Sobre Trinômios Quadrados Perfeitos

Olá leitor.

Hoje, trago uma dúvida essencialmente simples que depende, de forma elementar, da identidade entre dois polinômios. Vamos lá:

Qual a condição para que ax^2 + bx + c seja um quadrado perfeito?

Enviado por Paolla Souza

Como queremos que o trinômio seja um quadrado perfeito, basta pensar da seguinte maneira:

ax^2 + bx + c \equiv (mx+n)^2

Veja que essa é a condição mais geral que podemos ter, partindo do desenvolvimento de um binômio. Deste modo:

ax^2 + bx + c \equiv m^2x^2 + 2mnx + n^2

Teremos o seguinte sistema:

\left\{ \begin{array}{l} a = m^2 \\ b = 2 mn \\ c = n^2 \\ \end{array} \right.

Da segunda equação, veja que b^2 = 4m^2n^2, portanto, b = 4ac. Daí vemos que uma condição simples é b = 0 com, por exemplo, c = 0, mas implicando não termos um trinômio propriamente dito, mas um monômio…

Continuando a análise, é possível verificar que, tanto a quanto c, se não nulos, devem ser positivos, pois sendo reais, são os quadrados de m e n respectivamente.

Podemos tirar a prova real, veja que a  x^2 \pm 2\sqrt{ac} x + c  \equiv (\sqrt{a}x \pm \sqrt{c} )^2, com as condições vistas anteriormente. Assim, como vimos, a condição é que se tenha a \cdot c \ne 0, a,c > 0 e b^2 = 4ac, com a,b,c \in \mathbb{R}.

Espero ter ajudado e até!

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