Pontos Notáveis de um Triângulo: Incentro

Olá, nesta postagem queremos trazer um exemplo de problema que exige o conhecimento, mesmo que básico sobre os principais pontos notáveis do triângulo. Em particular, estamos falando sobre o incentro. Em vez de apenas resolver o problema, queremos falar um pouco sobre este ponto notável, aproveitando como uma revisão básica.

Por definição, o incentro é o ponto de encontro das bissetrizes internas de um triângulo. As bissetrizes internas de um triângulo são segmentos que tem um extremo sendo o vértice do triângulo e o outro vértice sobre o lado do triângulo, ou seja é uma ceviana.

Na figura anterior, no triângulo $ABC$ , $\overline{AD}$ , $\overline{BF}$ e $\overline{CE}$ são cevianas. Se tivermos $\alpha = \beta$ , $\varepsilon = \zeta$ e $\delta = \gamma$ então as três cevianas serão bissetrizes internas.

Uma observação importante aqui: não estamos provando que as três bissetrizes internas concorrem (se interceptam) no mesmo ponto (isto ficará pra outro momento…), mas por ora, vamos admitir que seja verdade, já que, da fato, é.

Assim, feita esta breve observação e “dados nomes aos bois” chamaremos o ponto o $G$ de incentro do triângulo $ABC$ . E, claro, pela própria construção da figura, é intuitivo que o incentro é sempre interno ao triângulo, seja ele acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

Por uma questão de simplificação, vamos convencionar que ângulos de mesma cor têm a mesma medida. Sabendo que tangentes comuns traçadas de um mesmo ponto a uma circunferência são iguais, o incentro de um triângulo é o centro do círculo inscrito no mesmo triângulo.

Assim, na figura anterior, os ângulos em laranja são todos retos (valem $90^\circ$ ) e $GM = GN = GP = r$ , em que $r$ é o raio do círculo inscrito, também chamado de incírculo. Fiz essa figura pra que seja percebido que os “pés” das bissetrizes não são, necessariamente, pontos do círculo inscrito.

Esta figura traz várias consequências implícitas. Por exemplo, os triângulos de mesma cor na figura a seguir, são congruentes. Mostrando, por exemplo que $AM = AN$ , $CM = CP$ e $BN = BP$ .

Assim, veja que o incentro está a uma mesma distância de cada um dos lados do triângulo.

Com base nesta figura, só para citar uma propriedade importante, podemos mostrar que $AM = \frac{AB + BC + AC}{2} - BC$ . Como não é nosso foco, fica pra depois. Bom qual nosso foco, no momento então? A relação entre o angulo interno do vértice $A$ e o ângulo $B\widehat{G}C$ na figura a seguir:

Veja que $G$ é o incentro, pois $\overline{BF}$ e $\overline{CE}$ são bissetrizes internas. Assim, teremos as seguintes relações:

$\widehat{A} + 2x + 2y = 180^\circ$ para o triângulo $ABC$

e também

$\widehat{G} + x + y = 180^\circ \Rightarrow x + y = 180^\circ - \widehat{G}$

Fica, então, simples de se perceber que:

$\widehat{A} + 2(x + y) = 180^\circ \Rightarrow \widehat{A} + 2(180^\circ - \widehat{G}) = 180^\circ$

Ou seja:

$\widehat{A} = 2\widehat{G} - 180^\circ$ ou $\widehat{G} = \frac{\widehat{A}}{2} + 90^\circ$

Vamos então ao problema proposto na EEAr há algum tempo, que trago aqui com uma ligeira adaptação:

(EEAr — Modificada)
Um triângulo $ABC$ tem $M$ com incentro. Se $B\widehat{M}C = 3 \cdot B\widehat{A}C$ , qual o valor de $BAC$ ?
a) $15^\circ$
b) $18^\circ$
c) $24^\circ$
d) $36^\circ$

Veja que o problema trata exatamente do que acabamos de ver. Como $M$ é incentro, basta fazermos:

$B\widehat{A}C = 2B\widehat{M}C - 180^\circ$

Assim:

$B\widehat{A}C = 2 \cdot (3 \cdot B\widehat{A}C) - 180^\circ \Rightarrow 5 \cdot B\widehat{A}C = 180^\circ \Rightarrow B\widehat{A}C = 36^\circ$

Portanto, letra D.

