Qual a posição do número?

Olá leitor!

Hoje trazemos mais uma questão trazida por uma leitora. Vamos ao enunciado:

Formados e dispostos em ordem crescente, os números que se obtém, permutando-se os algarismos 2, 3, 4, 8 e 9, que lugar ocupa o número 43892?

Stephanie Wenceslau

Bom, esta é uma mera questão de permutações simples em que, uma organização do raciocínio resolve o problema. Veja que, temos cinco posições para preencher com cinco algarismos. Como eles devem estar em ordem crescente:

  • Se o primeiro algarismo for o 2 ou o 3, não importam os demais, sempre teremos um número menor que 43892. Então temos um total de 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 48 números.
  • Se o primeiro algarismo for o 4 e o seguinte for o 2, não importam os demais, sempre teremos um número menor que 43892. Então temos um total de 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 números.
  • Se o primeiro algarismo for o 4 e o seguinte for o 3, o próximo deve ser o 2 e não importam os demais, pois sempre teremos um número menor que 43892. Então temos um total de 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2 números.
  • Se o primeiro algarismo for o 4, o segundo for o 3 e o terceiro for o 8 o próximo deve ser o 2 e o último o 9, havendo apenas uma possibilidade.

Até aqui temos 48 + 6 + 2 + 1 = 57 números. Portanto, o próximo número é o 58\textsuperscript{\d o}.

Espero ter ajudado!

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AFA: Números Binomiais em P.A.

Sejam bem vindos!

Mais uma dúvida trazida por um leitor e, hoje, envolvendo os números binomiais e as progressões aritméticas, vulgarmente conhecidas como P.A.’s. Então vamos ao enunciado:

(AFA) Os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento de (1+x)^n estão em progressão aritmética. Se n \leq 13, então o valor de 2n + 1 é:

a) 7

b) 13

c) 15

d) 27

Enviado por Arthur Pereira

Vamos lembrar que o termo geral do desenvolvimento do binômio (x+a)^n é:

T_{p+1} = {n \choose p} x^{n - p} a^p

No nosso caso x = 1 e a = x. Assim, temos para o quinto termo ficamos com:

T_5 = {n \choose 4} 1^{n - 4} x^4

Para o sexto e o sétimo, respectivamente:

T_6 = {n \choose 5} 1^{n - 5} x^5

E

T_7 = {n \choose 6} 1^{n - 6} x^6

Então, {n \choose 4}, {n \choose 5} e {n \choose 6} formam a nossa P.A, nesta ordem. Portanto, sabemos que existe a relação:

2{n \choose 5} = {n \choose 4} + {n \choose 6}

Desenvolvendo cada número binomial, podemos escrever:

2 \cdot \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}

Então:

2 \cdot \frac{n!}{5 \cdot 4!(n-5)(n-6)!} = \frac{n!}{4!(n-4)(n-5)(n-6)!} + \frac{n!}{6 \cdot 5 \cdot 4!(n-6)!}

Dividindo todas as parcelas por \frac{n!}{4!(n-6)!} teremos a seguinte expressão:

\frac{2}{5(n-5)} = \frac{1}{(n-4)(n-5)} + \frac{1}{30}

Fazendo o mínimo múltiplo comum:

\frac{12(n-4)}{30(n-4)(n-5)} = \frac{30}{30(n-4)(n-5)} + \frac{(n-4)(n-5)}{30(n-4)(n-5)}

Desenvolvendo:

12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20

Finalmente chegamos à n^2 - 21n + 98 = 0, cujas raízes são n = 14 e n = 7. Do enunciado sabemos que n \leq 13, portanto, n = 7. Como queremos 2n + 1, sabemos que o resultado final é 15. Opção C.

Como observação adicional, vale perceber que se tivéssemos simplesmente desenvolvido o triângulo de Pascal até a linha 7, chegaríamos ao mesmo resultado por observação.

É isso.

Até

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AFA: Análise Combinatória

Olá pessoal!

