EEAr: Mais um Simulado!

Olá leitor.

Hoje trazemos mais um simulado para a EEAr, com 24 questões de matemática mais focadas em geometria, com geometria plana e espacial.

Seguem as questões no link abaixo:

Simulado_10_Eear Baixar

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[LSB]

EsPCEx: um Pequeno Simulado!

Olá leitor.

Hoje trazemos um pequeno simulado de matemática para a EsPCEx. Com 20 questões, envolvendo vários assuntos diferentes.

Simulado_9_Espcex Baixar

Espero que te ajude.

Bons estudos.

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EEAr: um Simulado de Revisão

Olá leitor!

Está estudando para a EEAr? Segue então um simulado com 24 questões de matemática para a EEAr. Serve como revisão geral para você que fará a prova no próximo dia 30/5.

Simulado_Eear_3 Baixar

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EEAr: Uma Lista Geral de Revisão

Olá leitores.

A primeira prova da EEAr de 2021 está chegando, e com ela se intensificam as aulas de revisão e aprofundamento. Deixamos então aqui uma lista de revisão com cerca de 25 exercícios de temas gerais de provas anteriores da EEAr.

Lista_Gerais_8 Baixar

Espero que esta lista te ajude a ficar ainda mais preparado para o concurso.

Bons estudos!

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Escola Naval: 32 Questões Gerais de Revisão

Olá pessoal!

Está de bobeira aí?!

Seguem, então, $32$ questões de provas antigas (bem antigas, da década de 90!) da Escola Naval, todas com GABARITO para sua revisão nesta reta final!

Divirtam-se:

Lista_Gerais_7 Baixar

Bons estudos e boa semana!

[LSB]

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Escola Naval: Sobre Fatorial e Divisores

Olá leitores.

Recebi estes dias uma dúvida que envolve o fatorial de um número e sua divisibilidade por $21$ . Vamos ver o enunciado e resolver:

(EN) O fatorial de $2020$ é divisível por $21^n$ . O maior valor inteiro de $n$ é:
a) $96$
b) $288$
c) $334$
d) $440$
e) $673$
Marcus Tavares

Bom, vamos ao que interessa. Para que um número seja divisível por $21$ é necessário que ele seja divisível por $3$ e por $7$ . Então vejamos o seguinte: $7!$ só é divisível por $21^0$ e $21^1$ , pois:

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Assim, fica claro que calculando $\frac{7!}{21}$ teremos um inteiro, pois temos um fator de $7$ e, pelo menos, um fator de $3$ em $7!$ . Se continuarmos investigando os fatoriais consecutivos e maiores que $7!$ , isto não ocorrerá novamente até o $14!$ , veja:

$14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Fica explícito que $14!$ é divisível por $21^2$ , mas não por $21^3$ , pois há apenas dois fatores de $7$ , sendo um no próprio $7$ e o outro no $14$ , embora haja muito mais fatores de $3$ .

Esse processo continua da mesma maneira até chegarmos ao $49!$ , pois $49 = 7^2$ , acrescentando, por sua vez, dois fatores de $7$ . Chegamos, a partir daí a seguinte conclusão:

cada múltiplo de $7$ acrescenta um fator de $7$ ;
cada múltiplo de $49 = 7^2$ acrescentará dois fatores de $7$ , dos quais um já foi contado nos fatores de $7$ ;
cada fator de $343 = 7^3$ acrescentará três fatores de $7$ , dos quais dois já foram contados: um deles nos múltiplos de $7$ e o outro nos múltiplo de $49$ ;

Então vamos lá! Vamos calcular quantos múltiplos de $7,49,343,\ldots$ há de $1$ a $2020$ :

Sabemos que $2020 = 7 \cdot 288 + 4$ , logo há $288$ múltiplos de $7$ de $1$ a $2020$ ;
Continuando, temos $2020 = 49 \cdot 41 + 11$ , portanto, há $41$ múltiplos de $49$ no mesmo intervalo; e
Finalmente, $2020 = 343 \cdot 5 + 305$ , havendo, então, $5$ múltiplos.
Não há múltiplos de $7^4$ , pois $7^4 = 2401 > 2020$ .

