Trinômio – Mentor

Olá leitor.

Hoje, trago uma dúvida essencialmente simples que depende, de forma elementar, da identidade entre dois polinômios. Vamos lá:

Qual a condição para que $ax^2 + bx + c$ seja um quadrado perfeito?
Enviado por Paolla Souza

Como queremos que o trinômio seja um quadrado perfeito, basta pensar da seguinte maneira:

$ax^2 + bx + c \equiv (mx+n)^2$

Veja que essa é a condição mais geral que podemos ter, partindo do desenvolvimento de um binômio. Deste modo:

$ax^2 + bx + c \equiv m^2x^2 + 2mnx + n^2$

Teremos o seguinte sistema:

$\left\{ \begin{array}{l} a = m^2 \\ b = 2 mn \\ c = n^2 \\ \end{array} \right.$

Da segunda equação, veja que $b^2 = 4m^2n^2$ , portanto, $b = 4ac$ . Daí vemos que uma condição simples é $b = 0$ com, por exemplo, $c = 0$ , mas implicando não termos um trinômio propriamente dito, mas um monômio…

Continuando a análise, é possível verificar que, tanto $a$ quanto $c$ , se não nulos, devem ser positivos, pois sendo reais, são os quadrados de $m$ e $n$ respectivamente.

Podemos tirar a prova real, veja que $a x^2 \pm 2\sqrt{ac} x + c \equiv (\sqrt{a}x \pm \sqrt{c} )^2$ , com as condições vistas anteriormente. Assim, como vimos, a condição é que se tenha $a \cdot c \ne 0$ , $a,c > 0$ e $b^2 = 4ac$ , com $a,b,c \in \mathbb{R}$ .