Mais uma dúvida enviada. Desta vez uma questão da AFA sobre análise combinatória. Vamos ver o enunciado:

(AFA) Cinco rapazes e cinco moças devem posar para uma fotografia, ocupando cinco degraus de uma escadaria, com um casal em cada degrau. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar este grupo?

a) 1280

b) 70400

c) 332000

d) 460800

Enviada por Stephanie Wenceslau

Bom, podemos pensar em cada lugar como sendo uma posição que pode ser ocupada por cada uma das 10 pessoas. Assim o primeiro degrau tem 2 posições, o segundo também e, assim por diante. Uma configuração possível é H_1M_1H_2M_2H_3M_3H_4M_4H_5M_5, em que H_n representa um dos homens ; M_n, uma das mulheres. Como temos cinco homens e cinco mulheres, teremos inicialmente o seguinte:

5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 5! \cdot 5! = 120 \cdot 120 = 14400 maneiras

Este é o total de maneiras de colocar casais nos degraus, mas sem ordená-los entre si. Veja que, por exemplo, só estamos considerando que, no primeiro degrau, bem como nos demais, o homem vem antes da mulher. Então, como podemos inverter em cada degrau o homem e a mulher de posição, teremos ainda duas maneiras para cada, totalizando, para cada uma das 14400 maneiras, um total de 2 \cdot 2  \cdot 2  \cdot 2  \cdot 2 = 32 modificações. Finalmente, o total geral é 14400 \cdot 32 = 460800 maneiras. Opção D.

Espero ter esclarecido.

Bons estudos!

Até!

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Análise Combinatória e Múltiplos de 3

Olá, leitores!

Hoje trazemos uma dúvida trazida por uma de nossas leitoras. Segue o enunciado:

Calcule quantos múltiplos de 3, de 4 algarismos distintos, podem ser formados com 2, 3, 4, 6 e 9.

Stephanie Wenceslau

Bom, em primeiro lugar, para que um número qualquer, seja ele de 4 algarismos distintos ou não, seja múltiplo de 3 a soma de seus algarismos deve ser um número divisível por 3. Vamos separar, então em casos diferentes:

  1. Se o número é composto apenas por algarismos múltiplos de 3, certamente ele é múltiplo de 3. Para este caso, não há possibilidades, pois os algarismos devem ser distintos e só há 3 múltiplos de 3. Basta ver que temos 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0 números.
  2. Como são cinco números disponíveis e usaremos quatro deles, já sabendo que não podem ser três múltiplos de 3 , teremos as seguintes possibilidades:
    1. Não usar o algarismo 3, daí a soma dos restantes é 2 + 4 + 6 + 9 = 21, sendo múltiplo de 3. Serão 4! = 24 números.
    2. Não usar o algarismo 6, daí a soma dos restantes é 2 + 3 + 4 + 9 = 18, sendo múltiplo de 3. Serão 4! = 24 números.
    3. Não usar o algarismo 9, daí a soma dos restantes é 2 + 3 + 4 + 6 = 15, sendo múltiplo de 3. Serão 4! = 24 números.
  3. Veja que não há como usar apenas um algarismo múltiplo de 3, pois há três algarismos múltiplos de 3 dentre cinco e usaremos quatro deles.

Assim temos um total de 24 + 24 + 24 =  72 números.

Pensando em outra abordagem, podemos ver o seguinte: a soma de todos os algarismos é 2 + 3 + 4 + 6 + 9 = 24. Como a soma total já é múltipla de 3, para termos uma soma total, usando apenas 4 algarismos, também múltipla de 3, só poderemos retirar um múltiplo de 3 dentre os existentes. Portanto, escolhemos primeiro um dos três múltiplos de 3 para retirar, sendo {3 \choose 1} = 3 maneiras e, os 4 algarismos restantes, formam o número de 4! maneiras possíveis. Daí, para cada algarismo retirado (que são 3 opções) temos esse total de permutações dos algarismos restantes, ou seja, 3 \times 4! = 72 números possíveis.

Espero ter respondido!

Até.

[LSB]

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Desenvolvimento de um Binômio

Olá leitores!