Contando agora teremos:

$n = 288 + 41 + 5 = 334$ fatores de $7$ em $2020!$

Veja que, se a pergunta fosse, “quantos são os possíveis valores inteiros de $n$ “, ainda incluiríamos o zero, ficando com $335$ valores possíveis, sendo o $334$ o maior deles!

Espero ter esclarecido!

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[LSB]

Aplicação da Identidade de Polinômios

Olá leitor!

Hoje trazemos uma questão que serve pra exemplificar a identidade de polinômios. Vamos lembrar que dois polinômios se tem exatamente os mesmos coeficientes para os mesmos termos. Isto é:

$P_1(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$

É idêntico a

$P_2(x) = b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \ldots + b_1x + b_0$

Somente se $a_n = b_n$ , $a_{n-1} = b_{n-1}$ , $\ldots$ , $a_0 = b_0$ . Assim, queremos resolver o seguinte problema:

Determinar a condição necessária e suficiente para que a expressão $\frac{a_1x^2 + b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}$ , em que $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ são reais e não nulos, assuma um valor que não dependa de $x$ .
Enviado por Paolla Souza

Se a expressão não depende de $x$ , ela sempre assume um valor $k \in \mathbb{R}$ para qualquer $x \in \mathbb{R}$ . Assim, teremos:

$\frac{a_1x^2 + b_1x + c_1}{a_2x^2 + b_2x + c_2} = k$

E, portanto:

$a_1x^2 + b_1x + c_1 = ka_2x^2 + kb_2x + k_2c_2$

Ou seja, da identidade de polinômios:

$a_1 = ka_2$ , $b_1 = kb_2$ e $c_1 = kc_2$

Fica claro que:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$

Por exemplo, veja só:

Seja $k = 2$ e, vamos escolher os coeficientes: $\frac{2x^2 + 4x + 2}{x^2+ 2x +1} = 2$ para todo $x \in \mathbb{R} - \{-1\}$ , porque $-1$ é raiz do denominador, obviamente.

Espero ter ajudado.

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[LSB]

Sobre Trinômios Quadrados Perfeitos

Olá leitor.

Hoje, trago uma dúvida essencialmente simples que depende, de forma elementar, da identidade entre dois polinômios. Vamos lá:

Qual a condição para que $ax^2 + bx + c$ seja um quadrado perfeito?
Enviado por Paolla Souza

Como queremos que o trinômio seja um quadrado perfeito, basta pensar da seguinte maneira:

$ax^2 + bx + c \equiv (mx+n)^2$

Veja que essa é a condição mais geral que podemos ter, partindo do desenvolvimento de um binômio. Deste modo:

$ax^2 + bx + c \equiv m^2x^2 + 2mnx + n^2$

Teremos o seguinte sistema:

$\left\{ \begin{array}{l} a = m^2 \\ b = 2 mn \\ c = n^2 \\ \end{array} \right.$

Da segunda equação, veja que $b^2 = 4m^2n^2$ , portanto, $b = 4ac$ . Daí vemos que uma condição simples é $b = 0$ com, por exemplo, $c = 0$ , mas implicando não termos um trinômio propriamente dito, mas um monômio…

Continuando a análise, é possível verificar que, tanto $a$ quanto $c$ , se não nulos, devem ser positivos, pois sendo reais, são os quadrados de $m$ e $n$ respectivamente.

Podemos tirar a prova real, veja que $a x^2 \pm 2\sqrt{ac} x + c \equiv (\sqrt{a}x \pm \sqrt{c} )^2$ , com as condições vistas anteriormente. Assim, como vimos, a condição é que se tenha $a \cdot c \ne 0$ , $a,c > 0$ e $b^2 = 4ac$ , com $a,b,c \in \mathbb{R}$ .

Espero ter ajudado e até!

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[LSB]

Qual a posição do número?

Olá leitor!