Ah, e aqui está um vídeo sobre todos os pontos notáveis do triângulo.

Espero ter esclarecido um pouco mais sobre o incentro e suas propriedades.

Minha iniciativa é gratuita.

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[LSB]

Teorema de Jacobi

Olá pessoal, já ouviram falar do Teorema de Jacobi? Sabe pra que serve? Se sim, ou se não, vamos dar uma olhada nele.

Em primeiro lugar, o Teorema de Jacobi diz respeito ao determinante de matrizes quadradas. Vejamos o que ele diz:

Se $A_{n \times n}$ é uma matriz quadrada de ordem $n$ , ao substituir cada elemento $a_{pj}$ da linha $p$ ( $p \in \{1,2,\ldots,n\}$ ) da matriz $A$ pelos próprios elementos da linha $p$ por elementos $a_{qj}$ da linha $q$ ( $q \in \{1,2,\ldots,n\}$ e $p \ne q$ ) da matriz multiplicados por uma constante real $k$ o determinante da nova matriz $B$ é idêntico ao determinante de $A$ . Ou seja, vamos admitir, sem perda de generalidade, que $p > q$ , teremos:
$\left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{q1} & a_{q2} & a_{q3} & \ldots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{p1} & a_{p2} & a_{p3} & \ldots & a_{pn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{q1} & a_{q2} & a_{q3} & \ldots & a_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{p1} + ka_{q1} & a_{p2} + ka_{q2}& a_{p3} + ka_{q3} & \ldots & a_{pn} + ka_{qn} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right\vert$

Veja que a linha $q$ que foi usada como “base” continuou igual, e substituímos a linha $p$ pelos resultados obtidos com a operação. Vejamos um exemplo simples de uma matriz $M$ de ordem $2$ :

Exemplo: Calcular o determinante da matriz $M = \left[ \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right]$ .

Este é apenas um exemplo simples, mas veja que os números farão com que o processo seja trabalhoso, já que teremos:

$\det M = 103 \cdot 150 - 120 \cdot 201 = 15450 - 24120 = -8670$

Aplicando o Teorema de Jacobi, poderemos calcular como segue:

$\det M = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 & 150 \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ 201 + (-2) \cdot 103 & 150 + (-2) \cdot 120 \\ \end{array} \right\vert = \left\vert \begin{array}{cc} 103 & 120 \\ -5 & -90 \\ \end{array} \right\vert$

O que nos dará:

$\det M = 103 \cdot (-90) - (-5) \cdot 120 = -9270 + 600 = -8670$

Veja que, apesar de ainda “grandes” a ordem de grandeza dos produtos é muito menor. Vejamos mais um exemplo. Agora com uma matriz muito maior.

Exemplo: Calcule o determinante a seguir: $\left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert$ .

Vamos aplicar então o Teorema de Jacobi, para tentar simplificar o cálculo deste determinante. Façamos a nova segunda linha $(L_2')$ como $L_2' = L_2 + (-6) \cdot L_1$ e a nova terceira linha $(L_3')$ como $L_3' = L_3 + (-11) \cdot L_1$ , assim teremos:

$\left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 - 6 & 7 - 12 & 8 - 18 & 9 - 24 & 10 - 30 \\ 11 - 11 & 12-22 & 13-33 & 14-44 & 15-55 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 & -10 & -20 & -30 & -40 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert =$

Isto já é suficiente para perceber que o determinante é nulo, pois a terceira linha é proporcional à segunda linha. Mas podemos reaplicar o Teorema de Jacobi. A nova terceira linha $L_3'' = (-2) \cdot L_2'+ L_3'$ , veja:

$= \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 +0 & -10+10 & -20+20 & -30+30 & -40+40 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert = \left\vert \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -10 & -15 & -20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \end{array} \right \vert$

Que é nulo, pois há uma fileira nula. Para conferir, basta aplicar o Teorema de Laplace.