Trazemos uma dúvida envia por uma leitora. A dúvida segue, e também sua resolução. Vamos lá:

Calcule o termo em x^8 no desenvolvimento (x^2 + \frac{1}{x})^{10}.

Enviada por Stephanie Wenceslau.

Bom, sabemos que o termo geral do desenvolvimento de um binômio de Newton é dado por T_{p+1} = {n \choose p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p. Assim, nosso termo geral será da forma:

T_{p+1} = {10 \choose p} \cdot (x^2)^{10 - p} \cdot (\frac{1}{x})^p

Então:

T_{p+1} = {10 \choose p} \cdot x^{2(10 - p)} \cdot (x)^{(-p)} \Rightarrow T_{p+1} = {10 \choose p} \cdot x^{2(10 - p) - p}

Como queremos x^8, teremos 2(10-p) - p = 8, finalmente 20 - 3p = 8, logo p = 4. Assim, o termo procurado é o quinto termo. Teremos:

T_5 = {10 \choose 4} \cdot x^8

O número binomial é {10 \choose 4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot  8 \cdot  7 \cdot  6!}{4! \cdot 6!} = 210. Assim, o termo procurado é T_5 = 210x^8.

Bons estudos!

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Números Binomiais

Olá, leitores!

estamos de volta. Desta vez, vamos resolver dois problemas envolvendo números binomiais. Só pra lembrar, um número binomial é definido como {n \choose p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}, com p \leq n e n,p \in \mathbb{N} em que o símbolo n! é o fatorial do número n. Vamos lá:

Calcular:

2 \cdot {n \choose 2} - {n+1 \choose 2} = 9

Enviado por Stephanie Wenceslau

Desenvolvendo, de acordo com a definição:

2 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} - \frac{(n+1)!}{2!(n+1-2)!} = 9

Daí:

2 \cdot \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot (n-2)!} - \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{2 \cdot (n-1)!} = 9

Simplificando:

n \cdot (n-1) - \frac{(n+1) \cdot n }{2} = 9

Continuando:

n^2 - n - \frac{n^2+n}{2} = 9 \Rightarrow 2n^2 - 2n - n^2 - n = 18

Finalmente teremos n^2 -3n - 18 = 0. As raízes são n_1 = 6 e n_2 = -3. Como n \in \mathbb{N} teremos n = 6.

Calcular:

{n+3 \choose n} = 56

Enviado por Stephanie Wenceslau

Vamos lá, desenvolvendo:

\frac{(n+3)!}{n!(n+3-n)!} = 56

Teremos:

\frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1) \cdot n!}{n! \cdot 3!} = 56

Cancelando os devidos termos:

\frac{(n+3) \cdot (n+2) \cdot (n+1)}{6} = 56 \Rightarrow (n+3)(n+2)(n+1) = 6 \cdot 56 = 6 \cdot 7 \cdot 8

Veja que, por mera observação, ja que n \in \mathbb{N} temos n = 5.

E aí? O que achou?

Até a próxima!

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Problemas de Máximo e Mínimo

Olá leitores!

Hoje trazemos mais uma dúvida de uma de nossas leitoras. Esta dúvida envolve o conceito de máximo e mínimo envolvendo o trinômio do segundo grau. Vamos lá:

Um restaurante a quilo vende 200 quilos de comida por dia, a 40 reais o quilo. Uma pesquisa de opinião revelou que, cada aumento de um real no preço do quilo, o restaurante perde oito clientes por dia, com um consumo médio de 500 gramas cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida, em reais, para que o restaurante tenha a maior receita possível por dia?

a) 52

b) 51

c) 46

d) 45

e) 42

Enviado por Laura Helena

Bom, vamos lá. Para saber quanto o restaurante ganha por dia com a venda de refeições, sabemos que o total, em reais, será o quantos quilos de comida são vendidas por dia para cada cliente multiplicado pelo preço do quilo e pelo número total de clientes. Por exemplo, se são vendidos 0,5 quilo a 40 reais para cada quilo e são 100 clientes no dia, teremos um total de 0,5 \times 40 \times 100 = 2000 reais por dia.