Hoje trazemos mais uma questão trazida por uma leitora. Vamos ao enunciado:

Formados e dispostos em ordem crescente, os números que se obtém, permutando-se os algarismos $2$ , $3$ , $4$ , $8$ e $9$ , que lugar ocupa o número $43892$ ?
Stephanie Wenceslau

Bom, esta é uma mera questão de permutações simples em que, uma organização do raciocínio resolve o problema. Veja que, temos cinco posições para preencher com cinco algarismos. Como eles devem estar em ordem crescente:

Se o primeiro algarismo for o $2$ ou o $3$ , não importam os demais, sempre teremos um número menor que $43892$ . Então temos um total de $2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 48$ números.
Se o primeiro algarismo for o $4$ e o seguinte for o $2$ , não importam os demais, sempre teremos um número menor que $43892$ . Então temos um total de $1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ números.
Se o primeiro algarismo for o $4$ e o seguinte for o $3$ , o próximo deve ser o $2$ e não importam os demais, pois sempre teremos um número menor que $43892$ . Então temos um total de $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$ números.
Se o primeiro algarismo for o $4$ , o segundo for o $3$ e o terceiro for o $8$ o próximo deve ser o $2$ e o último o $9$ , havendo apenas uma possibilidade.

Até aqui temos $48 + 6 + 2 + 1 = 57$ números. Portanto, o próximo número é o $58\textsuperscript{\d o}$ .

Espero ter ajudado!

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Até!

[LSB]

AFA: Números Binomiais em P.A.

Sejam bem vindos!

Mais uma dúvida trazida por um leitor e, hoje, envolvendo os números binomiais e as progressões aritméticas, vulgarmente conhecidas como P.A.’s. Então vamos ao enunciado:

(AFA) Os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento de $(1+x)^n$ estão em progressão aritmética. Se $n \leq 13$ , então o valor de $2n + 1$ é:
a) $7$
b) $13$
c) $15$
d) $27$
Enviado por Arthur Pereira

Vamos lembrar que o termo geral do desenvolvimento do binômio $(x+a)^n$ é:

$T_{p+1} = {n \choose p} x^{n - p} a^p$

No nosso caso $x = 1$ e $a = x$ . Assim, temos para o quinto termo ficamos com:

$T_5 = {n \choose 4} 1^{n - 4} x^4$

Para o sexto e o sétimo, respectivamente:

$T_6 = {n \choose 5} 1^{n - 5} x^5$

$T_7 = {n \choose 6} 1^{n - 6} x^6$

Então, ${n \choose 4}$ , ${n \choose 5}$ e ${n \choose 6}$ formam a nossa P.A, nesta ordem. Portanto, sabemos que existe a relação:

$2{n \choose 5} = {n \choose 4} + {n \choose 6}$

Desenvolvendo cada número binomial, podemos escrever:

$2 \cdot \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$

Então:

$2 \cdot \frac{n!}{5 \cdot 4!(n-5)(n-6)!} = \frac{n!}{4!(n-4)(n-5)(n-6)!} + \frac{n!}{6 \cdot 5 \cdot 4!(n-6)!}$

Dividindo todas as parcelas por $\frac{n!}{4!(n-6)!}$ teremos a seguinte expressão:

$\frac{2}{5(n-5)} = \frac{1}{(n-4)(n-5)} + \frac{1}{30}$

Fazendo o mínimo múltiplo comum:

$\frac{12(n-4)}{30(n-4)(n-5)} = \frac{30}{30(n-4)(n-5)} + \frac{(n-4)(n-5)}{30(n-4)(n-5)}$

Desenvolvendo:

$12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20$

Finalmente chegamos à $n^2 - 21n + 98 = 0$ , cujas raízes são $n = 14$ e $n = 7$ . Do enunciado sabemos que $n \leq 13$ , portanto, $n = 7$ . Como queremos $2n + 1$ , sabemos que o resultado final é $15$ . Opção C.

Como observação adicional, vale perceber que se tivéssemos simplesmente desenvolvido o triângulo de Pascal até a linha $7$ , chegaríamos ao mesmo resultado por observação.

É isso.

Até