Para saber um pouco mais sobre quem foi Jacobi, clique aqui.

Pré-AFA 2019 | Listas das Semanas 13, 14, 15 e 16

Olá leitores, mais uma sequência de listas de exercícios. Nas últimas semanas acumulamos listas, mas agora elas estão todas aí disponíveis:

quadrilateros_ii Baixar

trocas_calor_viii Baixar

circunferencias_r2_i Baixar

quadrilateros_iii Baixar

retas_paralelas_v Baixar

estudo_gases_i Baixar

probabilidade_iii Baixar

pontos_notaveis_triangulos_i Baixar

retas_paralelas_vi Baixar

estudo_gases_ii Baixar

circunferencias_r2_iii Baixar

poligonos_i Baixar

trocas_calor_ix Baixar

trocas_calor_x Baixar

calorimetria_iv Baixar

circunferencias_r2_iv Baixar

circunferencias_r2_ii Baixar

simulado_iii_2019 Baixar

Essas foram as listas de exercícios das últimas quatro semanas. Bom proveito e boa páscoa!

{LSB]

Pré-AFA 2019 | Listas das Semanas 10, 11 e 12

Olá leitores,

passou o carnaval e voltamos com força total. Estas foram as listas das últimas três semanas. Demoramos um pouco mais por conta de uma rotina bem apertada de trabalho fora do site. Mas estamos na linha novamente. E com muitas novidades.

retas_r2_v Baixar

analise_combinatoria_iii Baixar

probabilidade_i Baixar

angulos_iv Baixar

triangulos_ii Baixar

retas_paralelas_iii Baixar

trocas_calor_vi Baixar

trocas_calor_vii Baixar

retas_r2_vi Baixar

simulado_ii_2019 Baixar

retas_paralelas_iv Baixar

quadrilateros_i Baixar

termometria_vi Baixar

retas_r2_vii Baixar

probabilidade_ii Baixar

fim_semana_feliz_vi Baixar

Foi isso galera.

Bom fim de semana e bons estudos.

Pré-AFA 2019 | Listas das Semana #7 e #8

Olá leitores.

As últimas duas semanas foram bastante corridas. Mas, como prometido e previsto, aqui estão as listas das últimas duas semanas pra que vocês possam se divertir bastante ao longo do carnaval de 2019:

binomio_newton_ii Baixar

retas_paralelas_i Baixar

calorimetria_iii Baixar

termometria_v Baixar

trocas_calor_iv Baixar

retas_r2_iii Baixar

fim_semana_feliz_iv Baixar

retas_paralelas_ii Baixar

introducao_cinematica_escalar_i Baixar

trocas_calor_v Baixar

retas_r2_iv Baixar

fim_semana_feliz_v Baixar

Bom, essas foram as listas da semana #7 e #8.

Bom carnaval.

Pré-AFA 2019 | Listas da Semana #6

Como prometido, estamos de volta com as listas da sexta semana do curso da pré-AFA 2019 no Curso Lincoln. Os arquivos seguem abaixo.

analise_combinatoria_ii Baixar

binomio_newton_i Baixar

trocas_calor_ii Baixar

trocas_calor_iii Baixar

retas_r2_ii Baixar

congruencia_triangulos_i Baixar

angulos_iii Baixar

fim_semana_feliz_iii Baixar

Mais uma semana bem produtiva. Aproveitem e divirtam-se neste fim de semana com essas listas.

Grande abraço.

[LSB]

Pré-AFA 2019 | Listas da Semana #5

Olá,

estamos fechando mais uma semana (semana #6) na turma pré-AFA de 2019. Mas não é por isso que vamos deixar de publicar por aqui as listas da semana #5.

angulos_ii Baixar

triangulos_i Baixar

termometria_iv Baixar

trocas_calor_i Baixar

retas_r2_i Baixar

gerais_i_2019 Baixar

analise_combinatoria_i Baixar

fim_semana_feliz_ii Baixar

Esta foi uma semana produtiva para nós e esperamos que seja para vocês também.

Bons estudos e bom fim de semana.

[LSB]