listas da sexta semana do curso da pré-AFA 2019 no Curso Lincoln. Os arquivos seguem abaixo.

Mais uma semana bem produtiva. Aproveitem e divirtam-se neste fim de semana com essas listas.

Grande abraço.

[LSB]