Semelhança e Áreas de Triângulos

Olá leitor.

Recebi um problema que envolve retas paralelas, semelhança e áreas em uma só questão. Vamos lá:

Na figura, os ângulos A\widehat{B}C, A\widehat{C}D, C\widehat{E}D são retos. Se AB = 2\sqrt{3} m e CE = \sqrt{3} m, a razão entre as áreas dos triângulos ABC e CDE é

a) 6

b) 4

c) 3

d) 2

e) \sqrt{3}

Vamos então à solução. Vamos chamar o ângulo B\widehat{A}C = \alpha. Assim teremos B\widehat{C}A = 90^\circ - \alpha. Como A\widehat{C}D = 90^\circ, teremos E\widehat{C}D = \alpha e, portanto os triângulos ABC e CED são semelhantes. Assim, podemos escrever a relação:

\frac{BC}{ED} = \frac{AB}{CE} \Rightarrow \frac{BC}{ED} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2

Fazendo as áreas e calculando a razão entre elas:

\frac{(ABC)}{(CDE)} = \frac{\frac{AB \cdot BC}{2}}{\frac{ED \cdot CE}{2}} = \frac{AB \cdot BC}{ED \cdot CE} = \frac{2\sqrt{3} \cdot BC}{ED \cdot \sqrt{3}} = \frac{2BC}{ED} = 2 \times 2 = 4

Chegamos à opção B.

Até a próxima!

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