Campo Elétrico: uma Questão

Olá leitor.

Trago uma dúvida enviada para mim sobre campos elétricos gerados por cargas puntiformes. Segue a questão:

Duas cargas puntiformes Q_1 = 50 \cdot 10^{-9}\,\textrm{C} e Q_2 = 32 \cdot 10^{-9}\,\textrm{C}, estão colocadas nos vértices de um triângulo retângulo, como mostra a figura.

Determine a intensidade do vetor campo elétrico no ponto P.

Enviada por Paulo Marcio

Vamos lá.

O campo elétrico gerado por uma carga puntiforme Q, em um ponto que fica a uma distância d da carga, tem módulo E = k\frac{Q}{d^2}. Lembrando que k é a constante eletrostática do meio considerado, mas que não foi dada no enunciado. Assim, podemos calcular os módulos dos campos gerados por Q_1 e Q_2, que serão E_1 e E_2, respectivamente. Teremos:

E_1 = k \cdot \frac{Q_1}{5^2} = k \cdot \frac{50 \cdot 10^{-9}}{25} = 2k \cdot 10^{-9} \,\textrm{N/C}

Para a outra carga:

E_2 = k \cdot \frac{Q_2}{4^2} = k \cdot \frac{32 \cdot 10^{-9}}{16} = 2k \cdot 10^{-9} \,\textrm{N/C}

Temos agora dois vetores \vec{E}_1 e \vec{E}_2, formando um ângulo \theta como indicado na figura a seguir:

O vetor campo elétrico resultante \vec{E}_R terá módulo:

E_R^2 = E_1^2 + E_2^2 - 2 \cdot E_1 \cdot E_2 \cdot \cos (180^\circ - \theta)

Lembrando que \cos (180^\circ - \theta) = - \cos \theta e extraindo da figura anterior que \cos \theta = \frac{4}{5}, teremos:

E_R^2 = (2k \cdot 10^{-9})^2 + (2k \cdot 10^{-9})^2 - 2 \cdot (2k \cdot 10^{-9}) \cdot (2k \cdot 10^{-9}) \cdot (-\frac{4}{5})

Continuando com a conta:

E_R^2 = 8k^2 \cdot 10^{-18} + \frac{32 \cdot k^2 \cdot 10^{-18}}{5}

Finalmente:

E_R^2 = \frac{72 \cdot k^2 \cdot 10^{-18}}{5}

Agora, supondo que k = 9 \cdot 10^{9}\,\frac{\textrm{N} \cdot \textrm{m}^2}{\textrm{C}^2}, pois nada é dito no enunciado, teremos:

E_R^2 = \frac{72 \cdot 81 \cdot 10^{18} \cdot 10^{-18}}{5}

Ou seja, resultando em:

E_R^2 =  \frac{144 \times 81}{10} \Rightarrow E_R = 12 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} \Rightarrow E_R = \frac{54\sqrt{10}}{5}\,\textrm{N/C}

Um bom problema!

Até a próxima!

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