Daí, vamos nomear as variáveis. Chamaremos de q o total de quilos vendidos por dia no restaurante; de p o preço do quilo neste restaurante; x vai ser o número de reais aumentados no preço do quilo.

Antes de escrever a função que calcula o total, precisamos saber quanto cada cliente consome em média. No enunciado, é dito que cada cliente consome 500 g (no caso 0,5 kg) e são vendidos q = 200 quilos por dia. Ou seja, \frac{200}{0,5} = 400 clientes por dia.

Do enunciado também sabemos que a cada aumento de um real no preço teremos oito clientes a menos. Assim, ao aumentar x reais, no preço, tornando-o p + x, diminuiremos 8x clientes no total. Veja: se aumentamos 3 reais, perdemos 3 \times 8 = 24 clientes. Agora sim, vamos lá.

A arrecadação (receita) do restaurante R(x) é dada por:

R(x) = (p + x) \cdot (\frac{q}{0,5} - 8x)

Substituindo os valores de p e q:

R(x) = (40 + x) \cdot (400 - 8x)

Vamos testar esta expressão. Se x = 0, teremos R(0) = 40 \cdot 400 = 16000 reais. Mas ao aumentar, por exemplo, um real x = 1, teremos um preço de 41 reais, porém 400 - 8 \cdot 1 = 392 clientes. Na função, teríamos:

R(1) = (40 + 1) \cdot (400 - 8) = 41 \times 392 = 16072 reais

Agora vamos desenvolver a função:

R(x) = -8x^2 + 80x + 16000

A receita máxima ocorre para x_V = -\frac{80}{2 \cdot (-8)}= \frac{80}{16} = 5. Como o preço inicial era de 40 reais, sabemos que o preço para o qual a receita é máxima é o de 45 reais. Opção D.

Veja que a variação é pequena e dava pra “chutar” olhando as opções.

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EFOMM: Análise Combinatória

Olá leitores!

Hoje trago mais uma duvida enviada por um de nossos leitores. É uma questão da EFOMM, envolvendo análise combinatória ou, um problema de contagem, como gosto atualmente de dizer. O enunciado segue:

(EFOMM) Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS não havendo duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas?

a) 24

b) 120

c) 480

d) 1920

e) 3840

Enviada por Artur Ardasse

Bom, em primeiro lugar é preciso saber que anagrama é qualquer combinação das letras de uma palavra. Se ela tem n letras, então teremos um total de n! anagramas. Quando há \alpha letras iguais, o total de anagramas é \frac{n!}{\alpha !}. Mas, no nosso problema, as vogais e as consoantes devem se alternar, já que não podem estar juntas.

Assim, se C representa uma das consoantes e V uma das vogais, as palavras serão da forma C_1V_1C_2V_2C_3V_3C_4V_4C_5. Como há mais vogais que consoantes, não há como começar com uma vogal (caso queira, pense no caso da palavra CARAVELA. Neste exemplo, poderíamos começar com vogal ou com consoante.).

Assim, como há 5 consoantes e 4 vogais, teremos 5 \times 4 \times 4 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 5! \cdot 4!. Este é o total de anagramas sem considerar que há três letras “A” repetidas. Precisamos então, descontar estas repetições.

Portanto, nosso total será \frac{5! \cdot 4!}{3!} = \frac{120 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 480 anagramas. Temos assim a opção C.

Como observação final, pense em como faríamos se o enunciado pedisse anagramas em que temos vogais consecutivas ou consoantes consecutivas. Veja que agora que queremos “OU” e não “E”. Alguma coisa muda? Ou não? Pense nisso!

Até a próxima!

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Jacobi, Laplace, Sarrus e, talvez… Chió?

Olá leitores!

Hoje trazemos uma dúvida de dois leitores. Vamos lá:

Calcule \det(A) sabendo que A = \left(\begin{array}{ccccc} 4 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 4 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 4 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 4 \\ \end{array}\right).

a) 64

b) 128

c) 16

d) 32

e) 8

Milena Figueiredo e Artur Ardasse

Vamos à solução:

Primeiro vamos usar o Teorema de Jacobi, multiplicando a primeira linha por (-1) e somando a cada uma das demais:

\det A = \left \vert \begin{array}{rrrrr} 4 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\-1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right \vert

A partir daí, podemos usar o Teorema de Laplace na quinta linha. Vamos lá:

\det A = (-1) \cdot (-1)^{5+1} \cdot  \left \vert \begin{array}{rrrr}  3 & 3 & 3 & 3 \\  1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\  \end{array} \right \vert + 1 \cdot (-1)^{5+5} \cdot  \left \vert \begin{array}{rrrr}  4 & 3 & 3 & 3 \\  -1 & 1 & 0 & 0 \\  -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\  \end{array} \right \vert

Fazendo as devidas simplificações envolvendo os números que multiplicam estes determinantes:

\det A = - \left \vert \begin{array}{rrrr}  3 & 3 & 3 & 3 \\  1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\  \end{array} \right \vert +  \left \vert \begin{array}{rrrr}  4 & 3 & 3 & 3 \\  -1 & 1 & 0 & 0 \\  -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\  \end{array} \right \vert

Continuando, podemos reaplicar o Teorema de Laplace na segunda linha no primeiro determinante e na quarta linha do segundo:

\det A = - \left[ 1 \cdot (-1)^{2+1}  \cdot \left \vert \begin{array}{rrr}  3 & 3 & 3 \\   1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  \end{array} \right \vert \right] + (-1) \cdot (-1)^{4+1} \cdot  \left \vert \begin{array}{rrrr}  3 & 3 & 3 \\  1 & 0 & 0 \\   0 & 1 & 0 \\   \end{array} \right \vert + 1 \cdot (-1)^{4+4} \cdot \left \vert \begin{array}{rrrr}  4 & 3 & 3 \\  -1 & 1 & 0 \\   -1 & 0 & 1 \\   \end{array} \right \vert

Simplificando um pouco:

\det A =  \left \vert \begin{array}{rrr}  3 & 3 & 3 \\   1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  \end{array} \right \vert +  \left \vert \begin{array}{rrrr}  3 & 3 & 3 \\  1 & 0 & 0 \\   0 & 1 & 0 \\   \end{array} \right \vert + \left \vert \begin{array}{rrrr}  4 & 3 & 3 \\  -1 & 1 & 0 \\   -1 & 0 & 1 \\   \end{array} \right \vert

Veja que os dois primeiros acima são iguais. Agora podemos usar a Regra de Sarrus em todos eles:

\det A = 3 + 3 + (4 + 3 + 3) = 16

Pelo visto, opção C.

Bom, mas e a regra de Chió…? Talvez valha a pena tentar usá-la, entretanto… acho que vai ser bem mais trabalhoso.

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Até!

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Desenvolvimento do Binômio de Newton

Olá leitores!

Trago uma dúvida enviada hoje que tem a ver com o desenvolvimento do binômio de Newton ou com o desenvolvimento da n-ésima potência natural de (x+a), ou seja, (x+a)^n. Segue a dúvida:

Calcular o termo em x^5 no deslvolvimento de (x + \frac{2}{x^2})^8.

Milena Figueiredo

Sabemos que o termo geral na posição p+1 do binômio (x+a)^n é dado por:

T_{p+1} = {n \choose p} \cdot x^{n-p} \cdot a^p

Então, usando no nosso problema teremos:

T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{8-p} \cdot (\frac{2}{x^2})^p

Que desenvolvido será:

T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{(8-p) - 2p} \cdot 2^p \Rightarrow T_{p+1} = {8 \choose p} \cdot x^{8-3p} \cdot 2^p

Para que tenhamos x^5, devemos ter 8-3p = 5, logo p = 1. Veja:

T_2 = {8 \choose 1} \cdot x^5 \cdot 2^1 \Rightarrow T_2 = 16x^5

Para ter mais confiança, sugiro desenvolver os três primeiros termos, já que sabemos que este é o segundo termo do desenvolvimento.

Deixo também uma playlist minha sobre o assunto:


Até.

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